高中數(shù)學(xué)圓與直線知識點與各類提高習(xí)題附答案資料-11-資料下載頁
2025-06-27 17:29本頁面
【正文】 鑒。如圖，已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線均相切，切點分別為、另一圓與圓、軸及直線均相切，切點分別為、。（1）求圓和圓的方程；（2）過點作的平行線，求直線被圓 截得的弦的長度；3解：（1）由于圓與的兩邊相切，故到及的距離均為圓的半徑，則在的角平分線上，同理，也在的角平分線上，即三點共線，且為的角平分線，的坐標(biāo)為，到軸的距離為1，即：圓的半徑為1，圓的方程為；設(shè)圓的半徑為，由，得：,即，圓的方程為：；（2）由對稱性可知，所求弦長等于過點的的平行線被圓截得的弦長，此弦所在直線方程為，即，圓心到該直線的距離，則弦長=注：也可求得點坐標(biāo)，得過點的平行線的方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于，求得答案；還可以直接求點或點到直線的距離，進而求得弦長如果實數(shù)、滿足，求的最大值、的最小值。4解：（1）問題可轉(zhuǎn)化為求圓上點到原點的連線的斜率的最大值。設(shè)過原點的直線方程為，由圖形性質(zhì)知當(dāng)直線斜率取最值時，直線與圓相切。得：，（2）滿足。 注意學(xué)習(xí)掌握解（2）中利用圓的參數(shù)方程將關(guān)于x,y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的一元函數(shù)，從而方便求解的技巧。已知圓，直線。（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程.5解：（1）解法1：的方程， 即恒過定點圓心坐標(biāo)為，半徑，∴點在圓內(nèi)，從而直線恒與圓相交于兩點。解法2：圓心到直線的距離，所以直線恒與圓相交于兩點。（2）弦長最小時，，代入，得的方程為。注意掌握以下幾點：（1）動直線斜率不定，可能經(jīng)過某定點；（2）直線與圓恒有公共點直線經(jīng)過的定點在圓內(nèi)，此結(jié)論可推廣到圓錐曲線；（3）過圓內(nèi)一點，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦。已知為原點，定點，點是圓上一動點。（1）求線段中點的軌跡方程；（2）設(shè)的平分線交于，求點的軌跡方程。6解：（1）設(shè)中點，則，代入圓的方程得。（2）設(shè)，其中，由，代入圓方程并化簡得：。當(dāng)y=0時，即在軸上時，的平分線無意義。（1）本題的解法稱作相關(guān)點轉(zhuǎn)移法求軌跡，其核心是找到未知與已知動點之間的坐標(biāo)關(guān)系；（2）處理“角平分線”問題，一般有以下途徑：①轉(zhuǎn)化為對稱問題②利用角平分線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為比例關(guān)系③利用夾角相等。如圖所示，過圓與軸正半軸的交點A作圓的切線，M為上任意一點，再過M作圓的另一切線，切點為Q，當(dāng)點M在直線上移動時，求三角形MAQ的垂心的軌跡方程。7解：設(shè)邊上的高為邊上的高為，連接當(dāng)時，在上，,當(dāng)時，垂心為點B，也滿足方程，而點M與點N重合時，不能使A，M，Q構(gòu)成三角形。的垂心的軌跡方程為：。已知圓，是軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點， 求動弦AB的中點P的軌跡方程。8解：連接MB，MQ，設(shè)，點M，P，Q在一直線上，得①由射影定理得，即：②①式代入②式，消去a，得③，從幾何圖形可分析出，又由③式得，動弦AB的中點P的軌跡方程是：。第 15 頁 共 15 頁
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