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第二講1線性規(guī)劃及其對(duì)偶-資料下載頁(yè)

2025-07-20 21:24本頁(yè)面
  

【正文】 弱對(duì)偶性 ) 上式中兩邊相等的充分必要條件是: 或 xj=0 或 xj0,但 ?????njjjmiii xcby11① ② ???mijiji cay1 Operations Research Prof. Wang School of Economics amp。 Management page 31 17 August 2022 第二講 167。 3 對(duì)偶性質(zhì)及平衡定理 ( 5) 證明 ① :根據(jù) (5)式和 (7)式可得: (9) ? ?? ???????????njmiijii ayx1 1j 0 c????? ? ?????? ? ??????????????njjjmjiimiiinjjjnjminjijjijjxcbybyxcaxycx11111 1 100Operations Research Prof. Wang School of Economics amp。 Management page 32 17 August 2022 第二講 167。 3 對(duì)偶性質(zhì)及平衡定理 ( 6) 證明 ② :若使 , 即表明 (9)式左邊為 0( 不等式 變?yōu)榈仁?) , 而該式是由 n 項(xiàng)和組成 , 每一項(xiàng) 是兩因子乘積 , 每個(gè)因子都 ≥ 0。 故每一項(xiàng)都 ≥ 0。 若使 n項(xiàng)為 0, 勢(shì)必使每一項(xiàng)為 0, 即: 則其中至少有一個(gè)因子為 0。 于是得出 , 或 xj=0;或 xj0, 必使 。 ????njjjmiii xcby11=????????? ??miijijj aycx101=?????? ? ??miijijj aycx01?????????? ??miijij aycOperations Research Prof. Wang School of Economics amp。 Management page 33 17 August 2022 第二講 167。 3 對(duì)偶性質(zhì)及平衡定理 ( 7) 從強(qiáng)對(duì)偶性知 , 符合平衡定理第 ② 條時(shí)的可行解 X, Y必是最 優(yōu)解 , 于是 , 平衡定理為尋找線性規(guī)劃最優(yōu)解提供了一種方 法 。 亦即 , 在若干個(gè)問(wèn)題的可行解 X中 , 若是有一組解所對(duì)應(yīng) 的對(duì)偶可行解 , 使得 Xj0所對(duì)應(yīng)的對(duì)偶約束條件為等式 , 則 此時(shí)的解必為最優(yōu)解 。 [例 14] 應(yīng)用平衡定理解下述規(guī)劃 m i n13250 ( 1 1 ) 1696( 1 0 ) 024x 6x5432143214321?????????????xxxxXxxxxxxOperations Research Prof. Wang School of Economics amp。 Management page 34 17 August 2022 第二講 167。 3 對(duì)偶性質(zhì)及平衡定理 ( 8) 其對(duì)偶形式為 首先令原問(wèn)題中任兩個(gè)變量為 0( 因有 2個(gè)約束條件 , 這樣可 求出唯一解 ) , 試探求出一組原問(wèn)題可行解 。 例如 , 令 x1=x4=0, 則得: m a x16 ( 15 ) 1392y( 14 ) 26y4( 13 ) 56( 12 ) 15 2212 12121??????????yyyyyyy????????????32x 166046x323232xxxx=Operations Research Prof. Wang School of Economics amp。 Management page 35 17 August 2022 第二講 167。 3 對(duì)偶性質(zhì)及平衡定理 ( 9) 故此時(shí) X=(0,2,3,0)T是原問(wèn)題可行解 。 為檢驗(yàn)是否為最優(yōu)解 , 令非零 xj對(duì)應(yīng)的對(duì)偶約束為等式 , 求 平衡解 Y。 即令 將 y1,y2值代入式 (12)及式 (15), 看是否滿足 。 5+1=4≤1 2+9=11≤13 全滿足,可見(jiàn) Y是符合平衡定理的對(duì)偶解,因此, X=(0,2,3,0)T及 Y=(1,1)T分別是原問(wèn)題及對(duì)偶問(wèn)題的最 優(yōu)解。此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值 CTX=YTb=16。 ?????????????11y 26456y212122yyyyOperations Research Prof. Wang School of Economics amp。 Management page 36 17 August 2022 第二講 167。 3 對(duì)偶性質(zhì)及平衡定理 ( 10) 顯然 , 一次成功是一咱巧合 。 最壞情況 , 本例需 次才能找到 。 當(dāng)維數(shù)增大 , 這種枚舉法的計(jì)算量會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)般急劇增長(zhǎng)而 變?yōu)椴滑F(xiàn)實(shí) 。 以后將重點(diǎn)闡述有實(shí)用價(jià)值的單純形法 。 ? ? 6234!24!2!4C 24 ?????
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