【正文】 ——位移增量向量的某種范數(shù)實踐證明，對有些問題，前后兩次迭代所得到的位移向量范數(shù)之比值會出現(xiàn)劇烈跳動，以導(dǎo)致收斂不可靠。取不平衡結(jié)點力為衡量收斂標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)則稱為平衡力準(zhǔn)則，若滿足下列條件就認(rèn)為迭代收斂： (2117)式中：P為外荷載向量；為不平衡力向量；為不平衡力收斂容差。上面公式中取哪一種范數(shù)，理論上可以任選。有學(xué)者認(rèn)為，在用平衡力準(zhǔn)則時，取比較好；在用位移準(zhǔn)則時，取更為方便。在非線性比較嚴(yán)重的問題中，用位移準(zhǔn)則更合適。有的學(xué)者還用能量作為收斂標(biāo)準(zhǔn)，綜合了力與位移兩個方面，但要增加更多的計算量。 穩(wěn)定計算理論穩(wěn)定是橋梁工程中經(jīng)常遇到的問題，與強度問題有著同等重要的意義。橋梁跨徑的增大、橋塔高聳化、箱梁薄壁化以及高強材料的應(yīng)用等，使得穩(wěn)定問題更為突出。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有擾動，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。在橋梁結(jié)構(gòu)中，總是要求其保持穩(wěn)定平衡，也即沿各個方向都是穩(wěn)定的。研究穩(wěn)定可以從小范圍內(nèi)觀察，即在鄰近原始狀態(tài)的微小區(qū)域內(nèi)進行研究。為揭示失穩(wěn)的真諦，也可從大范圍內(nèi)進行研究。前者以小位移理論為基礎(chǔ)，而后者建立在大位移非線性理論的基礎(chǔ)上，引出了研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的兩種形式：第一類穩(wěn)定：分支點失穩(wěn)問題；第二類穩(wěn)定：極值點失穩(wěn)問題。實際工程中的穩(wěn)定問題一般都表現(xiàn)為第二類失穩(wěn)。但是，由于第一類穩(wěn)定問題是特征值問題，求解方便，在許多情況下兩類問題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩(wěn)定問題仍有著重要的工程意義。橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)或局部失穩(wěn)。局部失穩(wěn)是指部分結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu))的失穩(wěn)或個別構(gòu)件的失穩(wěn)，局部失穩(wěn)常常導(dǎo)致整個結(jié)構(gòu)體系的失穩(wěn)。失穩(wěn)事故的發(fā)生促進了橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展。早在1744年，歐拉()就提出了壓桿穩(wěn)定的著名公式。恩格塞(Engesser)等根據(jù)大量中長壓桿在壓曲前已超出彈性極限的事實，分別提出了切線模量理論和折算模量理論。普蘭特爾和米歇爾幾乎同時發(fā)表了關(guān)于梁側(cè)傾問題的研究成果。近代橋梁工程中由于采用了薄壁輕型結(jié)構(gòu)，又為穩(wěn)定問題提出了一系列新的實際課題。瓦格納(，1929)及符拉索夫(，1940)等人關(guān)于薄壁桿件的彎扭失穩(wěn)理論，證明其臨界荷載值大大低于歐拉理論的臨界值，同時又不能用分支點的概念來解釋。因而引入了極值點失穩(wěn)的觀點以及跳躍現(xiàn)象的穩(wěn)定理論。研究壓桿屈曲穩(wěn)定問題常用的方法有靜力平衡法(Eular方法)、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振動法。靜力平衡法是從平衡狀態(tài)來研究壓桿屈曲特征的，即研究載荷達(dá)到多大時，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)。其實質(zhì)是求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑(曲線)的分支點所對應(yīng)的載荷值(臨界載荷)。能量法則是求彈性系統(tǒng)的總勢能不再是正定時的載荷值。缺陷法認(rèn)為：完善而無缺陷的理想中心受壓直桿是不存在的。由于缺陷的影響，桿件開始受力時即產(chǎn)生彎曲變形，其值要視缺陷程度而定。在一般條件下缺陷總是很小的，彎曲變形并不顯著，只是當(dāng)荷載接近完善系統(tǒng)的臨界值時，變形才迅速增至很大，由此確定其失穩(wěn)條件。振動法以動力學(xué)的觀點來研究壓桿穩(wěn)定問題。當(dāng)壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動之后，必將產(chǎn)生自由振動，如果振動隨時間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的。以上四種方法對于歐拉壓桿而言，所得到的臨界荷載值是相同的。如果仔細(xì)研究一下，可以發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論并不完全一樣，表現(xiàn)在以下幾個方面： (1)靜力平衡法的結(jié)論只能指出，當(dāng)P=PP...、Pn時壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最可能，并無抉擇的條件。同時在P185。PP...、Pn時，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無法回答直線形式的平衡是不穩(wěn)定的問題。 (2)缺陷法的結(jié)論也只能指出，當(dāng)P=PP...、Pn時，桿件將發(fā)生無限變形，所以是不穩(wěn)定的。但對于P在PP...