【正文】 其實，這是一個偏各向同性擴散方程。尺度空間濾波理論架構，計算機視覺是一個多尺度的信號表示圖像和信號處理[5]。它代表平滑圖像作為一個集合，不同尺度空間參數(shù)是用于抑制細尺度圖像的平滑核的大小結構?？梢缘刃У乇豢醋魇歉飨蛲詿釘U散方程的解[6]。 然而，各向同性擴散不能保存圖像邊緣平滑的原本圖像中的一切。佩羅娜和馬利克[7]提出的邊緣保留各向異性擴散公式： （6）其中g是一個非增的光滑函數(shù)，從而導致空間的圖像選擇性平滑。包括在此時法線方向落后的擴散過程的等照度線的圖像，它可以去模糊圖像的邊緣，在一個穩(wěn)定的系統(tǒng)中。另外，考慮到在該空間的變化和邊緣方向的同時，阿爾瓦雷斯等[8]提出的平均曲率運動積分方程： （7）其中是一個高斯平滑內(nèi)核。這種模式只進行正向擴散沿當時的切線方向的邊緣有選擇性地平滑。 反向擴散 假定它是通過一個線性系統(tǒng)，其脈沖響應是一個高斯函數(shù)[24]，濾波后圖像相當于一個共同的信號和圖像退化模型（模糊）。這種模糊處理量與給定的圖像作為初始數(shù)據(jù)運行了一段時間的熱擴散方程。因此，為了去模糊圖像，其過程相當于反向擴散過程。換句話說，它是一個反向的擴散過程。在1965年，伽柏[17]第一次提出了基于定向敏感濾波的圖像去模糊方法[24]: （8）和是二階方向導數(shù)的圖像在當時切線和法線方向的等照度線，和c一樣是一個常數(shù)。反復進行這個過程，將導致一個定向擴散方程（包括沿切線方向）反向擴散。 然而，圖像去模糊的反擴散是特別不穩(wěn)定的。眾所周知，特殊的恢復技術需要穩(wěn)定的過程[11，18，19，25]。 自適應雙向擴散同時，圖像去噪和去模糊是圖像復原的一個共同的過程。在盲圖像去模糊中未知模糊算子H的情況下，我們提出以下的自適應雙向擴散方程： （9）一個非增函數(shù)，滿足當時，同時，當時。我們舉一個簡單的模型（9），發(fā)現(xiàn) 可以改寫為： （10） 正如它的名字“雙向擴散”，公式（10）中的第一項是一個反向的擴散過程，主要用于在當時正向去模糊，圖像在邊界地區(qū)有g?0，第二項是正向擴散過程。在切線方向上，主要用于均質區(qū)域g?1，其中圖像是由有選擇性的平滑邊緣的兩側和最小的平滑邊緣本身對圖像去噪。在公式（3）中的約束參數(shù)λ在大多數(shù)情況下是恒定的。由此產(chǎn)生的正則化方法與不合適的約束參數(shù)λ使圖像平滑的紋理和細節(jié)失真?；蛟谝欢康奈礊V除的噪聲中恢復的圖像。為了克服這種恢復圖像，參數(shù)必須是空間變化的，他是重要的圖像特征用于其他地方。為了恢復重要圖像的邊緣是圖像的特征如編碼信息，紋理和細節(jié)，我們開發(fā)的第三個保真項乘以梯度幅值。隨著空間變化的約束，我們可以使用漸變檢測器來控制圖像恢復的過程。這種自適應處理，使我們能夠更好地還原圖像邊緣和細節(jié)。由于公式（9）中的反擴散項是極不穩(wěn)定的，一個特殊的穩(wěn)定技術引入是為了克服圖像的失真。接下來，我們討論數(shù)值的逼近公式（9）。首先，我們在一個一維向量的形式形象地描述：U= {，I = 1,2，……，MN}。針對圖像的網(wǎng)格點，定義公式（9）的近似解： （11）在這里，（H，τ）代表時間和空間的離散步驟，分別使調(diào)和平均（見第43頁–58 [ 27 ]），在正向擴散項公式（9）可以近似為： (12)這里，表示的鄰域點。梯度在中央有限近似差分格式。為了控制反向擴散公式（9）獲得一個穩(wěn)定的解決方案，下面的通量校正傳輸（FCT）技術[28]，我們開發(fā)了一個穩(wěn)定的方案。定義在x方向上的擴散通量： （13）在y方向上，情況也相似。使用正向和反向的差分算子，我們的梯度保真項公式（9）中的拉普拉斯算子為： （14） （15）在這里，表示符號函數(shù)。因此，結合公式（12）—公式（15），我們有以下的數(shù)值逼近計劃： （16）矩陣向量的形式，通過在x和y方向的分裂，可以改寫為： （17）這里，和和 (18) (19) (20) 在這里，表示鄰里點在L∈{ X，Y }方向。然后，將公式（17）改寫為： （21）在這里，I是單位矩陣。由于矩陣是嚴格的對角矩陣，它是可逆的。因此，我們可以得到一個獨特的解決方案，在公式（16）中。