【導(dǎo)讀】四川理工學(xué)院課程實(shí)施大綱。授課班級(jí)：材料20201(技能). 學(xué)期：2020-2017學(xué)年第二學(xué)期。上課時(shí)間：2017年2月27日至6月22日。答疑時(shí)間和方式：課前及課間、課后；電話、郵件、教室。

　　

【正文】 。 平均速度 如圖 13 o xy2r?1r?r??ttB ??,tA ,S?圖 1 3 27 定義： trv ????? （ 17） 稱 v? 為 ttt ??? 時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度。 jvivjtyitxtrv yx ?????? ??????????? (18） v? 方向：同 r?? 方向。 說明 ： v? 與時(shí)間間隔 )( ttt ??? 相對(duì)應(yīng)。 瞬時(shí)速度 v? 粗略地描述了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速度。 定義：dtrdtrvv tt ???? ????? ???? 00 limlim 稱 v? 為質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度。 dtrdv ??? （ 19） 結(jié)論 ： 質(zhì)點(diǎn)的速度等于位矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 。 jvivjdtdyidtdxdtrdv yx ?????? ????? （ 110） 式中dtdxvx? ，dtdyvy? 。 xv 、 yv 分別為 v? 在 x 、 y 軸 方向的速度分量。 v? 的大?。? 2222 yx vvdtdydtdxdtrdv ????????????????? ?? v? 的方向：所在位置的切線向前方向。 v? 與 x 正向軸夾角滿足xyvvtg ?? 。 平均速率與瞬時(shí)速率 定義： tttttsv ???????? 內(nèi)路程（參見圖 13） 稱 v 為質(zhì)點(diǎn)在 ttt ??? 時(shí) 間段內(nèi)得平均速率。為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速率。 定義： dtdstsvvtt ????????? 00 limlim 稱 v 為 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率，簡(jiǎn)稱速率。 當(dāng) 0??t 時(shí)（參見圖 13）， rdr ???? ， dss?? ，有 dsrd ?? 可知： vdtrddtrddtdsv ??? ???? 即 dtdsvv ?? ? （ 111） 結(jié)論 ：質(zhì)點(diǎn)速率等于其速度大小或等于路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 28 說明 ：⑴比較 v 與 v? ：二者均為過程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。 ⑵比較 v 與 v? ：二者均為瞬時(shí)量；前者 為標(biāo)量，后者為矢量。 四、加速度 為了描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢，從而引進(jìn)加速度的概念。 平均加速度 定義： tvvtva ?????? 12 ???? （見圖 14） 稱 a? 為 ttt ??? 時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度。 瞬時(shí)加速度 為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)加速度。 定義： dtvdtvaatt???? ????????? 00 limlim 稱 a? 為質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度。 dtrddtvda??? 2?? （ 112） 結(jié)論 ： 加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù) 。 jdt ydidt xdjdtdvidtdvdtvda yx ?????? 2222 ????? 式中： 22dt xddtdva xx ??，22dt yddtdva yy ??。 xa 、 ya 分別稱為 a? 在 x、 y軸上的分量。 a? 的大?。? 2222222222???????????????????????????????????? dt yddt xddtdvdtdvaaa yxyx? a? 的方向： a? 與 x軸正向夾角滿足xyaatg ?? 說明 ： a? 沿 v? 的極限方向，一般情況下 a? 與 v? 方向不同（如不計(jì)空氣 阻力的斜上拋運(yùn)動(dòng)）。 瞬時(shí)量： r? ， v? ， v ， a? 綜上 ： 過程量： r?? ， v? ， v ， a? 矢量： r? ， r?? ， v? ， v? ， a? ， a? 標(biāo)量： s? ， v ， v o xy2r?1r????ttB ??,tA ,圖 1 4（平移）2??1??2?? 29 五、直線運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，如圖 15 位移 ixixixrrr ?????? ??????? 1212 0??x ： r?? 沿 +x 軸方向； 0??x ： r?? 沿 x軸方向。 速度 ividtdxdtrdv x ???? ??? 0?xv ， v? 沿 +x軸方向； 0?xv ， v? 沿 x軸方向。 加速度 iaidtdvdtvda xx ???? ??? 0?xa ， a? 沿 +x軸方向； 0?xa ， a? 沿 x軸方向。 由上可見，一維運(yùn)動(dòng)情況下，由 x? 、 xv 、 xa 的正負(fù)就能判斷位移、速度和加速度的方向，故一維運(yùn)動(dòng)可用標(biāo)量式代替矢量式。 六、運(yùn)動(dòng)的二類問題 運(yùn)動(dòng)方程????? ?? ????? ?? 第二類問題：積分第一類問題：微分 v? 、 a? 等 12 圓周運(yùn)動(dòng) 本節(jié)先討論圓周運(yùn)動(dòng)，之后再推廣到一般曲線運(yùn)動(dòng)。 一、自然坐標(biāo)系 圖 21中， BAC 為質(zhì)點(diǎn)軌跡， t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn) P位于 A 點(diǎn)， te? 、 ne? 分別為 A點(diǎn)切向及法向的單位矢量，以 A 為 原點(diǎn)， te? 切向和 ne? 法向?yàn)樽鴺?biāo)軸，由此構(gòu)成的參照系為自 o x 1 x 2 xtA , ttB ??,圖 1 5ne?rA,tte?v?O圖 17 30 然坐標(biāo)系（可推廣到三維） 二、圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度及法向加速度 切向加速度 如圖 17，質(zhì)點(diǎn)做半徑為 r 的圓周運(yùn)動(dòng)， t 時(shí)刻，質(zhì) 點(diǎn)速度 tevv ??? （ 21） 式（ 21）中， vv ?? 