【正文】 解：a)牛市價差期權(quán)可通過買入執(zhí)行價格為$30的看跌期權(quán)同時賣空執(zhí)行價格為$35的看漲期權(quán)。此策略將有$3期初現(xiàn)金流入，其損益狀況如下： 股價 價差期權(quán)損益 利潤 =35 0 －3 30＝35 －35 －32 30 －5 －2 b)熊市價差期權(quán)可通過賣空執(zhí)行價格為$30的看跌期權(quán)同時買入執(zhí)行價格為$35的看跌期權(quán)構(gòu)造。此策略初始成本為$3，其損益狀況如下： 股價 價差期權(quán)損益 利潤 =35 0 －3 30＝35 35－ 32－ 30 5 2。執(zhí)行價格為$5$60和$65，市場價格分別為$$5和$8。解釋如何構(gòu)造蝶式價差期權(quán)。做出表格說明這種策略帶來的贏利性。請問：股票價格在什么范圍時，蝶式價差期權(quán)將導(dǎo)致?lián)p失呢？解：蝶式價差期權(quán)可通過分別買入1份執(zhí)行價格為$55和$65，同時賣空2份執(zhí)行價格為$60的看跌期權(quán)構(gòu)造。其收益狀況如下： 股價 蝶式價差期權(quán)損益 =65 －1 60=65 64－ 55=60 －56 55 －1 所以，當(dāng)64或56時，蝶式價差期權(quán)將導(dǎo)致?lián)p失。：歐式看跌期權(quán)構(gòu)造的蝶式價差期權(quán)的成本與歐式看漲期權(quán)構(gòu)造的蝶式價差期權(quán)的成本是相等的。解：定義分別為執(zhí)行價格為的看漲期權(quán)價格。定義分別為執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)價格。則有： ， 因此， 又由于 ，所以有 ＝0且 因此，歐式看跌期權(quán)構(gòu)造的蝶式價差期權(quán)的成本與歐式看漲期權(quán)構(gòu)造的蝶式價差期權(quán)的成本是相等的。 購買執(zhí)行價格為、到期日為的看漲期權(quán)和出售執(zhí)行價格為、到期日為（）的看漲期權(quán)，可構(gòu)造對角價差期權(quán)，畫一簡圖說明當(dāng)(a) 和(b) 時該期權(quán)的損益。解：如下圖，該對角價差期權(quán)所需的初始投資額較高，但其利潤模式與一般價差期權(quán)相同。 執(zhí)行價格為$60的看漲期權(quán)成本為$6，相同執(zhí)行價格和到期日的看跌期權(quán)成本為$4，制表說明跨式期權(quán)損益狀況。請問：股票價格在什么范圍內(nèi)時，跨式期權(quán)將導(dǎo)致?lián)p失呢？解：可通過同時購買看漲看跌期權(quán)構(gòu)造跨式期權(quán)：max（－60，0）+max(60－)－（6＋4），其損益狀況為： 股價 跨式期權(quán)損益 60 －70 ＝60 －10 60 50－ 所以，當(dāng)股價在5070時，跨式期權(quán)將導(dǎo)致?lián)p失。（）的看跌期權(quán)所構(gòu)造的牛市價差期權(quán)的損益狀態(tài)。解：通過買入執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)，同時賣空執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)構(gòu)造牛市價差期權(quán)，其收益狀況如下：max(－，0)－max(－，0) 股價 多頭損益 空頭損益 總損益 = 0 0 0 0 － －（－） = － － －（－）。請說明投資者能采用的六種不同策略并解釋它們之間的不同點。解：投資者能采用以下六種策略：寬跨式期權(quán)（Strangle）、跨式期權(quán)（Straddle）、落式期權(quán)（Strip）、吊式期權(quán)（Strap）、倒置日歷價差期權(quán)及倒置蝶式價差期權(quán)。 當(dāng)股價有巨大變動，這些策略都能有正的利潤。寬跨式期權(quán)較跨式期權(quán)便宜，但要求股價有更大變動以確保正利潤；落式期權(quán)及吊式期權(quán)都比跨式期權(quán)貴，當(dāng)股價有大幅度下降，落式期權(quán)將有更大利潤，當(dāng)股價有大幅度上升，吊式期權(quán)將有更大利潤。寬跨式期權(quán)、跨式期權(quán)、落式期權(quán)及吊式期權(quán)的利潤都隨股價變動范圍增大而增加。相比而言，倒置價差期權(quán)存在潛在利潤而無論股價波動幅度多大。？ 解：假定交割價格為K，交割日期為T。遠期合約可由買入1份歐式看漲期權(quán)，同時賣空1份歐式看跌期權(quán)，要求兩份期權(quán)有相同執(zhí)行價格K及到期日T?？