【正文】 密度。濾波器的兩個輸出分別對應窄帶衰落的同相分量和正交分量，其功率譜密度分別為和。也可用離散濾波器以類似的方法產(chǎn)生圖38 路徑損耗、陰影衰落和窄帶衰落的結(jié)合離散的衰落過程。多數(shù)通信仿真軟件，如Matlab、COSSAP等，都有用這種方法實現(xiàn)的窄帶衰落標準模塊。關于方針的具體細節(jié)及其他方法，請參見相關文獻。對于窄帶無線信道，我們已經(jīng)建立了三種功率隨距離變化的模型，如圖38所示。其中路徑損耗和陰影衰落的模型是在上一章建立的，本章增加了窄帶衰落模型。由圖38可觀察到路徑損耗使接收功率按照的速度下降，為路徑損耗指數(shù)；陰影衰落引起的功率變化比路徑損耗更快，它在不相關距離數(shù)量級上變化；多徑衰落引起的變化最快，它在半個波長數(shù)量級上變化。將圖38中的一小段進行水平放大，那么局部的路徑損耗和陰影損耗就可以看作是固定值。圖39示出了這樣放大后的一個局部，其中橫坐標是線性距離，縱坐標是按0dBm歸一化了的接收功率。此圖體現(xiàn)了一個移動臺以恒定速度v移動時，接收功率所呈現(xiàn)的平穩(wěn)遍歷變化。圖39 窄帶衰落 包絡和功率分布設X、Y是任意兩個獨立同分布的零均值方差為的高斯隨機變量，則服從瑞利分布，服從指數(shù)分布。前面已經(jīng)指出，對于均勻分布的，和是獨立同分布的零均值高斯隨機變量，假定同相分量和正交分量的方差均為，則接收信號的包絡為 它服從瑞利分布，其概率密度函數(shù)為 式中的是信號的平均接收功率，它只考慮路徑損耗和陰影效應，不考慮多徑時的接收功率。將代入式可得功率的概率密度函數(shù)為 即接收信號功率服從均值為的指數(shù)分布。是的復包絡，其相位為。當和是不相關的高斯隨機變量時，可證為均勻分布，且與獨立。因此，的幅度為瑞利分布、相位為均勻分布，且幅度和相位彼此間相互獨立。當信道中存在一個固定的直射分量時，和的均值不再是零。此時的接收信號是復高斯分量和直射分量的疊加，其包絡服從下式給出的萊斯分布 上式中是直射分量的功率，是其他非直射分量的平均功率。是修正的零階貝塞爾函數(shù)。萊斯衰落的平均接收功率為 常用衰落參數(shù)K來表示萊斯分布，其定義為 K代表直射和非直射分量的功率比。就是瑞利衰落，就是無衰落（信道沒有多徑成分，只有固定的直射分量）。衰落參數(shù)K反映了衰落的嚴重程度，K越小表示衰落越嚴重，K越大表示衰落越輕。經(jīng)過變量代換和后，可以用K、為參數(shù)給出萊斯分布為 瑞利分布和萊斯分布都能用數(shù)學方法從所假設的物理信道模型中導出。不過，有些實驗數(shù)據(jù)和這兩個分布都不太吻合。因此，人們提出了一個能吻合許多不同實驗數(shù)據(jù)的更為通用的衰落分布，它就是下式給出的Nakagami衰落分布 式中為平均接收功率，為伽馬函數(shù)。Nakagami分布有兩個參數(shù)：和m，為平均接收功率，m為衰落參數(shù)。時，式退化為瑞利衰落。令，則式近似于參數(shù)為K的萊斯分布。代表無衰落，此時是一個常數(shù)。因此Nakagami分布不僅可以表示瑞利和萊斯分布，還能表示其他許多衰落。有些實驗數(shù)據(jù)對應的m參數(shù)小于1，這樣的Nakagami衰落對系統(tǒng)性能造成的惡化比瑞利衰落還要嚴重。通過變量代換可得到Nakagami衰落的功率分布為 電平通過率和平均衰落時長電平通過率定義為單位時間內(nèi)信號包絡向下穿過電平Z的平均次數(shù)。計算需要信號包絡和的時間導數(shù)的聯(lián)合分布。下面我們基于這個聯(lián)合分布推導的表達式?？紤]圖310所示的衰落過程。在時間間隔內(nèi)，信號包絡在區(qū)間內(nèi)、包絡斜率在區(qū)間內(nèi)的平均時間為，對于給定的斜率，包絡穿過區(qū)間一次所需的時間為。比值是包絡z在時間間隔內(nèi)，以斜率穿過區(qū)間的平均次數(shù)。