【正文】 示界面圖49 （例7）系統(tǒng)的能觀性判斷（2）系統(tǒng)能觀，意味著可以設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。單擊“OK”按鈕，選擇全維狀態(tài)觀測器，進(jìn)入下一界面，輸入配置的極點，單擊“計算”按鈕，計算結(jié)果立即顯示，如圖410所示。圖410 （例7）系統(tǒng)計算結(jié)果（3）對比設(shè)計給定系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測器的兩種方法，可以看出上述狀態(tài)觀測器設(shè)計合理有效。 降維狀態(tài)觀測器設(shè)計舉例 【例8】給定單輸入3維連續(xù)時間線性定常受控系統(tǒng)為x=444111212131413x+110u y=111x 試設(shè)計降維狀態(tài)觀測器，使極點為3和4。 【解】方法一（解析法）由于系統(tǒng)能觀性矩陣非奇異，故可設(shè)計降維狀態(tài)觀測器。取 D=010001則 P=CD=111010001 P1=Q1Q2=111010001進(jìn)而Q1=100 , Q2=111001計算得A=PAP1=60111111311 B=PB=010從而A22=1111A12=01設(shè)所需的E為 E=e1e2則有detsIA22EA12=dets+1e1+11s+e2=s2+7s+12至此，不難得知E=56則降維狀態(tài)觀測器為z=1616z+10u+6080y x=111001z+1256 方法二（利用MATLAB程序求解） （1）在控制器中輸入?yún)?shù)，單擊“能觀性判斷”按鈕，彈出如圖411所示界面圖411 （例8）系統(tǒng)的能觀性判斷（2）系統(tǒng)能觀，意味著可以設(shè)計降維狀態(tài)觀測器。單擊“OK”按鈕，選擇降維狀態(tài)觀測器，進(jìn)入下一界面，輸入配置的極點，單擊“計算”按鈕，計算結(jié)果立即顯示，如圖412所示。圖412 （例8）系統(tǒng)計算結(jié)果 （3）根據(jù)第（2）步所計算出的各系數(shù)，列寫降維狀態(tài)觀測器方程z=1616z+10u+6080y x=111001z+1256 （4）對比設(shè)計給定系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器的兩種方法，可以看出上述狀態(tài)觀測器設(shè)計合理有效。 線性二次型最優(yōu)控制舉例【例9】研究下式定義的系統(tǒng)x=Ax+Bu式中A=0101, B=00性能指標(biāo)J為J=0∞xTQx+uTRudt其中Q=1001, R=1假設(shè)采用下列控制u=Kx確定最優(yōu)反饋增益矩陣K。 【解】方法一（解析法） 最優(yōu)反饋增益矩陣K可通過求解下列關(guān)于正定矩陣P的里卡蒂方程得到ATP+PAPBR1BTP+Q=0其結(jié)果為 P=2111將該矩陣P代入下列方程，即可求得最優(yōu)矩陣K為K=R1BTP=1012111=11 方法二（利用MATLAB程序求解） （1）在控制器中輸入相關(guān)參數(shù)，單擊“能控性判斷”按鈕，彈出圖413圖413 （例9）系統(tǒng)的能控性判斷（2）系統(tǒng)能控，意味著可設(shè)計最優(yōu)控制器。單擊“OK”按鈕，進(jìn)入控制器設(shè)計界面，選擇LQR最優(yōu)控制器，單擊“確定”按鈕，進(jìn)入到最優(yōu)控制器求解界面。在最優(yōu)控制器界面分別輸入半正定矩陣Q和正定矩陣R的值，單擊“計算”按鈕，計算結(jié)果立即顯示，如圖414所示。圖414 （例9）系統(tǒng)計算結(jié)果（3）對比最優(yōu)反饋增益矩陣K的兩種求解方法，可以看出該最優(yōu)控制器設(shè)計合理有效。 本章小結(jié) 本章通過多個實例考查了給定系統(tǒng)的能控/能觀性判斷、狀態(tài)反饋與極點配置、全維/降維狀態(tài)觀測器的設(shè)計和線性二次型最優(yōu)控制等知識點，并采用兩種方法來驗證或計算結(jié)果，翔實準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)（結(jié)論）證明了本論文所設(shè)計的反饋控制器和狀態(tài)觀測器是合理有效的。第5章 反饋控制器與狀態(tài)觀測器應(yīng)用舉例 引言倒立擺系統(tǒng)是一種絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多典型問題，如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等[20]。研究倒立擺系統(tǒng)可以采用很多種控制策略，如PID控制、自適應(yīng)控制、狀態(tài)反饋以及智能控制等。通過對倒立擺的控制，可以用來檢驗新的控制方法是否有較強(qiáng)地處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機(jī)器人和一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛的用途，如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等[21]。