【正文】 0(,)riiidpK????即虛軸上存在一個根。由隱函數(shù)存在定理可知，如雅可比矩陣24 (236)0(,)idprridiKyJ??????????非奇異，則由方程組(235)可解得局部唯一連續(xù)解曲線( )。命題 1 給出(,idy了在參數(shù)空間研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個充分必要條件。由式(234)和(236)，得 (237)2det0,Jky??????由式((234),以 , ,y 為參變量，解得pK?(238)2(,)cos(,)sin(2,in,co()pdi pdKAyByky?????????其中 2(,)1)[(]AyTyeB??????由于特征方程(233)的系數(shù)和 均為實數(shù)，如果 z 是式(233)的根，則其復共軛?亦為根，所以只需考慮 。[0,)y??接下來，按 y=0 和 y （0, )兩種情況討論參數(shù)空間 的穩(wěn)定域。(,)idK1)根據(jù)式 (233)，觀察到當復變量 z 為正實數(shù)，即 x ,y=0 時，式(233) 確定了?與 之間的一個線性關系iKd (239)diKab??其中 2()1()(xaxTbek???????固定 =1, =l,直線族(239)可在( )平面掃出不穩(wěn)定區(qū)域。pK,idK2)利用式 (238)繪制 y0 時的參數(shù)曲線( )，如圖 27 所示。(,idy25 圖 28 穩(wěn)定區(qū)域以下按開環(huán)穩(wěn)定對象和開環(huán)不穩(wěn)定對象給出具體確定 PID 參數(shù)穩(wěn)定域的方法。1) 開環(huán)穩(wěn)定對象此時有 T0。命題 2 對給定的開環(huán)穩(wěn)定對象(21),使得定 PID 控制器存在的比例增益 的范pK圍由下式確定: (240)111(sinco)pTKaak???? 其中 為方程1atanTa????在區(qū)間(0 ， )內(nèi)的解。當比例增益 超出上述范圍時，鎮(zhèn)定 PID 控制器不存在。?pK給定 T=， =，k=1， =。式(240)得到 的范圍為1 。??pKp取 =( =1/k)和 = 相應的穩(wěn)定區(qū)域分別為圖 29(a)和圖 29(b)的圖形。pKpp26 (a) =(b) =圖 29 穩(wěn)定開環(huán)對象穩(wěn)定區(qū)域在穩(wěn)定域內(nèi)選取一點 =1, =, =5。通過階躍響應來驗證所討論方法的pKdi正確性，如圖 210。圖 210 開環(huán)穩(wěn)定對象階躍響應2)開環(huán)不穩(wěn)定對象此時，T0。命題 3 對給定的開環(huán)不穩(wěn)定對象(21) ，鎮(zhèn)定 PID 控制器存在的充分必要條件為︱T/ ︱ 。如果該條件成立，則使得鎮(zhèn)定 PID 控制器存在的比例增益 的范? pK圍由下式確定： (241)2211(sinco)pTaaKkk????27 其中 為方程式(241)在區(qū)間 (0， )內(nèi)的解。當比例增益 超出上述范圍，鎮(zhèn)2a?pK定 PID 控制器不存在。給定 T=, =, k=1 , =。此時，對象(21) 不穩(wěn)定。由式(242)得到??的范圍是 1。取 =，相應的穩(wěn)定區(qū)域為如圖 211 所示的四邊形。pKpKp圖 211 不穩(wěn)定開環(huán)對象穩(wěn)定區(qū)域選取穩(wěn)定區(qū)域中的一點 =3， = 通過階躍響應驗證方法的正確性，如iKd圖 212。圖 212 開環(huán)不穩(wěn)定對象階躍響應根據(jù)以上討論，給出繪制 PID 參數(shù)穩(wěn)定域的算法如下:算法 3 確定 PID 參數(shù)穩(wěn)定域。28 Step 1：對給定的對象(21),按式(238) 或(240)計算 值的范圍。 pKStep2：在式(238)或(240)的范圍內(nèi)選取 值，然后，按 (239)在( )平面對充p ,idK分小的 0 繪制 Y=0 時對應的不穩(wěn)定區(qū)域。?Step3：取與 Step2 相同的 和 值，按式(238)繪制 Y (0, )時對應的臨界穩(wěn)定線。pK???Step4：根據(jù)命題 1 和雅可比矩陣的行列式(237)的符號判斷穩(wěn)定區(qū)域。從以上分析和設計過程可以看出，對任意給定的被控對象，只要大致知道比例增益 的取值范圍(可由無滯后情形下特征多項式穩(wěn)定的必要條件和勞斯判據(jù)得到) ，pK就可按算法 3 在( )平面繪制和確定穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域。,id3 一階時滯系統(tǒng)的 PID 控制器 Matlab/Simulink 仿真 前兩章通過理論公式分析設計出了時滯系統(tǒng) PID 控制曲線。本章的任務是通過仿真證明第二章理論探索的的 PID 曲線的正確性。主要用到的數(shù)學工具是MATLAB，通過 Matlab/Simulink 上的仿真結果來驗證方法的正確性。 