第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質-資料下載頁
2025-07-20 21:24本頁面
【正文】 1且 a≠0時 , ?z∈ Z有 ?a(z)=az,易證 ?a是單射的 ,這時 ?a為 V的 單自同態(tài) ,其同態(tài)象是 aZ,＋ 是 Z,＋ 的真子集 . (2)令 V1 = ∑* ,?, V2 =N,+,定義 ? :∑* →N 如下 : ? (?)=|?|, ? ? ∈ ∑* ． 易證 ?是 V1到 V2的映射 ,且滿足 : ? ?1, ?2 ∈ ∑*有 ? ( ? 1? ? 2)=| ? 1 ? ? 2 |=| ? 1 |+| ? 2 |= ? ( ? 1 )＋ ? ( ? 2), 所以 ,?為 V1到 V2的同態(tài) ,且是滿同態(tài) ,其同態(tài)象就是V2 .如果 ∑中只含有一個字母 ,比如說 a,那么∑*={an|n∈ N}．這時 ?是雙射的 ,就是 V1到 V2的同構了 . 一般的代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài) 定義 系統(tǒng)中去 . 設 V1=S1 ,?,*, V2= S2,?’,*’是代數(shù)系統(tǒng) ,其中 ?,*, ?’ , *’ 都是二元運算．如果 ? : S1 → S 2滿足以下條件 :?x,y? S1有 (1) ? (x?y)= ?(x)?’ ?(y), (2) ? (x*y)= ? (x)* ’ ? (y), 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài)映射 ,簡稱 同態(tài) ． 例如 , V1= Z,＋ ,, V2=Zn,?,⊙ ,其中＋ ,為普通的加法和乘法 . ?為模 n加法 ,⊙ 為模 n乘法 .即對任意x,y∈ Zn有 x⊙ y=(xy)modn, 令 ? :Z→Z n, ? (x)=(x)mod n,那么易證 ? (x＋ y)=(x＋ y) mod n =(x) mod n ? (y) mod n = ? (x) ? ? (y) ? (xy)=(xy) mod n =(x) mod n ⊙ (y) mod n = ? (x)⊙ ? (y) 所以 ?是 V1到 V2的同態(tài) ,且是滿同態(tài) . 具有一元運算的代數(shù)系統(tǒng)中的同態(tài) 設 V1=S1 ,?,△ , V2= S2,*,△ ’是代數(shù)系統(tǒng) ,其中 ?,*是二元運算 ,△ 和△ ′是一元運算 .如果映射 ? : S1 → S 2滿足以下條件 (1)?x,y∈ S1 ,有 ?(x?y)=?(x)*?(y), (2)?x∈ S1 ,有 ? (△ (x))=△ ’(?(x)), 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài) . 例如 , V1 =R,＋ ,,V2=R＋ ,, 1,其中＋ ,為普通加法和乘法 ,x表示求 x的相反數(shù) ,x1表示求 x的倒數(shù) . 令 ? :R→R ＋ ? (x)=ex,那么有 ? x,y∈ R, ?(x＋ y)=e x＋ y= ex e y=?(x)?(y), ? x∈ R, ?(x)= ex =( ex )1=(?(x))1, 所以 , ? 是 V1到 V2的同態(tài) . 具有代數(shù)常數(shù)的代數(shù)系統(tǒng)之間的同態(tài) 設 V1 = S1 ,?,k1,V2=S2,*, k2 是代數(shù)系統(tǒng) ,其中 ?,*為二元運算 , k1 ∈ S1 ,k2∈ S2是代數(shù)常數(shù) .如果 ? : S1 → S 2滿足以下 條件 : (1)?x,y ∈ S1,有 ?(x?y)=?(x)*?(y), (2)?(k1 )= k2 , 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài) . 例如 , V1 =Z,＋ ,0, V2=Zn,?,0其中＋是普通加法 , ?是模 n加法 ,令 ?:Z→ Z n , ?(x)=(x) mod n , 則有 ? x,y∈ Z, ? (x＋ y)=(x＋ y) mod n =(x) mod n ? (y) mod n =? (x) ? ? (y), ? (0)=(0) mod n =0, 所以 ? 是 V1到 V2的同態(tài) . 設 V1 = S1 ,?,*, , V2= S2,?’,*’是具有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng) , ? 是 V1到 V2的同態(tài) ,?具有以下性質 . (1)若 ?(或 *)是可交換的 (可結合的或冪等的 ),則 ?′(或 *′)在 ? ( S1 )中也是可交換的 (可結合的或冪等的 ). (2)若 ?對 *是可分配的 ,則 ?＇對 *′在 ? (S1)中也是可分配的 . (3)若 ?和 *是可吸收的 ,則 ?′和 *＇在 ? (S1 )中也是可吸收的 . (4)若 e是 S1中關于 ?運算的幺元 ,?是 S1中關于?運算的零元 ,那么 ? (e)和 ? (?)分別是 ? ( S1 )中關于 ?′運算的幺元和零元．對于 x∈ S1 ,如果 x1是 x的關于 ?運算的逆元 ,則 ? ( x1 )是? (x)關于 ?′運算的逆元 .
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