第4章貪心算法-資料下載頁
2025-07-20 11:24本頁面
【正文】 法的理論基礎 Set greedy (M,W) {A=?。 將 S中元素依權(quán)值 W（大者優(yōu)先）組成優(yōu)先隊列； while (S!=?) { (x)。 if (A∪{x} ?I) A=A∪{x}。 } return A } 50 貪心算法的理論基礎 算法 greedy的計算時間復雜性為 。 引理 (擬陣的貪心選擇性質(zhì) ) 設 M=(S,I)是具有權(quán)函數(shù) W的帶權(quán)擬陣，且 S中元素依權(quán)值從大到小排列。又設 x? S是 S中第一個使得 {x}是獨立子集的元素，則存在 S的最優(yōu)子集 A使得 x? A。 算法 greedy在以貪心選擇構(gòu)造最優(yōu)子集 A時，首次選入集合 A中的元素 x是單元素獨立集中具有最大權(quán)的元素。此時可能已經(jīng)舍棄了 S中部分元素?？梢宰C明這些被舍棄的元素不可能用于構(gòu)造最優(yōu)子集。 ))(log( nnfnnO ?51 貪心算法的理論基礎 引理 ： 設 M=(S,I)是擬陣。若 S中元素 x不是空集 的可擴展元素，則 x也不可能是 S中任一獨立子集 A的可擴展元素。 引理 (擬陣的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) ) 設 x是求帶權(quán)擬陣 M＝ (S， I)的最優(yōu)子集的貪心算法greedy所選擇的 S中的第一個元素。那么，原問題可簡化為求帶權(quán)擬陣 M’=(S’,I’)的 最優(yōu)子集 問題，其中： S’={y|y? S且 {x,y} ? I} I’={B|B? S{x}且 B∪{x} ? I} M’的權(quán)函數(shù)是 M的權(quán)函數(shù)在 S’上的限制 (稱 M’為 M關(guān)于元素 x的 收縮 )。 52 貪心算法的理論基礎 定理 (帶權(quán)擬陣貪心算法的正確性 ) 設 M＝ (S,I)是具有權(quán)函數(shù) W的帶權(quán)擬陣，算法greedy返回 M的最優(yōu)子集。 任務時間表問題 給定一個 單位時間任務 的有限集 S。關(guān)于 S的一個時間表 用于描述 S中單位時間任務的執(zhí)行次序。時間表中第 1個任務從時間 0開始執(zhí)行直至時間 1結(jié)束，第 2個任務從時間 1開始執(zhí)行至時間 2結(jié)束， … ，第 n個任務從時間 n1開始執(zhí)行直至時間 n結(jié)束。 53 貪心算法的理論基礎 具有 截止時間 和 誤時懲罰 的單位時間任務時間表問題可描述如下。 (1) n個單位時間任務的集合 S={1,2,… ,n}； (2) 任務 i的截止時間 ,1≤i≤n,1≤ ≤n ，即要求任務 i在時間 之前結(jié)束； (3) 任務 i的誤時懲罰 ,1≤i≤n, 即任務 i未在時間 之前結(jié)束將招致的 懲罰；若按時完成則無懲罰。 任務時間表問題 要求確定 S的一個時間表（最優(yōu)時間表）使得總誤時懲罰達到最小。 id ididiwiwid54 貪心算法的理論基礎 這個問題看上去很復雜，然而借助于 擬陣 ，可以用 帶權(quán)擬陣的貪心算法 有效求解。 對于一個給定的 S的時間表，在截止時間之前完成的任務稱為 及時任務 ，在截止時間之后完成的任務稱為 誤時任務 。 S的任一時間表可以調(diào)整成 及時優(yōu)先形式 ，即其中所有及時任務先于誤時任務，而不影響原時間表中各任務的及時或誤時性質(zhì)。 類似地，還可將 S的任一時間表調(diào)整成為 規(guī)范形式 ，其中及時任務先于誤時任務，且及時任務依其截止時間的非減序排列。 55 貪心算法的理論基礎 首先可將時間表調(diào)整為及時優(yōu)先形式，然后再進一步調(diào)整及時任務的次序。 任務時間表問題 等價于 確定最優(yōu)時間表中 及時任務子集 A的問題。一旦確定了及時任務子集 A，將 A中各任務依其截止時間的非減序列出，然后再以任意次序列出誤時任務，即 SA中各任務，由此產(chǎn)生 S的一個規(guī)范的最優(yōu)時間表。 對時間 t=1,2,… ,n， 設 (A)是任務子集 A中所有截止時間是 t或更早的任務數(shù)?？疾烊蝿兆蛹?A的獨立性。 tN56 貪心算法的理論基礎 引理 ： 對于 S的任一任務子集 A，下面的各命題是等價的。 (1) 任務子集 A是獨立子集。 (2) 對于 t=1,2,… ,n， (A)≤t 。 (3) 若 A中任務依其截止時間非減序排列，則 A中所有任務都是及時的。 任務時間表問題 要求使總誤時懲罰達到最小，這等價于使任務時間表中的及時任務的懲罰值之和達到最大。下面的 定理 表明可用帶權(quán)擬陣的貪心算法解任務時間表問題。 tN57 貪心算法的理論基礎 定理 ： 設 S是帶有截止時間的單位時間任務集， I是 S的所有獨立任務子集構(gòu)成的集合。則有序?qū)?(S,I)是擬陣。 由 定理 ，用帶權(quán)擬陣的貪心算法可以求得最大權(quán) (懲罰 )獨立任務子集 A，以 A作為最優(yōu)時間表中的及時任務子集，容易構(gòu)造最優(yōu)時間表。 任務時間表問題的貪心算法的 計算時間復雜性是 。其中 f(n)是用于檢測任務子集 A的獨立性所需的時間。用引理 (2)容易設計一個 時間算法來檢測任務子集的獨立性。因此，整個算法的計算時間 為 。具體算法 greedyJob可描述如 P130。 )( 2nO)(nO))(log( nnfnnO ?58 貪心算法的理論基礎 用抽象數(shù)據(jù)類型并查集 UnionFind可對上述算法作進一步改進。如果不計預處理的時間，改進后的算法fasterJob所需的 計算時間 為 。 )log( * nnO59 課后作業(yè) 習題 41， 44， 424， 425， 426， 427， 428， 431， 432 60
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