、Pn各值之間時壓桿是否穩(wěn)定的問題也不能解釋。 (3)能量法和振動法都指出，PP1之后不論P值多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個結(jié)論和事實完全一致。由于橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不可能單靠上述方法來解決其穩(wěn)定問題。大量使用的是穩(wěn)定問題的近似求解方法，歸結(jié)起來主要有兩種類型：一類是從微分方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解，如逐次漸近法。另一類是基于能量變分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式。當(dāng)今非線性力學(xué)將有限元與計算機結(jié)合，得以將穩(wěn)定問題當(dāng)作非線性力學(xué)的特殊問題，用計算機程序?qū)崿F(xiàn)求解，取得了巨大的成功。根據(jù)有限元平衡方程可以表達(dá)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。，結(jié)構(gòu)增量形式的平衡方程為： (2118)，結(jié)構(gòu)的平衡方程為： (2119)發(fā)生第一類失穩(wěn)前，結(jié)構(gòu)處于初始構(gòu)形線性平衡狀態(tài)，因此，式(2118)中大位移矩陣0[K]L為零。，所以，結(jié)構(gòu)的平衡方程的表達(dá)形式是統(tǒng)一的。即： (2120)在結(jié)構(gòu)處在臨界狀態(tài)下，即使{ΔR}→0，{Δu}也有非零解，按線性代數(shù)理論，必有： (2121)在小變形情況下，與應(yīng)力水平成正比。由于假定發(fā)生第一類失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)是線性的，多數(shù)情況下應(yīng)力與外荷載也為線性關(guān)系，因此，若某種參考荷載對應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣為，臨界荷載為，那么在臨界荷載作用下結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣為： (2122)于是式(2121)可寫成： (2123)式(2123)就是第一類線彈性穩(wěn)定問題的控制方程。穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題。一般來說，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定是相對于某種特定荷載而言的。在橋梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)內(nèi)力一般由施工過程確定的恒載內(nèi)力(這部分必須按施工過程逐階段計算)和后期荷載(如二期恒載、活載、風(fēng)載等)引起的內(nèi)力兩部分組成。因此，也可以分成一期恒載的幾何剛度矩陣和后期荷載的幾何剛度矩陣兩部分。當(dāng)計算的是一期恒載穩(wěn)定問題時，可直接用恒載來計算，這樣通過式(2123)算出的l就是一期恒載的穩(wěn)定安全系數(shù)；當(dāng)計算的是后期荷載的穩(wěn)定問題時，恒載可近似為一常量，式(2123)改寫成： (2124)形成和求解式(2124)的步驟可簡單歸結(jié)為：(1)按施工過程，計算結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力和恒載幾何剛度矩陣；(2)用后期荷載對結(jié)構(gòu)進行靜力分析，求出結(jié)構(gòu)初應(yīng)力(內(nèi)力)；(3)形成結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣和式(2124)；(4)計算式(2124)的最小特征值問題。這樣，求得的最小特征值λ就是后期荷載的安全系數(shù)，相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài)。第二類穩(wěn)定是指橋梁結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變化，當(dāng)外載產(chǎn)生的應(yīng)力使結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣趨于奇異時，結(jié)構(gòu)承載能力就達(dá)到了極限，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有擾動，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。從力學(xué)分析角度看，分析橋梁結(jié)構(gòu)第二類穩(wěn)定性，就是通過不斷求解計入幾何非線性和材料非線性的結(jié)構(gòu)平衡方程，尋找結(jié)構(gòu)極限荷載的過程。全過程分析法是用于橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計算方法，它通過逐級增加工作荷載集度來考察結(jié)構(gòu)的變形和受力特征，一直計算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。 小結(jié)本章通過直接剛度法和能量法介紹了橋梁結(jié)構(gòu)有限元分析的基本概念和一般步驟。在引入了結(jié)構(gòu)幾何非線性和材料非線性概念的同時，建立了橋梁結(jié)構(gòu)非線性分析的增量平衡方程和求解思路。并以此為基礎(chǔ)，給出了橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的基本概念和求解兩類穩(wěn)定問題的方法。27