因此，在時間間隔內(nèi)，包絡以區(qū)間內(nèi)的斜率向下通過Z的平均次數(shù)為 進一步得到，在時間間隔內(nèi)，包絡以負斜率穿過電平Z的平均次數(shù)為 最終，一秒內(nèi)包絡穿過電平Z的平均次數(shù)，也即電平通過率為 這是一個通用結(jié)果，適用于任何隨機過程。圖310 衰落過程的電平通過率和衰落時長萊斯衰落下和的聯(lián)合概率密度函數(shù)參見相關文獻。將其帶入式便得到萊斯衰落的電平通過率為 式中。容易證明接收信號功率穿過門限值的通過率也是式，知識需要重新定義。對于瑞利衰落（），電平通過率簡化為 式中。平均信號衰落時長定義為信號包絡值低于給定的目標電平Z的平均時間。一般根據(jù)特定的性能指標（如誤比特率）所需要的接收功率或幅度來確定這個目標電平值，如果信號幅度或者功率低于目標值，就稱系統(tǒng)處于中斷狀態(tài)。令表示在時間間隔內(nèi)第i次低于電平Z的持續(xù)時長（見圖310），也就是第i次向下通過Z后，繼續(xù)停留在Z以下的時長。是平穩(wěn)遍歷過程，故對于足夠大的T我們有 于是，無限大時間內(nèi)的平均衰落時長為 對使用瑞利分布得到 其中。式是對目標幅度值為Z、平均幅度值為的信號幅值而言的平均衰落時長。通過變量代換容易得知，取后，式也是相對于目標功率為、平均功率為的信號功率而言的平均衰落時長。式中平均衰落時長隨多普勒頻移的增大而減小，這是因為信道變化越快時，它每次停留在給定衰落電平之下的時間也越短。當時平均衰落時長還隨的增大而增加，這是因為目標電平值越高時，接收信號低于目標值的可能性越大。萊斯衰落的平均衰落時長計算比較復雜。平均衰落時長可以反映出受深衰落影響的比特或者符號個數(shù)?？紤]一個比特間隔為的未編碼系統(tǒng)，假設時誤比特率很高。如果，那么系統(tǒng)中的出錯的那個比特（對應）之前和之后的比特很可能是正確的，因為對于前后的比特必然有，故發(fā)生單比特錯誤。如果，那么錯誤比特之后接收到的比特也滿足，因此可能發(fā)生長串突發(fā)錯誤。而當時，解調(diào)器中的積分運算將把衰落平均掉，此時衰落的影響可以忽略。在無線通信中介紹編碼和交織時將進一步討論這一問題。 有限狀態(tài)馬氏信道對于無線系統(tǒng)的性能分析來說，前面給出的平衰落模型過于復雜，我們需要一些更簡單但又能反映平衰落信道主要特性的模型。有限狀態(tài)馬氏信道（?nite state Markov channel，F(xiàn)SMC）就是這樣的簡化模型之一。FSMC將時間取樣后的信道近似為離散時間的馬爾科夫過程，采樣間隔一般等于碼元周期。所有可能的衰落增益構(gòu)成一個優(yōu)先的信道狀態(tài)集合。每隔T時間，信道按照馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率在這些狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移。有限狀態(tài)馬氏模型可用于近似衛(wèi)星信道、室內(nèi)信道、瑞利衰落信道、萊斯衰落信道和Nakagamim衰落信道等的數(shù)學模型或?qū)嶒災Ｐ?，也可用于系統(tǒng)設計和系統(tǒng)性能分析。對于系統(tǒng)性能分析來說，一階FSMC模型往往不夠精確，因而廣泛使用的是高階FSMC模型。FSMC模型一般用來描述衰落信道的幅度變化，也有人把它用于描述衰落的相位或信道的相位噪聲的變化。相關文獻建立了瑞利衰落的FSMC模型。它把瑞利衰落中的時變信噪比量化為許多區(qū)間，第個區(qū)間所對應的個信噪比范圍，區(qū)間的邊界和總的區(qū)間個數(shù)是模型中的參數(shù)。模型假定在時間間隔T內(nèi)值保持在同一個區(qū)間內(nèi)，在這個時間間隔結(jié)束時，可能繼續(xù)停留在本區(qū)間內(nèi)或者轉(zhuǎn)移到相鄰的信噪比區(qū)間，即若某個時刻的信道狀態(tài)是，則下一時刻的信道狀態(tài)只可能轉(zhuǎn)移到、或者，不能到達別的狀態(tài)，這在很小時是個合理的假設。