【正文】 置1。因此，引入支承條件的問題就歸結為劃去對應未知量的行與列的問題，這種方法稱為劃行劃列法。下面仍對本例進行討論。（5） 結構剛度矩陣是稀疏陣，非0元素很少。（3） 處于同一單元上的兩個未知量稱相關未知量。可見，若將單元剛度矩陣中元素下標寫成位移分量編號的形式，則結構剛度矩陣中任一剛度元素與單元剛度矩陣中元素有如下關系： (213)式中：—單元號，—結構單元總數因此，用直接剛度法集成總剛，可歸納為以下幾步：（1） 結構未知量進行編號，確定各未知量在結構剛度方程中的位置(行號)；（2） 確定結構剛度矩陣的階數N；（3） 對單元e進行循環(huán)，尋找e單元剛度矩陣中各元素下標對應于整體剛度方程中的未知量編號；并按此編號，根據式(213)分別疊加到結構總體剛度矩陣中的對應位置上去。（1） 確定結構剛度矩陣的階數。以上分析實現(xiàn)了整體分析，即得到結構原始剛度矩陣和結構剛度方程。式中，稱為梁單元的剛度矩陣，只要已知梁單元的、就可計算出單元剛度矩陣。獨立的單元桿端內力為彎矩、順時針為正。圖21 受集中力矩作用的連續(xù)梁在有限元分析過程中，第一步是進行結構離散，并對離散單元進行分析，分析的目的是得到單元節(jié)點的力與位移的關系。 有限元分析的基本概念和計算步驟首先以求解連續(xù)梁為例，引出結構有限元分析的一些基本概念和計算步驟。根據單元在邊界處相互之間的連續(xù)性，將各單元的關系式集合成方程組，求出這些未知量，并通過插值函數計算出各個單元內場函數的近似值，從而得到全求解域上的近似解。第二章 有限元分析基本理論有限元法的基本思路是將一個連續(xù)求解區(qū)域分割成有限個不重疊且按一定方式相互連接在一起的子域(單元)，利用在每一個單元內假設的近似函數來分片地表示全求解域上待求的未知場函數。有限元將一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題進行求解。如圖21，連續(xù)梁承受集中力矩作用。單元分析的方法有直接法和能量法，本節(jié)采用直接法。記：為單元e的節(jié)點位移向量；為單元e的桿端力向量。以上分析實現(xiàn)了單元分析的目的，即得到單元剛度方程和單元剛度矩陣。通過整體分析，建立了節(jié)點的平衡方程，即結構的剛度方程，從而得到結構剛度矩陣。結構剛度方程中第i行，表示該結構第i個位移分量上力的平衡方程，因此，如果結構有N個獨立位移分量，就可列出N個獨立平衡方程，結構剛度矩陣就是NN階的。對單元循環(huán)完畢時，結構剛度矩陣就形成了。若兩個未知量不相關，則。對于較大規(guī)模的結構，結構剛度矩陣中的非0元素只占總元素的10%左右。如果改變本例中節(jié)點3的邊界條件，如圖23所示，在節(jié)點1和2處轉角、是未知量，節(jié)點力、是已知量，節(jié)點3是固端，為未知量，轉角是已知量，即。有時，為了能方便地計算出支反力，我們可以將式(28)寫成 (217)式中： ——未知位移量； ——已知位移； ——已知荷載向量； ——未知荷載向量或支反力。荷載向量中對應的元素也置零。圖24 單元內有非節(jié)點荷載作用的連續(xù)梁要解決這個問題，需用等效節(jié)點荷載來代替非節(jié)點荷載來分析整體結構受力，處理原則為在等效節(jié)點荷載作用下的結構節(jié)點位移與實際荷載作用下結構的節(jié)點位移應相等。圖24(c)中的節(jié)點荷載{P}稱為結構非節(jié)點荷載的等效節(jié)點荷載，而式(224)中的單元固端力矩{M0}(1)、{M0}(2)的反號力叫做相應單元荷載的等效節(jié)點荷載。 () (225)有限元分析的實施過程可分為三個階段。為了便于理解，將有限元分析的基本步驟歸納成以下幾點：(1)結構簡化與離散化，并對離散結構進行單元、節(jié)點編號；(2)整理原始數據，包括單元、節(jié)點、材料、幾何特性、荷載信息等；(3)形成各單元的單元剛度矩陣；(4)形成結構原始剛度矩陣；(5)形成結構荷載向量，它是節(jié)點力與非節(jié)點力的總效應；(6)引入支承條件；(7)解方程計算節(jié)點位移；(8)求各單元內力和各支承反力。但為了簡化計算，一般可近似為桿系結構，因此，下一節(jié)將用能量法描述有限元分析原理和單元分析方法。(5)用結構坐標系內的節(jié)點位移表示單元坐標系內的節(jié)點位移 (233)式中：為單元的轉換矩陣。假設應力在截面上均勻分布，原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直，問題可以簡化為一維問題。對兩節(jié)點扭轉桿單元，桿端有兩個位移 (255)取插值函數為 (256)有，代入泛函并從得到單元剛度方程為： (257)式中：為等截面自由扭轉桿單元的單元剛度矩陣，為單元右端荷載向量 (258) (259)在經典的梁彎曲理論中，假設變形前垂直于直梁中心線的截面變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線，從而使梁彎曲問題簡化為一維問題。在分析梁彎曲問題時，通常采用兩節(jié)點Hermite彎曲梁單元，桿端有四個位移 (265)插值函數為： (266)有，代入泛函并從得到單元剛度方程為： (267)式中：為等截面梁單元的單元剛度矩陣，為單元右端荷載向量 (268) (269) 桿系結構的非線性分析理論固體力學中有三組基本方程，即本構方程、幾何運動方程和平衡方程。表21給出了非線性問題的分類及基本特點?？梢姡芰顟B(tài)因變形而發(fā)生明顯改變時，就必須用幾何非線性方法進行分析。非線性問題的分類及基本特點 表 21非線性問題定 義特 點橋梁工程中的典型問題材料非線性 由材料的非線性應力、應變關系引起基本控制方程的非線性問題。 幾何運動方程為非線性。 受力后的邊界條件在求解前未知。190。190。即： (271) {}190。190。[D]190。式中0[K]T是三個剛度矩陣之和，稱為單元切線剛度矩陣，它表示荷載增量與位移增量之間的關系，也可理解為單元在特定應力、變形下的瞬時剛度。由于荷載增量一般取為有限值而不可能取成微分形式，結構在求得的位移狀態(tài)下，抗力與總外荷載之間有一差量，即失衡力，結構必須產生相應位移以改變結構的抗力來消除這個失衡力。： (284)橋梁結構材料非線性主要是非線性彈塑性問題和混凝土徐變問題，本節(jié)介紹非線性彈塑性問題的分析方法，混凝土徐變問題將在第七章中介紹。(5)從卸載轉入反向力加載，應力、應變關系繼續(xù)采用式(287)或(288)，一直到反向屈服。(2)密賽斯(Von Mises)屈服條件：假定偏應力張量的第二不變量達到某一極限時，材料開始屈服，相當于材料力學中的第四強度理論。需要改變的只是在塑性區(qū)范圍內用塑性材料的本構關系矩陣[Dep]代替原來的彈性系數矩陣[De]。 (2)暫假定是彈性的，計算 (298) (3)由此推出新的應力狀態(tài)為 (299) (4)核對在第二步中的假設是否符合事實。 (2102) (8)計算塑性部分應變增量及當前應力 (2103) (2104) (9)計算應變增量之塑性部分所引起的應力。以