【正文】 ??????????n1n2n3121n2n326Q6Q....6Q6QPP....PP41000000141000000...000000...000000...000000141000000141000000142022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 80 B樣條曲線的性質(zhì) 1． 局部支柱性 B樣條的基函數(shù)是一個分段函數(shù) ， 其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi) ， 每個基函數(shù)在 tk到 tk+m的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零 ， 在其余區(qū)間內(nèi)均為零 ， 通常也將該特征稱為 局部支柱性 。 2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 81 圖 8 16 B 樣條曲線的局部支柱性P 0P 1P 2P 3P″ 4P 5P 6P 7P4P′ 42022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 82 2． B樣條的凸組合性質(zhì) B樣條的凸組合性和 B樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于 0保證了 B樣條曲線的凸包性 ， 即 B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi) 。 ]t,[t t 1)( 1n1m0, ?????nkmk tB圖 81 7 B 樣條曲線與 B ezier 曲線的凸包性比較B樣 條曲線Be zi er 曲線Be zi er 曲線B樣 條曲線m=3m=4m=5(a ) B 樣條曲線和Be zi er 曲線的凸包比較 (b ) B 樣條曲線和Be zi er 曲線的比較B樣 條凸包Be zi er 凸包B樣 條凸包B樣 條凸包Be zi er 凸包Be zi er 凸包2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 84 3． 連續(xù)性 ? 若一節(jié)點矢量中節(jié)點均不相同 ， 則 m階 （ m1次 ） B樣條曲線在節(jié)點處為 m2階連續(xù) 。 ? B樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控制頂點個數(shù)無關(guān) 。 ? 重節(jié)點 問題 圖 8 18 具有重節(jié)點的三次 B 樣條t 0 t 1t 2t 3t 42022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 85 4． 導(dǎo)數(shù) ???????????????????11,111,)()()1()(kmkmkkmkmkmk tttBtttBmtB??????? ?????? nkmkkmkkk tBttPPmtp11n1m1,11 ]t,[t t)()1()(5． 幾何不變性 6． 變差減少性 2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 86 B樣條曲面 定義 ： ? ?? ??11222211210 0, )()(),(nknkmkmkkk vBuBPvup? 控制頂點 、 控制網(wǎng)格 （ 特征網(wǎng)格 ） 、 B樣條基函數(shù) 。 ? B樣條曲面具有與 B樣條曲線相同的局部支柱性 、凸包性 、 連續(xù)性 、 幾何變換不變性等性質(zhì) 。 2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 87 雙三次 B樣條曲面 TTBB VPMUMvup ?),(? ?123 uuuU ? ? ?123 vvvV ??????????????????014103030363133161BM?????????????3,32,31,30,33,22,21,20,23,12,11,10,13,02,01,00,0PPPpPPPPPPPPPPPPP2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 88 有理樣條曲線曲面 NURBS方法：非均勻有理 B樣條 （ Nonuniform Rational BSpline） 方法 NURBS曲線曲面的定義 定義 ： ?????nkmkknkmkkktBwtBPwtp0,0,)()()(2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 89 例 ：假定用定義在三個控制頂點和開放均勻的節(jié)點矢量上的二次 （ 三階 ） B樣條函數(shù)來擬合 ， 于是 ，T=(0,0,0,1,1,1)， 取權(quán)函數(shù)為： 1r0 11120??????rrwww2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 90 則有理 B樣條的表達(dá)式為： )(3,2)(3,1)(3,0)(3,22)(3,11)(3,0011)(ttttttBBrrBBPBPrrBPtp???????2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 91 然后取不同的 r值得到各種二次曲線： P 1P 0 P 2雙曲線拋物線直線橢圓圖 81 9 由不同有理樣條權(quán)因子生成的二次曲線段2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 92 圖 8 20 由有理樣條函數(shù)生成的第一象限上的圓弧xyP 1 (1,1)P 2 (1,0)P 0 (0,1)a2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 93 NURBS曲面 可由下面的有理參數(shù)多項式函數(shù)表示： ? ?? ?? ?? ??11222211211122221121210 0,0 0,)()()()(),(nknkmkmkkknknkmkmkkkkkvBuBwvBuBPwvup2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 94 有理基函數(shù)的性質(zhì) NURBS曲線也可用有理基函數(shù)的形式表示 ： ??????njmjjmkkmknkmkktBwtBwtRtRPtp0,0,)()()()()(2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 95 1． 普遍性 2． 局部性 3． 凸包性 1)(0, ???nkmk tR4． 可微性 5． 權(quán)因子 NURBS曲線曲面的特點 2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 96 曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計算 樣條曲線曲面的轉(zhuǎn)換 11)( GMTtp ??? 22)( GMTtp ???2211)( GMTGMTtp ??????12,111122 GMGMMG ??????2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 97 例： bebeBB GMTGMTtp ??????)(BbeBBBbebe GMGMMG ????? ? ,1????????????????????????????????????????????????14100420024001416101410303036313316100010033036313311, beBM2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 98 三次 Hermite樣條矩陣： ?????????????????0001010012331122hM?????????????????0001003303631331beM?????????????????0141030303631331BM三次 Bezier樣條矩陣： 三次均勻 B樣條矩陣： 2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 99 樣條曲線曲面的離散生成 1． Horner規(guī)則 2． 向前差分計算 3． 細(xì)分 圖 8 2 1 四個控制點的B e z i e r 曲線分成兩段P 3P 0P 1 P 2P 1,0P 1,1P 1,2 P 1,3 =P 2,0 P 2,1P 2,2P 2,32022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 100 習(xí)題 2022/8/17 華中理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 101