在這樣的假設下，給出了區(qū)間之間的轉(zhuǎn)移概率為 其中是處的電平通過率，是第j個區(qū)間的穩(wěn)態(tài)分布：第4章 窄帶統(tǒng)計多徑信道模型 寬帶衰落模型寬帶信號中多增加了一個失真因素，就是多徑時延擴展。若發(fā)送脈沖的持續(xù)時間為T，到接收端脈沖就會擴展成，為多徑時延擴展，如圖41所示，脈寬為T的脈沖信號經(jīng)過多徑信道發(fā)送。線性調(diào)制由一串脈沖組成，每個脈沖通過幅度和相位攜帶數(shù)據(jù)比特或符號。圖41 多徑的分辨性如果多徑時延擴展，那么如圖右上所示，接收到的多徑分量在時間上大致重疊在一起。這些重疊的信號相互干涉能造成窄帶衰落，但脈沖在時間上沒有明顯的擴展，因此對后續(xù)脈沖的干擾很小。而當多徑時延擴展時，那么如圖右下所示，每一徑都是可分辨的。這些多徑分量將對后續(xù)脈沖（圖中虛線表示的脈沖）造成干擾，這種現(xiàn)象稱為碼間干擾（intersymbol interference，ISI）。對于多徑時延擴展造成的這種失真，存在一些對抗的方法，包括均衡、多載波調(diào)制和擴頻等。如果我們把系統(tǒng)設計成，則不需要采取措施來對抗碼間干擾，但這會限制數(shù)據(jù)的傳輸速率。多載波調(diào)制和擴頻技術通過改變發(fā)送信號的特性來最大限度地避免碼間干擾，但它們依然會受到頻率選擇性衰落的影響，我們將在接下來的章節(jié)介紹。寬帶模型有別于窄帶衰落模型的是，隨著發(fā)送信號帶寬B逐步增加到的時候，近似關系不再成立。這樣，接收信號是原發(fā)送信號經(jīng)過不同時延、不同相移之后各分量的和。相位差會造成的信號相互抵消，而和的時延差會造成失真。寬帶衰落雖然不再近似滿足式，但徑數(shù)很大且每一徑相位都服從均勻分布時，接收信號仍然是一個幅度為瑞利分布的零均值復高斯過程，與窄帶衰落不同之處是多徑分量之間的時延差。窄帶信號的多徑時延差小于信號帶寬的倒數(shù)，這使得式中多徑合并的結(jié)果只是給原發(fā)送信號增加了一個體現(xiàn)隨機幅度和相位的隨機過程。（或功率譜密度）和一維分布來描述這個隨機過程。對于寬帶信號，僅僅反映幅度和相位隨機過程是不夠的，因為不同多徑分量的時延擴展將會使接收信號失真，所以必須還要同時考慮時延擴展和信道時變性對信號的影響。我們從信道的等效基帶事變沖激響應來著手考慮寬帶信道。先假定對和t都是確定的連續(xù)函數(shù)。注意代表給定多徑時延下的沖激響應，t代表時變性。對進行關于t的傅里葉變換得 稱為等效低通沖激響應的確定散射函數(shù)（deterministic scattering function）。由于它是關于時變參數(shù)t的傅里葉變換，因此散射函數(shù)能通過頻率參數(shù)反映了信道的多普勒特性。一般來說，多徑分量的幅度、相位、時延以及徑數(shù)都是隨機的，所以式給出的時變信道沖激響應不是確定的而是隨機的。這就需要用統(tǒng)計的方法或者用測量的方法來進行研究。當徑數(shù)很大時可以借助中心極限定理吧假定為復高斯過程。這樣，信道的統(tǒng)計特性完全由其同相分量和正交分量的均值、自相關函數(shù)、互相關函數(shù)確定；如同窄帶信道的情形一樣，在寬帶信道中我們假定每徑的相位服從均勻分布，則的同相分量和正交分量也是相互獨立的高斯過程，他們的自相關函數(shù)相同、均值為零、互相關為零。這個結(jié)果在徑數(shù)較少時也能成立，只要各徑的幅度為瑞利分布、相位為均勻分布。但請注意，如果信道中存在一個起主導作用的的直射徑，這些結(jié)論并不成立。因此，的統(tǒng)計特性就由其自相關函數(shù)來確定，定義為 實際信道大多是廣義平穩(wěn)的，所以在時刻t和所測量的聯(lián)合統(tǒng)計特性只與實踐差有關。