【正文】 MP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=，∴小明的身影變短了5﹣=．點評：解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題．23．陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案．（1）所需的測量工具是：　?。唬?）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x．考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：方案型；開放型。分析：樹比較高不易直接到達，因而可以利用三角形相似解決，利用樹在陽光下出現(xiàn)的影子來解決．解答：解：（1）皮尺，標(biāo)桿；（2）測量示意圖如圖所示；（3）如圖，測得標(biāo)桿DE=a，樹和標(biāo)桿的影長分別為AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）點評：本題運用相似三角形的知識測量高度及考查學(xué)生的實踐操作能力，應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力．本題答案有多種，測量方案也有多種，如（1）皮尺、標(biāo)桿、平面鏡；（2）皮尺、三角尺、標(biāo)桿．24．問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm．丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點M．請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：閱讀型；轉(zhuǎn)化思想。分析：此題屬于實際應(yīng)用問題，解題時首先要理解題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行解答；此題需要轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．解答：解：（1）由題意可知：∠BAC=∠EDF=90176。，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，學(xué)校旗桿的高度是12m．（3分）（2）解法一：與①類似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）則∠OMN=∠HGN=90176。，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）解法二：與①類似得：，即，∴GN=208．（4分）設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）則∠OMN=∠HGN=90176。，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根據(jù)勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合題意，舍去），∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）點評：本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．此題的文字敘述比較多，解題時要認真分析題意．25．陽光通過窗口照射到室內(nèi)，（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=，窗口高AB=，求窗口底邊離地面的高BC．考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：因為光線AE、BD是一組平行光線，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，則有，從而算出BC的長．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=，ED=，∴CD=6m．∵AB=，∴AC=BC+，∴，∴BC=4，即窗口底邊離地面的高為4m．點評：此題基本上難度不大，利用相似比即可求出窗口底邊離地面的高．26．如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2．考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想。分析：利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解題．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根據(jù)題意設(shè)李華由A到A39。，身高為A39。B39。，A39。C39。代表其影長（如圖）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性質(zhì)得：，當(dāng)李華從A走到A39。的時候，他的影子也從C移到C39。，因此速度與路程成正比∴，所以人影頂端在地面上移動的速度為．點評：此題是把實際問題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問題，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解題．27．如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3．（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用SSS3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比（1），（2），（3）的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論．考點：相似三角形的性質(zhì)；勾股定理。專題：開放型；探究型。分析：利用直角△ABC的邊長就可以表示出SSS3的大?。切蔚倪厺M足勾股定理．解答：解：設(shè)直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，則c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．證明如下：顯然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）當(dāng)所作的三個三角形相似時，S1=S2+S3．證明如下：∵所作三個三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作相似圖形，其面積分別用SSS3表示，則S1=S2+S3．點評：本題是對勾股定理進行的證明，難易程度適中．28．已知：如圖，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．考點：相似三角形的性質(zhì)。專題：計算題。分析：已知△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可知：AB：AD=AC：AE，由此可求出AE的長．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)．注意：求相似比不僅要認準(zhǔn)對應(yīng)邊，還需注意兩個三角形的先后次序．29．已知：如圖Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的長；（2）過B作BE⊥DC于E，求BE的長．考點：相似三角形的性質(zhì)；勾股定理。分析：（1）由勾股定理可得BC的長，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出BD、CD的長；（2）根據(jù)△BCD面積的不同表示方法，即可求出BE的長．解答：解：（1）Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE?CD=BD?BC，∴BE===3．點評：本題主要考查的是直角三角形的性質(zhì)及直角三角形面積的不同表示方法．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3：10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長．考點：相似三角形的性質(zhì)；比例的性質(zhì)。專題：計算題。分析：（1）用同一個字母k表示出x，y，z．再根據(jù)已知條件列方程求得k的值，從而進行求解；（2）根據(jù)相似三角形周長的比等于對應(yīng)高的比，求得周長比，再根據(jù)周長差進行求解．解答：解：（1）設(shè)=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）設(shè)一個三角形周長為Ccm，則另一個三角形周長為（C+560）cm，則，∴C=240，C+560=800，即它們的周長分別為240cm，800cm．點評：（1）解此類題目先設(shè)一個末知量，再根據(jù)已知條件列方程求得末知量的值，從而代入求解；（2）此題注意熟悉相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長比等于對應(yīng)高的比．44