第五節(jié)波的干涉-資料下載頁
2025-06-26 08:09本頁面
【正文】 是當頻率從f1增大到f 2= 3f1和f3 = 5f1時，波長l1相應減小到l2 = l1/3和l3 = l1/5。圖2 量筒內(nèi)空氣柱的共鳴現(xiàn)象與空氣柱的高度有關，即與量筒中盛水的多少有關。當改變盛水量后，發(fā)生共鳴的頻率f1也就發(fā)生相應變化。 六、(1995國際物理奧賽題)海洋中聲波的傳播引言：海洋中聲波傳播速度隨深度、溫度和含鹽量變化而變化。圖1a給出了聲速c隨深度z的變化關系，圖中最小速度c0出現(xiàn)在海洋表面和海底之間的中部區(qū)域內(nèi)。注意，為方便起見，將這一最小聲速對應的深度定為z = 0，而z = zs和z = －zb(zb取正)分別對應海洋表面和海底。于是聲速c可表達為c = c0+bz , 當z＞0。c = c0 當z = 0。c = c0 – bz , 當z＜0.其中 b =︱dc/dz︱為聲速隨深度變化的梯度絕對值，圖a中已設定b為常量。圖1b為z – x平面的一部分，該平面垂直于海平面，其中x為水平方向軸，z – x面上各處聲速c 隨z 變化的圖線已在圖1a中示出。設在z = 0、x = 0處放置一個聲源S，從S 發(fā)出的一部分聲波可用由S 引出的初始角為θ0的波射線來描述，這已在圖中示出。因聲速隨z 而變，波射線會折射，導致波射線方位角θ 的變化。(1)試證從S 出發(fā)并限制在z – x 平面內(nèi)的一段波射線初始軌跡是半徑為R 的圓弧，且 R = c0/(bsinθ0)，取0≤θ0＜(2)以某些θ0角向上發(fā)射的聲波，在傳播中不會遇到海洋表面反射，試導出用zs、c0和b表述的此類q0角的最小值公式。(3)圖1b還畫出了一個放在z = 0、x = X處的聲波接收器H，為使以θ0角從S 發(fā)出的聲波可到達接收器H，試導出用b、X 和c0表述的式子，用來給出一組角θ0的值。此處假設zs 和zb 足夠大，從而排除在海洋表面和海底反射的可能性。(4)計算可使波射線從S折轉到達H的四個最小發(fā)射角θ0的值，假設 X = 10000m, c0 = 1500m/s b = 。(5)先對(3)問中得到的發(fā)射角θ0的最小值，導出聲波從S 到達H 所經(jīng)傳播時間的表達式。再據(jù)(4)問給出的該θ0角值，計算傳播的時間值。計算中可利用積分公式 ∫dx/sinx = ln(tan).接著計算從S沿著z = 0直線方向傳播到達H所需的時間。最后，對θ0 = p/2和q0取(4)問中四個什的最小者的兩條波射線，計算哪一個先到達H？圖2[思路導航]折射是波動的特性之一，因此可用折射定律構建聲波在兩個不同位置O 處及深度z處的對應參數(shù)(c0，θ0)與(c，θ)之間的函數(shù)式。該函數(shù)式在光的折射現(xiàn)象中已定量確定。本題求解需用到高等數(shù)學的微積分知識，已超出國內(nèi)物理競賽的大綱要求。[解答](1)折射定律可表述為 sinθ/sinθ0 = c/c0.取波射線軌跡中的一小段，可將它處理成半徑為R的弧元。注意，R可在零到無窮之間取值。參照圖2，有 ds = Rdθ對折射公式兩邊取微分，可得 cosθdθ = sinθ0dc/c0.因波射線向上行進，應取 c = c0+bz.即得 dc = bdz cosθdθ= sinθ0bdz/c0.因此 dz = dθ.由圖2的線元關系又可得 dz = dscosθ.與上式聯(lián)立可得 ds = c0dθ/sinθ0.于是有 R = ds/dθ = ( =).此結果適用于z＞0的任一弧元，表明波射線在折轉到x軸之前曲率半徑處處為相同的常量，所以整段為一圓弧。圖3(2)為使聲波不會遇到海洋表面發(fā)生反射，要求波射線或在海面下方，或恰好與海面相切。最小θ0角對應波射線圓弧與海面相切的情況，參照圖3有 zs = R － Rsinθ0 = (1 sinθ0).由此解得 θ0 = arcsin()(3)接收器H能接收到的聲波，對應的波射線圓弧必須通過H所在點，圖4所示為其一。由圖可得 X = 2Rcosθ0 = cosθ0.即 cotθ0 = 圖4圖5給出了另一種到達H的路徑，有圖5 = 2Rcosθ0.相應可得 cotθ0 = .類推可得符合題意的一組θ0角為 θ0 = arccot() = arctan().其中n = 1,2,3,…,θ0＜.值得指出的是n→時，對應θ0 = ，即為沿x軸行進的波射線。(4)應用(3)問解答所給θ0角的計算公式，將題文所給數(shù)據(jù)代入，可算得 n = 1 θ0 = 176。， n = 2 θ0 = 176。， n = 3 θ0 = 176。， n = 4 θ0 = 176。，(5)如圖4所示波射線對應(3)問中最小θ0角，此射線從S 到H 所經(jīng)時間為 tSH = ∫dt = ∫dS/c.先計算S 到圓弧頂點P 的時間，有 tSP = ∫dS/c = ∫.將R = c/bsinθ代入，得 tSP = ∫.利用題文所給積分公式可得 tSP =－ln(tan)注意到 tSH = 2tSP.即得 tSH = －ln(tan).將b = 176。代入，算得 tSH = .沿著z = 0直線(即x軸)方向傳播到H 所需時間為 t′SH = X/c0.將X = 10000m，c0 = 1500m/s代入，可算得 t′SH = .t′SH即為θ0 = 的聲波，顯然有 tSH＜t′SH.即θ0取(4)問中最小者的聲波將先于取θ0 = 的聲波到達H。歡迎下
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