梢姡摻M合的損益為－K，在任何情形下，其中為T時股票價格。假定F為遠期合約價格，若K=F，則遠期合約價值為0。這表明，當(dāng)執(zhí)行價格為K時，看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價格相等。所有期權(quán)的到期日相同。盒式價差期權(quán)有什么樣的特征？解：牛市價差期權(quán)由1份執(zhí)行價格為歐式看漲期權(quán)多頭與1份執(zhí)行價格為的歐式看漲期權(quán)空頭構(gòu)成（），熊市價差期權(quán)由1份執(zhí)行價格為的歐式看跌期權(quán)多頭與1份執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)空頭構(gòu)成，則盒式價差期權(quán)的收益狀況如下： 股價 牛市價差損益 熊市價差損益 總損益 = － 0 － － － － = 0 － － 由此可見，無論哪種情形，盒式價差期權(quán)損益均為－，若不存在套利機會，盒式價差期權(quán)當(dāng)前價值即為－的現(xiàn)值。，結(jié)果會怎樣？解：由圖可知，當(dāng)寬跨式期權(quán)中看跌期權(quán)的執(zhí)行價格高于看漲期權(quán)的執(zhí)行價格時，與一般的寬跨式期權(quán)相比，其初始投資額將更高，但利潤模式二者是相同的。畫出簡圖說明投資者收益和損失隨最終股票價格的變化情況。 (a)一份股票和一份看漲期權(quán)的空頭 (b)兩份股票和一份看漲期權(quán)的空頭 (c)一份股票和兩份看漲期權(quán)的空頭 (d)一份股票和四份看漲期權(quán)的空頭 在每種情況中，假設(shè)看漲期權(quán)的執(zhí)行價格等于目前股票價格。解：(a)該組合等價于一份固定收益?zhèn)囝^，其損益，不隨股票價格變化。（V為組合損益，C為期權(quán)費，下同）： (b)該組合等價于一份股票多頭與一份固定收益?zhèn)囝^，其損益，與股價同向同幅度變動。（為最終股票價格，下同） (c)該組合等價于一份固定收益?zhèn)囝^與一份看漲期權(quán)空頭，其損益為，與股價變動方向相反。（為期權(quán)執(zhí)行價格，即股票目前價格，下同）(d)該組合等價于一份固定收益?zhèn)囝^與三份看漲期權(quán)空頭，其損益為，與股價變動方向相反。 （a） （b） （c） （d）第九章 股票現(xiàn)價為$40。已知在一個月后股價為$42或$38。無風(fēng)險年利率為8％（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價格為$39的1個月期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：考慮一資產(chǎn)組合：賣空1份看漲期權(quán)；買入Δ份股票。 若股價為$42，組合價值則為42Δ－3；若股價為$38，組合價值則為38Δ 當(dāng)42Δ－3＝38Δ，即Δ＝，組合價值在任何情況下均為$，其現(xiàn)值為：，即：－f＋40Δ＝ 其中f為看漲期權(quán)價格。所以，f＝40－＝$另解：（計算風(fēng)險中性概率p） 42p－38（1－p）＝，p＝ 期權(quán)價值是其期望收益以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值，即： f＝（3＋0）＝$ 用單步二叉樹圖說明無套利和風(fēng)險中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值。解：在無套利方法中，我們通過期權(quán)及股票建立無風(fēng)險資產(chǎn)組合，使組合收益率等價于無風(fēng)險利率，從而對期權(quán)估值。 在風(fēng)險中性估值方法中，我們選取二叉樹概率，以使股票的期望收益率等價于無風(fēng)險利率，而后通過計算期權(quán)的期望收益并以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價值。？解：股票期權(quán)的Delta是度量期權(quán)價格對股價的小幅度變化的敏感度。即是股票期權(quán)價格變化與其標(biāo)的股票價格變化的比率。$50。已知6個月后將為$45或$55。無風(fēng)險年利率為10％（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價格為$50，6個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？解：考慮如下資產(chǎn)組合，賣1份看跌期權(quán)，買Δ份股票。 