【正文】 數(shù)值計算方法期末模擬試題二 一、 填空（共20分，每題2分） 設(shè) ，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=_____.設(shè)一階差商 ， 則二階差商 數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點的函數(shù)值 則由三點的求導公式，有 求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 解初始值問題 近似解的梯形公式是 窗體頂端 ，則A的譜半徑 ＝ ，A的 ＝ 窗體底端窗體頂端設(shè) ，則 ＝和 ＝ 若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯塞德爾迭代都_____窗體底端窗體頂端解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為_____ 窗體底端窗體頂端設(shè) ，當 時，必有分解式 ，其中L為下三角陣，當其對角線元素 足條件 時，這種分解是唯一的。 窗體底端窗體頂端二、計算題 （共60 分，每題15分） 設(shè) （1）試求 在 上的三次Hermite插值多項式H（x）使?jié)M足 H（x）以升冪形式給出。（2）寫出余項 的表達式 窗體底端窗體頂端已知 的 滿足 ，試問如何利用 構(gòu)造一個收斂的簡單迭代函數(shù) ，使 0，1…收斂？ 窗體底端窗體頂端 試確定常數(shù)A，B，C和 ，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？ 窗體底端窗體頂端 推導常微分方程的初值問題 的數(shù)值解公式： 窗體底端窗體頂端三、證明題 設(shè) （1） 寫出解 的Newton迭代格式（2） 證明此迭代格式是線性收斂的 窗體底端窗體頂端 設(shè)R=I－CA，如果 ，證明： （1）A、C都是非奇異的矩陣（2） 窗體底端參考答案：一、填空題 收斂O（h） 二、計算題（1） （2） 由 ，可得 因 故 故 ，k=0,1,…收斂。 ，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的 數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程 在區(qū)間 上積分，得 ，記步長為h,對積分 用Simpson求積公式得 所以得數(shù)值解公式： 三、證明題證明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式： n=0,1,… 得 ，n=0,1,… （2）因迭代函數(shù) ，而 ， 又 ，則 故此迭代格式是線性收斂的。 證明：（1）因 ，所以I–R非奇異，因I–R=CA，所以C，A都是非奇異矩陣 （2） (2) 故 則有 （）因CA=I–R，所以C=（I–R）A1，即A1=（I–R）1C又RA1=A1–C，故由 （這里用到了教材98頁引理的結(jié)論）移項得 ()結(jié)合（）、()兩式，得北 京 交 通 大 學2007―2008學年第二學期期末考試試題課程名稱： 計算方法 出題教師：__韓 臻___ 專業(yè):_計科_班級:_ 姓名:_________ 學號:_____________ 題號一二三四五六七總分得分閱卷人一、 填空(每小題6分，共30分)1． 在計算 時，則計算結(jié)果的絕對誤差不超過 ____ ____ 。2． 設(shè)。請給出數(shù)值求解方程的根的牛頓迭代公式：____ ____ 。3． 用雅可比迭代法求解線性代數(shù)方程組，試問其迭代是否收斂？__________ ； 為什么？____ ___ ____ 。4． 請給出三次樣條插值函數(shù)的3個主要優(yōu)點：(1)______________，(2)______________，(3)______________ 。5． 已知的值。試利用這5個值給出求積分 近似值的一個數(shù)值積分公式：_________ ___________ __。二、 Matlab部分 (每小題15分，共30分)1. 設(shè)方程 ，用二分法求該方程的根，要求誤差不超過 e＝，輸出根及迭代次數(shù)，最后畫出曲線并標注近似根的位置。試給出整個過程相應的Matlab命令。 2. 用列主元高斯消元法求解線性代數(shù)方程組 ,最后輸出結(jié)果。 試給出整個求解過程相應的Matlab命令。三、 綜合題(每題20分,共40分)1． 用最小二乘法求形如 的經(jīng)驗公式，使其與下列數(shù)據(jù)相擬合，并計算其均方誤差。0 p/6p/25p/6p 22． 確定下列數(shù)值積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度最高， 。并利用該公式構(gòu)造其相應的求解一般區(qū)間上的積分的復合求積公式求。參考答案：一、 （若只給出推導，沒估計最后值得3分） ，（若只給出一般牛頓法，沒考慮分母為0得3分） 收斂（得3分）, 系數(shù)矩陣按列嚴格對角占優(yōu)；或（得3分） 穩(wěn)定性（沒有龍格現(xiàn)象），計算簡單性（局部性），二階光滑性，等（各得2分） 書中給出的5點柯茨公式，或5點復合梯形、復合辛普森公式等（得4分）；（如果給出書上沒有的公式得6分）。二、（算法正確得5分；程序結(jié)構(gòu)完整得5分；命令正確無誤得5分） f=inline(39。cos(x)x/2+139。)。 tolerance=1e3。it_limit=50。it=0。a=0。c=pi。Y_a=f(a)。Y_c=f(c)。 while 1 it=it+1。 b=(a+c)/2。Y_b=f(b)。 if(abs(ca)=tolerance) fprintf(39。滿足條件\n39。)。break end if(itit_limit) fprintf(39。迭代次數(shù)超界 \n39。)。break end if(Y_a*Y_b=0) c=b。Y_c=Y_b。 else a=b。Y_a=Y_b。 end end fprintf(39。最后結(jié)果:Root=%\n39。,b)x=bitxx=0:*pi:pi。yy=f(xx)。plot(xx,yy,x,0,’or’)。A=[1 2 1。1 1 3。3 0 1]。b=[1。3。1]。[n,n] = size(A)。 piv=1:n。for k=1:n1 [maxv,r]=max(abs(A(k:n,k)))。 q=r+k1。 piv([k q])=piv([q k])。 A([k q],:)=A([q k],:)。 b([k q])=b([q k])。 A(k+1:n,k) = A(k+1:n,k)/A(k,k)。 A(k+1:n,k+1:n) = A(k+1:n,k+1:n) A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n) b(k+1:n)=b(k+1:n)A(k+1:n,k)*b(k) pause。endb(n)=b(n)/A(n,n)。for k=n1:1:1 b(k)=(b(k)A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k)。endb。三、（最小二乘法公式正確得10分； 方程組及計算正確得5分； 均方誤差正確得5分）初始方程矩陣： 常數(shù)項 擬合系數(shù)滿足的方程， 解出：，即均方誤差：（積分公式正確得10分；復合積分公式正確得10分）系數(shù)：復合公式：歡迎您的光臨，！希望您提出您寶貴的意見，你的意見是我進步的動力。贈語； 如果我們做與不做都會有人笑，如果做不好與做得好還會有人笑，那么我們索性就做得更好，來給人笑吧！ 現(xiàn)在你不玩命的學，以后命玩你。我不知道年少輕狂，我只知道勝者為王。不要做金錢、權(quán)利的奴隸；應學會做“金錢、權(quán)利”的主人。什么時候離光明最近？那就是你覺得黑暗太黑的時候。最值得欣賞的風景，是自己奮斗的足跡。壓力不是有人比你努力，而是那些比你牛幾倍的人依然比你努力。