其實，為了能夠推導出公式（17），我們可以用高斯消去算法（見4358頁[27]）：1。在x方向上變換： 2。在y方向上變換： 3。平均：我們給出了穩(wěn)定性條件和離散的最大最小值原理的公式（16）。定理1。對于公式（16），可以有以下結果：1，公式（16）有一個獨特的解決方案。 2，令。然后，當h=1時，公式（16）在和范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。3，公式（16）滿足離散的最大最小原則： (22)證明：（1）。 （2）因為在切線方向隱式擴散項是絕對穩(wěn)定的，我們只討論在明確的部分穩(wěn)定的條件如公式（16）。我們定在L方向的一般演變： （23）然后，進行CFL（柯朗弗里德里希路易）限制。圖1 測試圖像（從左至右）：辣椒，Lena和攝影師。 （24） （25）一個簡單的計算給出了穩(wěn)定條件。假設有最大值，我們就會知道。因此，公式（21）變換為。 （26）由于是單位行且非負，有公式（29）成立。 （27）遞歸函數(shù)，得到最大或最小原則，保證了過沖函數(shù)不會出現(xiàn)在函數(shù)變化過程中。4. 實驗結果在本節(jié)中，我們將展示自適應雙向擴散法（ABD）在函數(shù)穩(wěn)定計劃的有效性，通過比較相關的方法：Gabor的方法（8），各向異性擴散（AD）（6），平均曲率運動（MCM）方程（7）和雙向耦合流方程（CBDF）,這是我們先前提出的公式（12），去噪和清晰的實時圖像（參見圖1）。首先，在圖2中，我們測試的相關方法的一部分辣椒圖像嚴重模糊（高斯模糊：9 9的無噪聲，σ = ）。參數(shù)選擇如下（N為迭代次數(shù)）： Gabor方法中，C = 。AD方法中，K=，=，n=12。CBDF方法，=（200,6 ，3），（th1，th2）=（,10），（α，β）=（1,），=，n=15。ABD的方法，K=120，λ=，= ，N= 15。這里，高斯平滑沒有用于估計圖像特征。在所有情況下，小規(guī)范參數(shù)ε =被添加到避免被零除?？梢钥闯觯?Gabor的方法可以在一定程度上由幾個步驟迭代去模糊圖像的邊緣。然而，如果沒有適當?shù)姆€(wěn)定函數(shù)，反擴散過程中，它會產(chǎn)生一個無窮的結果。過沖和邊緣周圍的吉布斯振蕩后的第四個步驟中的迭代實驗。由AD方法保持圖像邊緣模糊，銳化邊緣的能力是有限的，即使它包含一個反向擴散過程。CBDF和ABD方法得到一個滿意的結果，用鋒利的邊緣和平滑的輪廓，其中ABD方法顯示了較好的恢復圖像細節(jié)和精美的間斷，因為它有很強的自適應處理。接下來，在圖3中，我們通過降噪和去模糊使一部分嘈雜稍微模糊的攝影師圖片（高斯模糊：55，σ =。零均值高斯噪聲，σ=）的參數(shù)選取如下： Gabor方法中，C =。AD方法中，K= 5，= ，n =15。MCM的方法中，K= 120，σ = ，=，n=10。CBDF方法中，=（200,6 ，3），（th1，th2）=（，），（α，β）=（1,），σ=，τ=，n=20。為ABD的方法，K=120，λ=，σ=，τ=，N= 20。因為可以求得，因為它并沒有充分擴散，在切線方向的照度線，沒有穩(wěn)定的反擴散過程，從而產(chǎn)生Gabor方法。圖2 無噪聲辣椒圖像去模糊（a）當?shù)赝嘶瘓D像。（b），（c）為Gabor方法（3和5次迭代），（d）AD方法（e）CBDF方法（f）ABD方法。 圖3嘈雜的攝像師模糊圖像的恢復（a）局部退化圖像（b）Gabor方法（3次迭代），（c）AD方法（d）MCM方法（e）CBDF方法（f）ABD方法。最壞的結果是其中噪聲已得到增強，而不是濾除且隨處可見。AD方法取得了較好的結果使圖像噪聲減小，圖像邊緣和細節(jié)變清晰，盡管其輪廓比較粗糙[15]。雖然它具有良好的圖像去噪，MCM的方法不能去模糊圖像邊緣和精致的細節(jié)，反擴散過程和一些細微的結構都將丟失。CBDF和ABD方法，去除噪聲以及去模糊邊緣效果都很好。因為很多細節(jié)盡可能得到恢復，ABD復原圖像方法效果最佳。此外，該方法在空間上變化的約束性強，提高ABD方法的準確性（見表1）。例如，我們也可以在上面的實驗驗證穩(wěn)定性條件。在圖4中，我們所提出的方法與不同的時間步驟（其他參數(shù)顯示信噪比（分貝）與上述相同）。