坐標表示的焦半徑公式-資料下載頁
2025-07-24 00:00本頁面
【正文】 部，求t使圓x2+y2=t2上任意一點處的切線與橢圓交于點A,B兩點，都有OA⊥OB。解：設x1,y1為圓x2+y2=t2上一點，此點切線為x0x+y0y=t2.取y=t2y1x1y1x代入橢圓x2+2y28 =0得2x12+y12y12x24t2x1y12x+2t48y12y12=0，得x1x2=2t48y122x12+y12 .再將切線x0x+y0y=t2 寫成x=t2x1y1x1y ，代入橢圓得2x12+y12x12y22t2y1x12y+t48x122x12+y12=0，得y1y2=2t48x122x12+y12 .由OA⊥OB知x1x2+y1y2=0，即3t48x12+y12=0得t=83 .：在準線上任一點的切點弦直線必過對應的焦點。1） 橢圓x2a2+y2b2=1，左準線x=a2c 上一點a2c，y0的切點弦直線a2c?xa2+y0b2y=1 . 代入左焦點F1c,0 ,方程成立。 對于雙曲線，拋物線同樣證明。2） 拋物線y2=2Px準線上一點的切點弦直線，不僅過焦點，且兩條切線垂直?？梢灾苯幼C明：設過點M(P2,y0)的直線yy0=Kx+P2 代入y2=2Px ，得一代入后方程：（請自己寫結果） 由這一方程的?=0得一斜率為K的二次關系式，視為K的一元二次方程。由韋達定理K1K2=1.間接證明：先證切點弦直線必過焦點，再由焦點弦端點坐標公式，證明所引的兩條切線必定垂直。 y關于圓錐曲線焦點弦一個有關角度的結論：如圖，AB為圓錐曲線任意一條焦點弦，點E C B為準線和對稱軸焦點（亦稱準點），則定有∠AEF=∠BEF。證明：設點C,D為點B,A在準線上的射影，由圓錐 E F x曲線統(tǒng)一定義：BFBC=AFAD=離心率e，即BCAD=BFAF 。 由BC∥EF∥AD有CEED=BFFA ,故BCAD=CEED， 即?BCE~?ADE,知∠BEF=∠AEF . D A練習題：橢圓x24+y23=1，過點P(4,0)做斜率K直線交橢圓于A,B兩點，再過P做斜率 －K 直線交橢圓于C，D兩點。（如圖） 求證：AB與CD交于定點。 y證明：利用上面定理（要先證明引理），用同一法證明： ∵點P(4,0)為準點，設橢圓右焦點F。連接DF角橢圓與A0，則A0FD為焦點弦。 A ∴∠A0PF=∠CPF .又由假設KPA=KPC知∠APF=∠CPF。 ∵A與A0同為橢圓上一點，∴只能是A=A0 . 也即AD連線過右焦點F，同理，BC連線過右焦點F。 ∴AB與CD交于定點F 。
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