若股價上升為$55，則組合價值為55Δ；若股價下降為$45，則組合價值為：45Δ－5當(dāng)55Δ＝45Δ－5，即Δ＝－，6個月后組合價值在兩種情況下將相等，均為$－，其現(xiàn)值為：，即： －P＋50Δ＝－所以，P＝－50＋＝$另解：求風(fēng)險中性概率p 所以，p＝ 看跌期權(quán)的價值P＝ 某個股票現(xiàn)價為$100。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為6個月，每個單步二叉樹預(yù)期上漲10％，或下降10％。無風(fēng)險年利率為8％（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：由題意得，u＝，d＝，r＝ 所以， 110 10090012121計算二叉樹圖的結(jié)果如下8119990 則看漲期權(quán)價值為： ，執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看跌期權(quán)的價值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價關(guān)系。解：如上題，計算二叉樹圖的結(jié)果如下 110 1009012109918119 則看跌期權(quán)的價值為： , 所以有：即：期權(quán)平價公式成立。 考慮這樣一種情況，在某個歐式期權(quán)的有效期內(nèi)，股票價格的運動符合兩步二叉樹運動模式。請解釋為什么用股票和期權(quán)組合的頭寸在期權(quán)的整個有效期內(nèi)不可能一直是無風(fēng)險的。解：無風(fēng)險組合可由賣空1份期權(quán)及買入Δ份股票構(gòu)成。但由于Δ在期權(quán)的有效期內(nèi)是會變化的，因而，無風(fēng)險組合總是會變化。 所以，用股票和期權(quán)組合的頭寸不可能是一直無風(fēng)險的。 某個股票現(xiàn)價為$50。已知在兩個月后，股票價格為$53或$48。無風(fēng)險年利率為10％（連續(xù)復(fù)利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$49的兩個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：兩個月后歐式看漲期權(quán)的價值將為$4（當(dāng)股價為$53）或$0（當(dāng)股價為$48）。 考慮如下資產(chǎn)組合：＋Δ份股票 －1份看漲期權(quán)則兩個月后組合價值將為53Δ－4或48Δ，當(dāng)53Δ－4＝48Δ，即Δ＝，則兩個月后無論股價如何。該組合現(xiàn)值為： 50－f其中f是期權(quán)價值。因為該資產(chǎn)組合是無風(fēng)險利率投資，所以有： 即： f＝因此，期權(quán)的價值為$。 此外，此題也可直接根據(jù)公式（）和（）計算，由題意可得： ，則： 且 某個股票現(xiàn)價為$50。已知在4個月后，股票價格為$75或$85。無風(fēng)險年利率為5％（連續(xù)復(fù)利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$80的4個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？解：4個月后歐式看漲期權(quán)的價值將為$5（當(dāng)股價為$75）或$0（當(dāng)股價為$85）。 考慮如下資產(chǎn)組合：－Δ份股票 ＋1份看跌期權(quán) （注：看跌期權(quán)的套期保值率Δ是負值）。則兩個月后組合價值將為－75Δ＋5或－85Δ，當(dāng)－75Δ＋5＝－85Δ，即Δ＝－，則兩個月后無論股價如何。該組合現(xiàn)值為： 80＋f其中f是期權(quán)價值。因為該資產(chǎn)組合是無風(fēng)險的，所以有： 即： 因此，看跌期權(quán)的價值為$ 此外，此題也可直接利用公式（）和（）計算。由題意可得： 則： ， 1－p＝ 且 $50。已知在6個月后，股價將變?yōu)?60或$42。無風(fēng)險年利率為12％（連續(xù)復(fù)利）。計算執(zhí)行價格為$48，有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少。證明無套利原理和風(fēng)險中性估價原理得出相同的答案。解：6個月后期權(quán)的價值為$12（當(dāng)股價為$60時）或$0（當(dāng)股價為$42時）。 考慮如下資產(chǎn)組合： ＋Δ份股票 －1份看漲期權(quán) 則資產(chǎn)組合價值為60Δ－12或42Δ。 當(dāng)60Δ－12＝42Δ，即Δ＝， 6個月后，無論股價如何變化，該資產(chǎn)組合的價值將均為$28；此時組合