由此可以看出，然后迅速下降，表示數(shù)值的退化已經(jīng)出現(xiàn)。因此，公式（16）是一個合理的穩(wěn)定條件。圖4 穩(wěn)定性條件：圖像恢復示例表1 不同方法的信噪比（DB）最后，在表1中，我們算出的信噪比（分貝）的結果在實驗中采用不同的方法，進一步驗證ABD方法優(yōu)于其他相關方法。5. 結論本文討論的是擴散處理的圖像盲復原。我們提出自適應的比迪擴散方法與空間變化的約束圖像去噪和去模糊。然后，我們開發(fā)了一個數(shù)值穩(wěn)定方案的理論分析，從而產(chǎn)生更好的恢復圖像邊緣和細節(jié)。然而，我們也發(fā)現(xiàn)，這是使理論分析更加明確，恢復出更加精致的細節(jié)和紋理的圖像。在今后的工作中，我們會考慮圖像分解方法，其中部分圖像按照不同方向擴散恢復。致謝這項工作得到國家自然科學基金（批準號：60933008，61070094，61020106001），中國博士后科學基金（批準號：20090460089）。附錄二：源程序清單將彩色圖像轉為灰度圖：filename = 39。39。imgRgb = imread(filename)。 % 讀入一幅彩色圖像imshow(imgRgb)。 % 顯示彩色圖像imgGray = rgb2gray(imgRgb)。 % 轉為灰度圖像figure % 打開一個新的窗口顯示灰度圖像imshow(imgGray)。 % 顯示轉化后的灰度圖像Imwrite (imgGray, 39。39。)。 % 將灰度圖像保存到圖像文件當輸入圖像無噪聲時，且PSF已知：clear allI=imread(39。39。)。I=im2double(I)。Len=21。Theta=42。PSF=fspecial(39。motion39。,Len,Theta)。Blurredmotion=imfilter(I,PSF,39。circular39。,39。conv39。)。%采用真實的PSF復原圖像WnrI1=deconvwnr(Blurredmotion,PSF)。%顯示圖像figure(1)imshow(I)。title(39。原始圖像39。)figure(2)subplot(2,2,1)。imshow(Blurredmotion)。title(39。運動模糊圖像39。)。subplot(2,2,2)。imshow(WnrI1)。title(39。采用真實PSF復原圖像39。)。輸入圖像有噪聲，且PSF已知：clear allI=imread(39。39。)。Len=21。Theta=42。PSF=fspecial(39。motion39。,Len,Theta)。Blurredmotion=imfilter(I,PSF,39。circular39。,39。conv39。)。%產(chǎn)生運動模糊噪聲圖像noise=*randn(size(I))。Blurred_M_N=imadd(Blurredmotion,im2uint8(noise))。%采用真實PSF復原圖像WnrI1=deconvwnr(Blurred_M_N,PSF)。figure(1)imshow(I)。title(39。原圖像39。)。figure(2)subplot(1,2,1)。imshow(Blurred_M_N)。title(39。運動模糊圖像39。)。subplot(1,2,2)。imshow(WnrI1)。title(39。采用真實PSF復原圖像39。)。NSR 復原法：clear allI=imread(39。39。)。Len=21。Theta=42。PSF=fspecial(39。motion39。,Len,Theta)。Blurredmotion=imfilter(I,PSF,39。circular39。,39。conv39。)。%產(chǎn)生運動模糊噪聲圖像noise=*randn(size(I))。Blurred_M_N=imadd(Blurredmotion,im2uint8(noise))。%計算noisetopower ratioNSR=sum(noise(:).^2)/sum(im2double(I(:)).^2)。%用真實的NSRWnrI1=deconvwnr(Blurred_M_N,PSF,NSR)。%用過大的NSRWnrI2=deconvwnr(Blurred_M_N,PSF,2*NSR)。%