【正文】 證明：不論 E、 F在 BC、 CD上如何滑動 ， 總有 BE=CF。 ② 當(dāng)點 E、 F在 BC、 CD上滑動時，分別探討四邊形 AECF和 △ CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變， 求出這個定值；如果變化， 求出最大（或最小）值 。 證明： ① 連接 AC ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ∠ BAD=120176。 ∴ AB=BC=CD=AB AD∥ BC,AB∥ CD ∴∠ B=180176。 ∠ BAD=60176。 ∴ △ ABC是等邊三角形 ∴ AC=AB 又 ∵ △ AEF是正三角形 ∴ AE=AF,∠ 1+∠ 2=∠ 2+∠ 3=60176。 ∴∠ 1=∠ 3 ∴ △ ABE≌ △ ACF ∴ BE=CF ② 作 AG⊥ BC于 G 四邊形 AECF的面積不發(fā)生變化 ∵ △ ABE≌ △ ACF ∴ S四邊形 AECF=S△ ABC ABAGB ?s i n∵ 3260s i n ????? ABAG∴ S △ ABC= BC AG= 3421∴ S四邊形 AECF= 34△ CEF的面積有變化 作 EH⊥ DC的延長線于 H 設(shè) BE=CF=x 則 EC=4x ∵∠ BAD=∠ BCD=120176。 ∴∠ ECH=60176。 CEEHECH ??? s i n)4(2 3 xEH ???EHCFS E C F ??? 21∵ 3)2(4 3 2 ????? xS E C F∴ 當(dāng) x=2時， S△ EFC的面積最大為 32 在 Rt△ ABC中 ， ∠ A=90176。 ,AB=6,AC=8,D、 E 分別是邊 AB、 AC的中點 ， 點 P從點 D出發(fā)沿 DE方 向運動，過點 P作 PQ⊥ BC于 Q,過點 Q作 QR∥ BA 交 AC于 R,當(dāng)點 Q與點 C重合時 ， 點 P停止運動 ， 設(shè) BQ=x， QR=y. ① 求點 D到 BC的距離 DH的長 ； ② 求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 （ 不要求寫出自變量的 取值范圍） ③ 是否存在點 P， 使 △ PQR為 等腰三角形 ？ 若存在，請 求出所有滿足要求的 x的值； 若不存在，請說明理由 。 解：① ∵∠ A=90176。 ， DH⊥ BC ∴∠ A=∠ BHD=90176。 ∵∠ B=∠ B ∴ △ BHD∽ △ BAC BCBDACDH ??∵ AB=6,AC=8,D是 AB中點 ∴ BD=3 1022 ??? ACABBC1038 ??DH 512 ??? DH② ∵ QR∥ AB ∴ △ CQR∽ △ CBA CBCQABQR ??10106xy ???653 ???? xy③ 假設(shè)存在，仍然分 PQ=PR, PQ=RQ, PR=QR 三種情況解答 當(dāng) A、 P、 Q三點在一條直線上時 ∵ 點 D、 E分別是 AB、 AC的中點 ∴ AP=PQ ∵ PQ∥ AB ∴∠ ARQ=∠ BAC=90176。 ∴ AP=PQ=PR ∵ AQ⊥ BC ∴ △ BQA∽ △ BAC ABBQBCAB ??6106 x??∴ x = 當(dāng) PQ=RQ時 ∵ △ CQR∽ △ CBA CBCQABQR ??10106 x???∴ x =6 當(dāng) PR=RQ時 ∴ R在 PQ的垂直平分線上 ∵ E是 AC的中點， RQ∥ AB ∴ R是 EC的中點 ∴ △ CQR∽ △ CBA CACRCBCQ ??41?411010 ??? x∴ x= 2 如圖，已知 △ ABC是邊長為 6cm的等邊三角形 ， 動點 P、 Q同時從 A、 B兩點出發(fā)，分別沿 AB、 BC 勻速運動，其中點 P運動的速度是 1cm/s,點 Q運動的 速度是 2cm/s當(dāng)點 Q到達點 C時 ， P、 Q兩點都停止 運動，設(shè)運動時間為 t(s),解答下列問題 ： ① 當(dāng) t=2時 ， 判斷 △ BPQ的形狀，并說明理由 ； ② 設(shè) △ BPQ的面積為 S(cm 2 ),求 S與 t的函數(shù)關(guān)系式 ； ③ 作 QR∥ BA交 AC于點 R,連結(jié) PR,當(dāng) t為何值時 ， △ APR∽ △ PRQ? ① 當(dāng) t=2時， △ BPQ是等邊三角形 ② 作 QD⊥ PB于 D ∵ △ ABC是等邊三角形 ,BQ=2t ∴∠ B=60176。 ∴ BD=t,QD= t3∵ AP=t ∴ BP=ABAp=6t DQPBS B P Q ??? 21∵ ttS 3)6(21 ????ttS 3323 2 ????③ ∵ QR∥ AB ， △ ABC為等邊三角形 ∴ △ CRQ為等邊三角形 ∴ AR=BQ=2t,BD=AP=t ∴ 當(dāng) 時 RQPRPRAP ?△ APR∽ △ PRQ ∴ ∠ A=∠ B, ∠ APR=∠ PRD tttt2633 ???∴ △ APR≌ △ BDQ tDQPR 3???∠ DPR=∠ PDQ=90176。 ∴ 四邊形 PDQR是矩形 ∴ RQ=PD=ABAPBD=62t ∴ t= ∴ 當(dāng) t= △ APR∽ △ PRQ 2 如圖，四邊形 ABCD中 ， AD=CD,∠ DAB= ∠ ACB=90176。 ,過點 D作 DE⊥ AC,垂足作為 F,DE 與 AB相交于點 E. (1)求證 ： AB AF=CB CD (2)已知 AB=15cm, BC=9cm, P是射線 DE上的動點 ， 設(shè) DP=xcm(x0),四邊形 BCDP的面積為 ycm2: ① 求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 ； ② 當(dāng) x為何值時 ，△ PBC的周長 最小 ， 并求出此時 y的值 。 證明： (1)∵ DE∥ BC ∴∠ B=∠ 3,∠ AFD=∠ ACB=90176。 又 ∵∠ DAB=∠ ACB=90176。 ∴∠ 1+∠ B=∠ 2+∠ 3=90176。 ∴∠ 1=∠ 2 ∴ △ AFD∽ △ BCA BCAFABAD ??ADBCAFAF ????又 ∵ AD=CD CDBCAFAB ????(2)∵ S四邊形 BCDP= (BC+PD) CF 21cmBCABAC 1222 ???∴ AF=CF=6cm 6)9(21???? xy273 ??? xy當(dāng) PC+PB最短時 △ PBC的周長最小 當(dāng) PC+PB最短時 △ PBC的周長最小 ∵ AD=CD,AE⊥ AC ∴ 點 C與點 A關(guān)于 DE對稱 AB交 DE于 E ∴ 點 P與點 E重合時 PC+PB=AB最短 22 AEADDEx ????BCAFABAD ?∵ ∴ AD=10cm ∴ x= ∴ y=3 ＋ 27 = ∴ 當(dāng) x=， △ PBC的周長最小