所以對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行深入研究具有很重要的理論和實際意義。本論文以一級倒立擺為研究對象，給出兩種在實際應(yīng)用中廣泛使用的控制策略：狀態(tài)反饋的極點配置法和最優(yōu)控制的LQR 法，同時分別進(jìn)行MATLAB仿真,并對所得到的仿真結(jié)果進(jìn)行對比研究，不僅從理論上分析這兩種控制策略各自的特點，而且從仿真輸出的曲線進(jìn)行詳細(xì)的對比分析，使讀者能夠很直觀地分辨出這兩種控制策略的優(yōu)缺點，從而指導(dǎo)人們在不同的應(yīng)用場合合理利用這兩種控制策略。 直線式一級倒立擺系統(tǒng)的平衡控制 數(shù)學(xué)模型的建立圖51 直線式一級倒立擺示意圖倒立擺系統(tǒng)控制的目標(biāo)是通過給小車底座加一個外力F(控制量)，使小車停留在預(yù)定的位置，并使桿不倒下，即不超過一個預(yù)先定義好的垂直偏離角度范圍。直線式一級倒立擺系統(tǒng)如圖51所示，小車的質(zhì)量為M，倒立擺的質(zhì)量為m，擺長為2l，小車的摩擦系數(shù)為b，擺桿轉(zhuǎn)動慣量為I，小車的位置為x，擺桿與垂直上方向的夾角為θ，作用在小車水平方向上的動力為F。應(yīng)用牛頓－歐拉方程對系統(tǒng)進(jìn)行線性化，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：xxθθ=001(I+ml2)bIM+m+Mml20m2gl2IM+m+Mml20000010mlbIM+m+Mml2mgl(M+m)IM+m+Mml20xxθθ+0I+ml2IM+m+Mml20mlIM+m+Mml2uy=xθ=10000010xxθθ+00u (51)式中，x為小車的位移，x為小車的速度，θ為擺桿的角度，θ為擺桿的角速度，u為輸入（采用小車加速度作為系統(tǒng)的輸入），y為輸出。 利用極點配置法設(shè)計控制器 根據(jù)系統(tǒng)的要求，若超調(diào)量不超過17%，根據(jù)公式：Mp=expξπ1ξ2≤17%求得ξ= (52) 設(shè)調(diào)整時間ts=2s，根據(jù)公式：ts=4ξωn求得ωn=4 (53) 由ξ、ωn可得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：s2+2ξωns+ωn2=0即 s2+4s+16=0計算可得系統(tǒng)主導(dǎo)極點為：μ1=2+j23 , μ2=2j23 (54)再取另2個期望的閉環(huán)非主導(dǎo)極點（距離虛軸為主導(dǎo)極點的25倍即可）[22]，則取μ3=10 , μ4=10 (55)若令小車質(zhì)量M=，擺桿質(zhì)量m=，小車摩擦系數(shù)b=，擺桿長度l=，擺桿轉(zhuǎn)動慣量I=，重力加速度g=，則算得A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]B=[0。0。]C=[1 0 0 0。0 0 1 0]D=0P=[2+sqrt3*j2sqrt3*j1010] 在極點配置控制器中輸入所求得的系統(tǒng)矩陣A、B、C、D和期望極點P的值，求得系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣K和狀態(tài)系數(shù)矩陣AB*K的值，如圖52所示：圖52 系統(tǒng)計算結(jié)果為了驗證計算結(jié)果的正確性，我們在MATLAB命令窗口中分別輸入系統(tǒng)矩陣A、B和期望極點P的值，并利用命令eig(AB*K)來驗算所得的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣的極點是否為所求，其結(jié)果如圖53所示：P圖53 系統(tǒng)驗算結(jié)果系統(tǒng)驗算結(jié)果表明，上述極點配置控制器設(shè)計合理有效，計算結(jié)果準(zhǔn)確。在專門為直線式一級倒立擺控制系統(tǒng)所設(shè)計的GUI界面下對上述控制過程進(jìn)行仿真，得到倒立擺系統(tǒng)偏轉(zhuǎn)角度變化曲線和小車位移變化曲線，如圖54，系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線和降維觀測器觀測結(jié)果如圖55所示。圖54 擺桿偏角變化和小車位移變化曲線圖55 系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線和觀測器結(jié)果圖系統(tǒng)仿真結(jié)果再次表明，上述極點配置控制器設(shè)計合理有效，計算結(jié)果準(zhǔn)確。 利用LQR法設(shè)計控制器 ，即小車質(zhì)量M=，擺桿質(zhì)量m=，小車摩擦系數(shù)b=，擺桿長度l=，擺桿轉(zhuǎn)動慣量I=，重力加速度g=A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]B=[0。0。]