【正文】 BQ．　　證明 ∵APBC＋BPAC＝PCAB(托勒密定理)，　　又∵BC＝AC，　　∴(AP＋BP)AC＝PCAB，　　　　故(AP＋BP) CQ＝CPBQ．　　例6 在同心圓O1，O中，大圓半徑是小圓半徑的兩倍，小圓O的內(nèi)接四邊形ABCD的各邊的延長線順次交大圓O1于B1，C1，D1，A1，則　　A1B1＋B1C1＋C1D1＋D1A1≥2(AB＋BC＋CD＋DA)．(全國第三屆冬令營試題)　　證明 在圖7中利用托勒密推廣定理可得A1B1OA＋AA1OB1≥O1A1AB1，　　∵O1B1＝O1A1＝2OA，AB1＝AB＋BB1，　　∴上式為A1B1≥2AB+2(BB1AA1)，同理可得　　B1C1≥2BC＋2(CC1BB1)，C1D1≥2CD＋2(DD1CC1)，D1A1≥2DA＋2(AA1DD1)，　　將上面四個(gè)式子相加即得要證的不等式．　　例7 試證斯脫槐(Stewart)定理：設(shè)D是△ABC底邊BC上的任一內(nèi)點(diǎn)，則AD2BC＝AB2CD+AC2BDBCBDCD．　　證明 如圖8，延長AD交△ABC的外接圓于E點(diǎn)，則得　　AEBC＝ ABEC+ACBE，　　即(AD＋DE)BC＝ABEC＋ACBE．(1)　　由△ADC∽△EDB，△ADB∽△CDE，△BDE∽△ADC，依次可得　　　　將(1)式中的DE、EC、BE換成上面等式中的值，便得到　　　　即AD2BC＝AB2CD＋AC2BDBCBDCD．　　說明 當(dāng)D點(diǎn)在BC邊延長線上時(shí)，則有　　AD2BC＝AC2BDAB2CD+BCBDDC．　　例8 已知ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形(圖9)，且AB為直徑，AD＝a，DC＝b，BC=c，則AB是三次方程　　x3(a2＋b2＋c2)x2abc＝0的一個(gè)根．　　證明 設(shè) AB＝d，∵ABCD內(nèi)接于⊙O，按托勒密定理可得ACBD＝bd＋ac，兩邊平方得　　到AC2BD2＝b2d2+a2c2+2abcd，　　又∵AC2＝d2c2，BD2＝d2a2，　　∴d4(a2＋c2)d2+a2c2＝b2d2+a2c2＋2abcd，　　d4(a2＋b2＋c2)d22abcd＝0，　　∵d≠0，　　∴d3(a2＋b2＋c2)d－2abc＝0．　　即AB是三次方程x3(a2＋b2＋c2)x2abc＝0的一個(gè)根．　　注 本例是代數(shù)與幾何的綜合題，從某種意義上來說，托勒密定理是幾何聯(lián)系代數(shù)的紐帶．例2 如圖2，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于E、F．　　求證：ECED＋FCFB=EF2．　　證明 作∠1=∠2，則∠3=∠4，　　∵∠4=∠5，∴∠3=∠5．　　由∠1=∠2知，P、C、D、F四點(diǎn)共圓．　　∴ECED＝EPEF ①　　由∠3=∠5知：P、C、B、E四點(diǎn)共圓．　　∴FCFB=FPFE ②　?、?②，得　　ECED＋FCFB=EF(EP＋PF)=EF2　練習(xí)：　　1．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC是對角線，求證：AC2=AD2＋ABCD．(提示：在AC上取一點(diǎn) P，使∠PBA=∠CAD)　　2．已知頂角為20176。，腰長為a，底邊長為b的等腰三角形．求證：a3＋b3=3a2b．(提示：在AB上取一點(diǎn)D，使∠BCD=∠A)．圓內(nèi)接多邊形的一個(gè)美妙性質(zhì)江西省贛南師范學(xué)院 熊曾潤　　專題研究　　本文揭示圓內(nèi)接多邊形的一個(gè)美妙性質(zhì)．　　引理 從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P，向三邊BC， CA，AB或其延長線引垂線，設(shè)垂足分別為D，E，F(xiàn)(它們都不是△ABC的頂點(diǎn))，則　　定理 設(shè)n邊形A1A2A3…An內(nèi)接于圓O(n≥3)，從圓O上任意一點(diǎn)P，向邊A1A2，A2A3，…，AnA1或其延長線引垂線，設(shè)垂足分別為Q1，Q2，…，Qn(它們都不是已知n邊形的頂點(diǎn))，則　　證明 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法：　　(1)由引理可知，當(dāng)n＝3時(shí)命題成立．　　(2)假設(shè)n＝k(k≥3)時(shí)命題成立，下證n＝k＋1時(shí)命題也成立．　　如圖2，設(shè)(k＋1)邊形A1A2A3…Ak＋1內(nèi)接于圓O，從圓O上任意一點(diǎn)P向邊A1A2，A2A3，…，AkAk＋1，Ak＋1A1或其延長線引垂線，設(shè)垂足分別為Q1，Q2，…，Qk，Qk＋1．又從點(diǎn) P向?qū)蔷€A1Ak引垂線，設(shè)垂足為Qk′．注意到k邊形A1A2A3…AkA1也以圓O為外接圓，且按假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，所以有　　又△A1AkAk＋1也以圓O為外接圓，由引理可得　　以上兩個(gè)等式兩邊分別相乘，得　　這就表明n＝k＋1時(shí)命題成立．　　綜合(1)和(2)，由歸納法原理可知，對任何n≥3，命題都成立，命題得證．　　顯然，本文定理是西摩松定理的一個(gè)有趣推廣．　　順便指出，本文定理還可以進(jìn)一步推廣到內(nèi)接于圓的任意封閉折線中，有興趣的讀者不妨一試．圓內(nèi)接閉折線的垂心及其性質(zhì)(1)江西省贛南師范學(xué)院 熊曾潤　　本文擬應(yīng)用解析法，將三角形的垂心概念推廣到一般圓內(nèi)接閉折線中，并對其性質(zhì)作初步探討．　　