廣義平穩(wěn)信道的帶通響應的自相關函數(shù)可以從導出為我們假定信道模型為廣義平穩(wěn)，其自相關函數(shù)與t無關： 此外，實際環(huán)境中時延分別為和的兩個徑來自不同的散射體，他們的信道響應是不相關的。稱這樣的信道為不相關散射（uncorrelated scattering， US）信道。如果一個信道同時具備廣義平穩(wěn)（WSS）和不相關散射（US）這兩個特性，則稱為廣義平穩(wěn)不相關散射（WSSUS）信道。WSSUS模型最早是由Bello提出的，他在這篇文獻中還建立了自相關函數(shù)的二維變換關系。這些變換關系將在后續(xù)小節(jié)中討論。把不相關散射性質(zhì)加入式得到 式中的是信道的平均輸出功率，它是多徑時延和觀察間隔的函數(shù)。該函數(shù)假設時，和滿足，若不然，這兩個徑是不可分辨的，應視為一個合一的徑，其時延為。隨機信道的散射函數(shù)（scattering function）定義為關于的傅里葉變換： 它反映信道的平均輸出功率作為多徑時延和多普勒頻率的函數(shù)。注意我們對確定散射函數(shù)和隨機散射函數(shù)都用記號來表示，可以根據(jù)信道沖激響應是確定或隨機來確定是確定散射函數(shù)還是隨機散射函數(shù)，所以不會造成混淆。圖42給出了一個典型的散射函數(shù)。 下面幾節(jié)將討論寬帶信道最重要的一些特稱，包括功率時延譜、相干帶寬、多普勒功率譜和相關時間，這些特征都是從自相關函數(shù)或散射函數(shù)導出的。圖42 散射函數(shù) 功率時延譜令式中的就定義了功率時延譜（power delay profile），即，也成為多徑強度譜（multipath intensity profile）。功率時延譜表示給定多徑時延處的平均功率，很容易測量。一般用功率時延譜來定義平均時延擴展和均方根時延擴展： 注意對于所有均有，故若定義隨機時延擴展的概率密度為 則和分別是在此分布下的均值和均方根值。無論是用式的分布還是直接使用式和來定義，他們都是把各徑的時延按其功率進行了加權，因此弱徑對時延擴展的貢獻比強徑小。低于背景噪聲的徑不會對時延擴展產(chǎn)生明顯的影響。如果超過某個時延T后，值近似為零，則可用這個T值來粗略反映信道的時延擴展，一般取為均方根時延擴展的整數(shù)倍。例如，假設時，若線性調(diào)制的碼元周期是，則當時存在嚴重的碼間干擾，而當時碼間干擾可以忽略。計算時可將視同，將視同。當?shù)拇笮『驮谕粋€數(shù)量級時，系統(tǒng)中將會有一些碼間干擾，對系統(tǒng)性能是否有顯著影響取決于具體的系統(tǒng)和信道。進一步的，還可以研究碼間干擾對現(xiàn)象調(diào)制系統(tǒng)的影響和對抗方法，不過此內(nèi)容不在本次課程的討論之列。許多有大量反射體的信道近似有，但并非所有信道都是如此，和的準確關系取決于的形狀。若信道中沒有直射徑、多徑數(shù)量少、且各徑的時延差不多一樣大時。這種情況下，用這個比較大的值作為時延擴展的度量容易產(chǎn)生誤導。實際上，發(fā)送信號的所有分量大致同時到達，接收端解調(diào)器將會同步到這個公共的時延上。同步電路一般會鎖定在平均時延上，此時均方根時延擴展真正反映了新到的時間擴展特性。 相干帶寬也可以通過對做關于的傅里葉變換，在頻域研究時變多徑信道。傅里葉變換的結(jié)果是一個隨機過程： 因為是以t為時間參量的零均值復高斯隨機過程，所以式的傅里葉變換是對零均值復高斯過程的求和，因此也是一個零均值的復高斯過程，其特性完全由自相關函數(shù)確定。又由于是廣義平穩(wěn)過程，故也是廣義平穩(wěn)過程。這樣，式的自相關函數(shù)可以表示為 可將其簡化為如下的形式 式中，第三個等式來自的廣義平穩(wěn)性和非相關散射性。因此，關于頻率的自相關函數(shù)只與頻率差有關。測量的方法是：發(fā)送一對載頻差為正弦波，然后在接收端求出這兩個正弦波經(jīng)過時間間隔后的互相關值。如果定義，那么由式得 即是功率時延譜的傅里葉變