為速率。加速度為 dtedvedtdvdtvda tt???? ??? （ 22） 式（ 22）中，第一項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率變化引起的，方 向與 te? 共線，稱該項(xiàng)為切向加速度，記為 tttt eaedtdva ??? ?? （ 23） 式（ 23）中， dtdvat ? （ 24） ta 為加速度 a? 的切向分量。 結(jié)論 ： 切向加速度分量等于速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 。 法向加速度 式（ 22）中，第二項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向改變引起的。 如圖 18，質(zhì)點(diǎn)由 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B點(diǎn)，有 ????????BAdseevvtt ?????39。39。 因?yàn)?OAet ?? ， OBet ?39。? ，所以 te? 、 te39。? 夾角為 ?d 。 ttt eeed ??? ?? 39。 （見圖 19） 當(dāng) 0??d 時(shí)，有 ?? ddeed tt ?? ?? 。 因?yàn)?tt eed ??? ，所以 ted? 由 A點(diǎn)指向圓心 O，可有 nt eded ?? ?? 式（ 22）中第二項(xiàng)為： ? ????te?A , tr?ddttB ?,dsO圖 1 8?dte?ted?te ??圖 1 9 31 nnnt ervedtdsrvedtdvdtedv ???? 2??? ? 該項(xiàng)為矢量，其方向沿半徑指向圓心。稱此項(xiàng)為法向加速度，記為 nn erva ??2? （ 25） 大小為 rvan 2? （ 26） 式（ 26）中， na 是加速度的法向分量。 結(jié)論 ： 法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑 。 總加速度 ntnnttnt ervedtdveaeaaaa ???????2?????? （ 27） 大?。? 22222 ?????????????????? rvdtdvaaant （ 28） 方向： a? 與 te? 夾角（見圖 110）滿足 tnaatg ?? 一般曲線運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲線運(yùn)動(dòng)，只要把曲率半徑 r 看作變量即可。 討論 ：⑴如圖 110， a? 總是指向曲線的凹側(cè)。 ⑵ 0?na 時(shí)， ??r ，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)。此時(shí) ????????????)0,0)0,0)0,0dvdvdvdtdvat勻速直線運(yùn)動(dòng)（減速直線運(yùn)動(dòng)（加速直線運(yùn)動(dòng)（ ⑶ 0?na 時(shí)， r 有限，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)。此時(shí) ????????????)0,0)0,0)0,0dvdvdvdtdvat勻速曲線運(yùn)動(dòng)（減速曲線運(yùn)動(dòng)（加速曲線運(yùn)動(dòng)（ a?ta?na?OA , t?圖 1 1 0 32 ⑷?????????????????????斜拋平拋豎直下拋拋體運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)減速圓周運(yùn)動(dòng)加速圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)特例 三、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述 角坐標(biāo) 如圖 111， t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在 A處， tt ?? 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn) 在 B 處， ? 是 OA與 x軸正 向夾角， ?? ?? 是 OB 與 x 軸正向夾角，稱 ? 為 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)， ?? 為 ttt ??? 時(shí)間間隔內(nèi)角坐標(biāo)增量，稱為在時(shí)間間隔 內(nèi)的角位移。 角速度 平均角速度： 定義： t??? ?? （ 29） 稱 ? 為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運(yùn)動(dòng)。為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，需要引進(jìn)瞬時(shí)角速度。 定義： dtdttt???? ????????? 00 limlim （ 210） dtd??? （ 211） 結(jié)論 ：角速度等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 說明 ：角速度是矢量， ?? 的方向與角位移 ??d 方向一致。 角加速度 為了描述角速度變化的快慢，引進(jìn)角加速度概念。 （ 1）平均角加速度： 設(shè)在 ttt ??? 內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)角速度增量為 ?? ttB ??,tA ,??? ??O xy圖 1 1 1 33 定義 ： t??? ?? （ 212） 稱 ? 為 ttt ??? 時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均角加 速度 瞬時(shí)角加速度： 定義 ： 2200 l i ml i m dtddtdttt????? ?????????? （ 213） 稱 ? 為 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)角加速度，簡(jiǎn)稱角加速度。 22dtddtd ??? ?? （ 214） 結(jié)論 ：角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 說明 ：角加速度是矢量，方向沿 ??d 方向。 線量與角量的關(guān)系 把物理量 v? 、 v 、 a? 、 ta? 、 na? 等稱為線量， ? ， ? 等稱為角量。 （ 1）、 v 與 ? 關(guān)系 如圖 27， 0?dt 時(shí) ， ?rddsrd ??? 有 dtdrdtrd ??? 即 ?rv? （ 215） （ 2）、 ta 與 ? 關(guān)系 式（ 215）兩邊 對(duì) t 求一階導(dǎo)數(shù)，有 dtdrdtdv ?? 即 ?rat ? （ 216） （ 3）、 na 與 ? 關(guān)系 ? ? 222 ?? rrrrva n ??? 即 2?ran ? ?? d??dttB ?,tA ,x圖 1 1 2r?rd?dsr ?? 34