【正文】 固定端引入支承條件即將式(28)修改為： (214)為了求解、可從矩陣方程中取出前面兩個(gè)方程： (215)即 (216)式(216)就是引入支承條件和荷載情況后得到的位移法基本方程，由此可解出基本未知量、。因此，引入支承條件的問題就歸結(jié)為劃去對(duì)應(yīng)未知量的行與列的問題，這種方法稱為劃行劃列法。式(217)可寫成如下兩個(gè)獨(dú)立方程組： (218) (219)由于，所以式(218)等價(jià)于式(216)。在程序計(jì)算中，希望將引入支座后的矩陣仍保留原來的階數(shù)且未知量排列順序不變，為此，可將式(216)擴(kuò)大成如下形式： (222)即：對(duì)原始剛度矩陣先提取對(duì)應(yīng)于已知位移向量的剛度元素，以備計(jì)算支座反力用，再將原始剛度矩陣中這些元素全部置0，對(duì)角線元素置1。這種處理約束的方法稱為充0置1法。圖24(a)所示結(jié)構(gòu)具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，2個(gè)單元，、為節(jié)點(diǎn)荷載，、為非節(jié)點(diǎn)荷載。具體可按如下步驟處理：(1)求等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算非節(jié)點(diǎn)荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載時(shí)可分兩步進(jìn)行：第一步：在各節(jié)點(diǎn)加上約束，阻止節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移，計(jì)算結(jié)構(gòu)上所有非節(jié)點(diǎn)荷載的效應(yīng)，如圖24(b)所示，其中、為非結(jié)點(diǎn)荷載在增加的約束中引起的反力(彎矩)。顯然，把圖24(b)和(c)兩種情況疊加就得到圖24(a)給出的情況。(2)求各桿端彎矩連續(xù)梁在非節(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩由兩部分組成，一部分是在節(jié)點(diǎn)加阻止位移的約束時(shí)非節(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩，另一部分是在等效節(jié)點(diǎn)力荷載作用下的桿端彎矩。將兩部分桿端力進(jìn)行疊加，即得非節(jié)點(diǎn)荷載作用下各桿的桿端彎矩。前處理階段：將整體結(jié)構(gòu)或其一部分簡(jiǎn)化為理想的數(shù)學(xué)力學(xué)模型，用離散化的單元代替連續(xù)實(shí)體結(jié)構(gòu)或求解區(qū)域；分析計(jì)算階段：運(yùn)用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)離散模型進(jìn)行分析計(jì)算；后處理階段：對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析、整理和歸納。因此，讀者必須熟練掌握這一過程的每一環(huán)節(jié)，領(lǐng)會(huì)其分析思路。不同結(jié)構(gòu)的有限元分析具有以下區(qū)別：(1)描述結(jié)構(gòu)的單元形式不同——一種單元將對(duì)應(yīng)一種單剛；(2)單元的節(jié)點(diǎn)未知量個(gè)數(shù)不同——平面剛架單元為3，空間剛架單元為6等等。橋梁結(jié)構(gòu)一般為空間復(fù)合結(jié)構(gòu)，它的離散模型可由梁、板、殼以及三維實(shí)體單元組合而成，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的單元分析一般采用能量法推導(dǎo)。 基于最小勢(shì)能原理的有限元法采用最小勢(shì)能原理建立有限元方程可以歸結(jié)為以下步驟：(1)以單元坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移為待定參數(shù)，引入插值函數(shù)，給出單元內(nèi)的位移函數(shù)： (226)(2)用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變和單元應(yīng)力 (227) (228)式中：，稱為應(yīng)變(幾何)矩陣，為一階微分算子；為彈性矩陣。(4)根據(jù)最小勢(shì)能原理，建立單元坐標(biāo)系內(nèi)的單元?jiǎng)偠确匠? (230) (231) (232)式中：為單元坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?；為單元坐?biāo)系中的右端荷載向量。(6)得到系統(tǒng)總勢(shì)能的離散形式 (234)(7)根據(jù)最小勢(shì)能原理，建立結(jié)構(gòu)的總體剛度方程 (235) (236) (237)式中：為總體剛度矩陣；為總體右端荷載向量。(9)作必要的輔助計(jì)算得到結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力、應(yīng)力以及約束反力等。