C=[1 0 0 0。0 0 1 0]D=0P=[2+sqrt3*j2sqrt3*j1010]再取Q=1 0 0 0。0 0 0 0。0 0 1 0。0 0 0 0 R=1 (56) 在LQR最優(yōu)控制器中算得最優(yōu)反饋增益矩陣K的值，如圖56所示圖56 系統(tǒng)計算結(jié)果在專門為直線型一級倒立擺控制系統(tǒng)所設(shè)計的GUI界面下對上述控制過程進(jìn)行仿真，得到倒立擺系統(tǒng)偏轉(zhuǎn)角度變化曲線和小車位移變化曲線，如圖57，系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線和降維觀測器觀測結(jié)果如圖58所示。圖57 擺桿偏角變化和小車位移變化曲線圖58 系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線和觀測器結(jié)果圖由系統(tǒng)計算結(jié)果和仿真結(jié)果共同表明，利用LQR法設(shè)計的控制器合理有效，計算結(jié)果準(zhǔn)確。從仿真結(jié)果可以看出，極點配置法和LQR 法對小車的位置都有良好的控制效果，經(jīng)過較短的過渡過程，小車便能保持穩(wěn)定。將圖54和圖57進(jìn)行比較，很容易看出，圖57中的曲線比圖54中的曲線要平滑得多，但其超調(diào)量較大，反應(yīng)較遲緩，過渡過程較長，沒有極點配置法來得迅速。從這兩種控制策略的仿真控制效果來看，極點配置法具有較優(yōu)的魯棒性及瞬態(tài)特性，LQR法的魯棒性及瞬態(tài)性較差，但是LQR法具有較優(yōu)的穩(wěn)態(tài)特性，極點配置法則較差。這是因為LQR綜合考慮了各個狀態(tài)量在輸入控制量下的變化規(guī)律，從而保證了良好的穩(wěn)態(tài)效果，但是犧牲了系統(tǒng)的魯棒性和瞬態(tài)性。極點配置法雖然能夠通過選擇合適的期望閉環(huán)極點達(dá)到良好的控制效果，但這主要是依靠工程師的經(jīng)驗來選擇期望的極點，因此極點配置法就沒LQR法方便和簡單[23]。 旋轉(zhuǎn)式一級倒立擺系統(tǒng)的平衡控制 數(shù)學(xué)模型的建立旋轉(zhuǎn)式一級倒立擺系統(tǒng)主要由旋臂、擺桿、直流電機(jī)和角位移傳感器部分等組成，其基本結(jié)構(gòu)圖如圖59所示。圖59 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖旋轉(zhuǎn)式倒立擺的結(jié)構(gòu)和直線式倒立擺結(jié)構(gòu)很相似，它們的不同點在于旋轉(zhuǎn)式倒立擺是將擺桿連接到由電機(jī)帶動的旋臂上，通過控制電機(jī)來帶動旋臂旋轉(zhuǎn)，從而把力傳遞給擺桿來保持垂直倒立。與同級數(shù)的直線式倒立擺相比，旋轉(zhuǎn)式倒立擺的結(jié)構(gòu)比較簡單但數(shù)學(xué)模型復(fù)雜。在直線式倒立擺中，小車只有水平方向的直線運動，模型的非線性因素比較少，有利于倒立擺的控制；而在旋轉(zhuǎn)式倒立擺中，旋臂處在繞軸轉(zhuǎn)動的狀態(tài)，同時具有水平和垂直兩個方向的運動，模型中非線性因素比較多，對倒立擺的控制算法提出了更高的要求[24]。建立如圖510所示坐標(biāo)系圖510 模型分析坐標(biāo)系忽略一些次要因素，利用拉格朗日法，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式θ1θ2θ1θ2=02I2J1MJ1Fθ1θ2θ1θ2+02J1Ku y=1001000000100001θ1θ2θ1θ2 (57)式中J=J2+m2R12m2R1L2m2R1L2J2, F=f1+KmKe00f2M= m1L1+m2R1 0 0 m2gL2, K=Km0其中，m1,m2分別為旋臂和擺桿的質(zhì)量，R1,R2分別為旋臂和擺桿的長度，L1,L2分別為旋臂質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離和擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離，f1,f2分別為旋臂繞軸轉(zhuǎn)動的摩擦力矩系數(shù)和擺桿繞軸轉(zhuǎn)動的摩擦力矩系數(shù)，J1,J2分別為旋臂繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量和擺桿繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量，Km,Ke分別為電機(jī)力矩系數(shù)和電機(jī)反電勢系數(shù)，u為加在電機(jī)上的控制電壓。 利用極點配置法設(shè)計控制器 本論文以某公司研發(fā)的旋轉(zhuǎn)式一級倒立擺系統(tǒng)為研究對象，將參數(shù)代入式（57），得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[25]：x=000010 +y=1001000000100001x (58) 在控制器中分別輸入系數(shù)矩陣A、控制矩陣B和輸出矩陣C的值，判斷旋轉(zhuǎn)式一級倒立