內(nèi)以原點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓；符號A(n)表示這個(gè)平面內(nèi)的一條n邊閉折線　　A1A2A3…AnA1．　　定義 設(shè)閉折線A(n)內(nèi)接于⊙(O，R)，其頂點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，　　　　則點(diǎn)H(xH，yH)稱為閉折線A(n)的垂心．　　式(*)稱為垂心的坐標(biāo)公式．　　一般圓內(nèi)接閉折線的垂心，具有下列性質(zhì)：　　定理1 設(shè)閉折線 A(n)內(nèi)接于⊙(O，R)，它的垂心為 H，頂點(diǎn)系重心為G，外心為O，則H、G、O三點(diǎn)共線，且HG∶GO=(n1)∶1．　　證明 應(yīng)用同一法．取線段HO的內(nèi)分點(diǎn)P，使HP∶PO=(n1)∶1．顯然，我們只需證明點(diǎn)P是A(n)的頂點(diǎn)系重心G就行了．　　設(shè)A(n)的頂點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，它的垂心H的坐標(biāo)為(xH，yH)，頂點(diǎn)系重心G的坐標(biāo)為(xG，yG)，由垂心和重心的坐標(biāo)公式可得　　　　又按本文的約定，外心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0，0)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镠P∶PO=(n1)∶1，由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得　　　　　　　比較④和②，可知點(diǎn)P是A(n)的頂點(diǎn)系重心G．命題得證．　　顯然，這個(gè)定理是著名的“歐拉線定理”的推廣．　　定理2 設(shè)閉折線A(n)內(nèi)接于⊙(O，R)，它的垂心為H，則諸線段AiH(i=1，2，…，n)的中點(diǎn)n個(gè)點(diǎn)共圓．　　證明 設(shè)A(n)的頂點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，令　　　　則E(xE，yE)為定點(diǎn)．設(shè)線段AiH(i=1，2，…，n)的中點(diǎn)為Pi(xi′，yi′)，顯然，我們只需證明|PiE|為定長就行了．　　由公式(*)可知，垂心H的坐標(biāo)為　　　　?、蕖　　　「鶕?jù)兩點(diǎn)間的距離公式，由⑤和⑥可得　　　　注意到點(diǎn)Ai(xi，yi)在⊙(O，R)上，可知xi2+yi2=R2，　　　　　容易知道，這個(gè)定理是著名的“九點(diǎn)圓定理”的一個(gè)推廣．　　設(shè)n≥4，在閉折線A(n)中連結(jié)AiAi+2(如圖1)，可以得到一條(n1)邊的閉折線　　AiAi+2Ai+3…Ai+n1Ai(其中An+k為Ak)，稱為A(n)的一條子折線，記作A(n1)i．　　顯然，閉折線A(n)有且只有n條子折線A(n1)i(i=1，2，…，n)．　　定理3 設(shè) n≥4，閉折線 A(n)內(nèi)接于⊙(O，R)，則其諸子折線A(n1)i(i＝1，2，…，n)的垂心凡n個(gè)點(diǎn)共圓，這個(gè)圓的半徑為R，它的圓心正是閉折線A(n)的垂心．　　證明 設(shè)A(n)的垂心為H(xH，yH)，其任一子折線A(n1)i的垂心為Hi(xi′，yi′)(1≤i≤n)．顯然，我們只需證明點(diǎn)Hi在⊙(H，R)上就行了．　　設(shè)A(n)的頂點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，由公式(*)可得　　　　　　　又，易知⊙(H，R)的方程為　　(xxH)2＋(yyH)2＝R2． ⑨　　在方程⑨中令x=xi′，y=yi′，再將⑦和⑧代入⑨，就得xi+12+yi+12=R2．　　注意到點(diǎn)Ai+1(xi+1,yi+1)在⊙(O,R)上, 可知上式成立．這就表明點(diǎn)Hi的坐標(biāo)(xi′,yi′)滿足方程⑨，從而點(diǎn)Hi在⊙(H，R)上．命題得證．　　這個(gè)關(guān)于垂心的共圓點(diǎn)定理非常優(yōu)美，耐人尋味．　　定理4 設(shè)n≥4，閉折線A(n)內(nèi)接于⊙(O，R)，其子折線A(n1)i的垂心為Hi，則諸線　段Ai+1Hi(i＝1，2，…，n)必共點(diǎn)，且被這個(gè)點(diǎn)所平分．　　證明 設(shè) A(n)的頂點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，令　　　　則點(diǎn)E(xE，yE)為定點(diǎn)．顯然，我們只需證明點(diǎn)E為諸線段Ai＋1Hi(i=1，2，…，n)的中點(diǎn)就行了．　　設(shè)線段Ai+1Hi的中點(diǎn)為P(x，y)，垂心Hi的坐標(biāo)為(xi′，yi′)，由公式(*)可得　　　　　　　　　　比較⑩和，可知定點(diǎn)E是線段Ai＋1Hi的中點(diǎn)P(i=1，2，…，n)．命題得證．　　同樣，這個(gè)關(guān)于垂心的共點(diǎn)線定理，也是耐人尋味的．　　參考文獻(xiàn)　　1 熊曾潤．閉折線的頂點(diǎn)系重心的性質(zhì)．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，1998，1～21. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)