基本未知量是軸向位移函數(shù)，承受軸向荷載的等截面二力桿單元的基本方程如下：幾何方程： (238)物理方程： (239)平衡方程： 或 (240)邊界條件：(端部給定位移) (241)(端部給定荷載) (242)與上述方程等效，可將問題轉(zhuǎn)換為求解泛函(勢(shì)能)的極值問題： (243)式中：為單元上的分布荷載，集中荷載(包括節(jié)點(diǎn)荷載)作為分布荷載的特殊情況也包括在內(nèi)。式中：為單元的分布扭矩，集中扭矩(包括節(jié)點(diǎn)扭矩)作為分布扭矩的特殊情況也包括在內(nèi)。基本未知函數(shù)是中面撓曲函數(shù)，彎曲問題的基本方程如下：幾何關(guān)系： (260)物理方程： (261)平衡方程： (262)邊界條件： 且(或) 或：且(或) 或：且(或) (263)式中：是梁中面的曲率，三種邊界條件為零時(shí)分別對(duì)應(yīng)于固定端、簡(jiǎn)支端、自由端。式中：為單元的分布荷載，、分別為集中橫向力和集中彎矩。經(jīng)典線性理論基于三個(gè)基本假定，即材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿足廣義虎克定律；位移是微小的；約束是理想約束。只要基本假定中任何一個(gè)失效時(shí)，問題就轉(zhuǎn)化為非線性。幾何非線性理論將平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后位置上。按幾何非線性分析方法處理，在外力P作用下，B點(diǎn)產(chǎn)生豎向位移，當(dāng)位移達(dá)到一定值d時(shí)，AB、BC兩桿件中軸力的豎向分力與P平衡，d 即為B點(diǎn)位移的解。凡是在本構(gòu)關(guān)系中放棄材料線性關(guān)系假定的理論，均屬材料非線性范疇。橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和混凝土作為主要建材，因此，涉及的材料非線性主要是非線性彈塑性問題和混凝土徐變問題。 材料不滿足虎克定律。幾何非線性 放棄小位移假設(shè)，從幾何上嚴(yán)格分析單元體的尺寸、形狀變化，得到非線性的幾何運(yùn)動(dòng)方程，由此造成基本控制方程的非線性問題。平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后的位置上，結(jié)構(gòu)剛度除了與材料及初始構(gòu)形有關(guān)外，與受載后的應(yīng)力、位移也有關(guān)。接觸問題 不滿足理想約束假定而引起的邊界約束方程的非線性問題。 懸索橋主纜與鞍座的接觸狀態(tài)；支架上預(yù)應(yīng)力梁張拉后的部分落架現(xiàn)象。以桿系結(jié)構(gòu)為例，對(duì)于任意應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系與幾何運(yùn)動(dòng)方程，桿單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到： (270)式中：{s}190。單元的應(yīng)力向量； {f}190。單元桿端力向量； V 190。 單元體積分域，； [B]190。 應(yīng)變矩陣，是單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系矩陣。190。在有限位移情況下[B]是位移{}的函數(shù)矩陣，可分解為與桿端位移無關(guān)的部分[B0]和與桿端位移有關(guān)的部分[BL]兩部分，即： (272)采用增量列式法將式(270)寫成微分形式： (273)或： (274)根據(jù)式(272)，式(274)左邊第一項(xiàng)可寫成： (275) 當(dāng)材料滿足線彈性時(shí)，有： (276)式中：{}190。單元的初應(yīng)變向量； {}190。單元的初應(yīng)力向量。190。于是，單元的應(yīng)力、應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系可表示成： (277)式中：將式(271)、(272)代入式(277)得： (278)于是，式(274)左邊第二項(xiàng)可表示為： (279) 記： (280) (281)則式(274)最后可表達(dá)為： (282)式(282)。0[k]0與單元節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)，是單元彈性剛度矩陣，0[k]L稱為單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣，是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化，是d{}的函數(shù)。將各單元切線剛度方程按節(jié)點(diǎn)力平衡條件組集成結(jié)構(gòu)增量剛度方程，即有： (283)式中：0[K]T為結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，可以由單元切線剛度矩陣按常規(guī)方法進(jìn)行組集形成；d{P}為荷載增量。在計(jì)算中，一般通過迭代法來求解。，平衡方程式(274)中的積分須在t時(shí)刻單元體積內(nèi)進(jìn)行