我們來看 PID 控制器控制一階時滯系統(tǒng)的結果，時滯對象可以分為不穩(wěn)定對象和穩(wěn)定對象，分為兩種情況討論仿真結果。 一階開環(huán)不穩(wěn)定時滯系統(tǒng) 例 1 考慮下面的一階不穩(wěn)定時滯系統(tǒng) (31)()3sGse???用 PID 控制器來整定。 討論 PID 控制前的 Simulink 模塊圖和被控對象階躍響應如圖 3129 圖 31 被控對象階躍響應PID 控制后的 Simulink 模塊圖和被控對象階躍響應如圖 32:30 圖 32 被控對象階躍響應 圖 31 和 32 從理論上證明了本文中所研究的 PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域圖解法對于不穩(wěn)定對象時的正確性。 一階開環(huán)穩(wěn)定時滯系統(tǒng) 例 2 選取和實驗同樣的數(shù)據(jù)，考慮下面的一階穩(wěn)定時滯系統(tǒng) (32)().sGse???用 PID 控制器來整定。討論：1）PID 控制前的 Simulink 模塊圖和被控對象階躍響應如圖 33,31 圖 33 被控對象階躍響應2）PID 控制后的 Simulink 模塊圖和被控對象階躍響應如圖 34: 圖 34 被控對象階躍響應 圖 34 中所示的階躍響應曲線與用穩(wěn)定邊界法（或者臨界比例度法）所取得的整定效果基本一致，從而證明了理論的正確性。32 結束語 在工業(yè)生產(chǎn)過程中，往往不同程度的存在著時滯現(xiàn)象，或者對高階對象采用低階模型加時滯來近似描述。由時滯的存在使得系統(tǒng)無法獲得良好的性能。 本文針對一階線性時滯系統(tǒng)的 PID 的整定問題做了一些研究： 1. 首先簡要介紹了時滯系統(tǒng)的定義，產(chǎn)生原因以及簡要介紹時滯系統(tǒng)的解決方法，指出了本文的研究對象和方向：一階時滯系統(tǒng)的 PID 整定問題。 2. 對于一階單變量時滯系統(tǒng)，第二章首先分別介紹了常見的 PID 整定方法，同時重點介紹了繪制和確定一階滯后慣性環(huán)節(jié) PI 參數(shù)穩(wěn)定域和 PID 參數(shù)穩(wěn)定域的新方法。該方法的特點在于無需復雜的數(shù)學計算，直接在參數(shù)空間繪制并確定相應的參數(shù)曲線，給出了完整的參數(shù)穩(wěn)定域和所有滿足相角裕度或幅值裕度的參數(shù)區(qū)域，為PID 控制器的參數(shù)整定提供了一種有效和靈活的方法。從具體的推導過程可以看出，該方法可應用于任意有時滯或無時滯的被控對象，具有一定普遍性和工程意義。 由于設計時間和個人水平經(jīng)驗所限，本課題尚需在以后的研究中進一步完善，建議在以下幾個方面進行后續(xù)工作: 1. 本文只研究了在單變量時滯系統(tǒng)下的 PID 參數(shù)穩(wěn)定域，可繼續(xù)將該方法應用于多變量時滯系統(tǒng)進行研究。 2. 在系統(tǒng)原有的基礎上加入新的控制功能，并引入人工智能方法(專家系統(tǒng)、模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡)，實現(xiàn)智能監(jiān)測控制，從而提高傳統(tǒng)監(jiān)控系統(tǒng)的性能，形成監(jiān)測、控制、管理一體化的綜合智能系統(tǒng)。33 參考文獻[1] PID 控制 MATLAB 仿真（第二版）.北京：電子工業(yè)出版社，[2] （第四版）.北京：科學出版社，2022[3] ：中國電力出版社，2022[4] 金晶， PI 控制器性能設計圖解法[J]. 天津科技大學學報，2022，24(1):5457.[5] 高存臣，袁付順，：科學出版社[6] 歐琳琳， PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域計算[J]. 控制與決策，2022，21(9):10201023[7] PID 參數(shù)整定方法[B],2022[8] PID 參數(shù)穩(wěn)定域研究與實驗[A],信息與控制，2022,10020411[9] 蘇宏業(yè)，褚健. 一類非線性時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制器設計研究，自動化學報，1998,0231[10] 李春生， PI 控制器優(yōu)化設計[J]. 控制與決策，2022，22(3):341344.[11] 參數(shù)整定發(fā)展的趨勢[J].焦作工學院報，1999，18(5):369371[12] 張峻穎， [J].控制工程，2022，9(6):9193.[13] 朱海榮， PI 控制器 [J].南通大學學報，2022，6(2):6669.[14] ..Autoturning of PID controllers relay feedback approach[J]. 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