三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點(diǎn)匯總-資料下載頁
2025-06-24 20:23本頁面
【正文】 的周期，二者結(jié)合才能得出正確結(jié)論. 對于（2），這里的 決定于f（x）在一個周期圖象的左端點(diǎn)橫坐標(biāo)，由此便于認(rèn)識相鄰兩個 值之差 的意義. （三）解答題 若函數(shù) 的最大值為2，試確定常數(shù)a的值. 分析：鑒于過去的經(jīng)驗，首先致力于將f（x）化為 ＋k的形式，而后便會一路坦途. 解： ?。? ＝ 由已知得 . 點(diǎn)評：本題看似簡單，但考察多種三角公式，亦能體現(xiàn)考生的基本能力. 設(shè)函數(shù) y＝f（x）圖象的一條對稱軸是直線 . ?。?）求 ；（2）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）證明直線5x－2y＋c＝0與函數(shù)y＝f（x）的圖象不相切. 分析：對于（3），由于f（x）為三角函數(shù)，要證直線ｌ與ｙ＝ｆ（x）的圖象不相切，只需證直線ｌ的斜率不屬于y＝f（x）圖象上點(diǎn)的切線斜率的取值集合. 解：（1）∵ 為函數(shù) 圖象的對稱軸， ∴ ∴ 即 又 . ?。?）由（1）知 ， 當(dāng) 時，y＝f（x）遞增， ∴所求函數(shù)f（x）的增區(qū)間為 . ?。?）∵ ∴y＝f（x）圖象上點(diǎn)的切線的斜率范圍為[－2，2].而直線5x－2y＋c＝0 ，∴直線5x－2y＋c＝0與函數(shù) 的圖象不相切. 點(diǎn)評：有導(dǎo)數(shù)及其幾何意義奠基，（3）的解題思路，值得大家仔細(xì)領(lǐng)會與品悟. 已知函數(shù) 是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（ ）對稱，且在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求 的值. 分析：在此類三角函數(shù)問題中，已知函數(shù)的周期可直接確定 的值；已知函數(shù)圖象關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）對稱，則只能導(dǎo)出關(guān)于 的可能取值，此時要進(jìn)一步確定 的值，還需要其它條件的輔助；而已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的條件，一般只在利用函數(shù)圖象對稱性尋出 的可能取值之后，用它來進(jìn)行認(rèn)定或篩選. 解：由f（x）為偶函數(shù)得f（－x）＝f（x）（x∈R） 即 又 故有 由f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)M（ ）對稱得 令x＝0得 而 由此解得 當(dāng)k＝0時， ，此時 當(dāng)k＝1時， 當(dāng)k≥2時， ， 故此時 因此，綜合以上討論得 或 . ∴所求 ，而 或 . 點(diǎn)評：對于正弦函數(shù)y＝ ＋k或余弦函數(shù)y＝ ＋k，在單調(diào)區(qū)間“完整”的一個周期T，恰是增減區(qū)間的長度各為 ；而在任何一個周期T上，增區(qū)間（或減區(qū)間）的長度均不超過 .因此，若區(qū)間 的長度大于 ，則函數(shù)在區(qū)間 上不會是單調(diào)函數(shù). 設(shè)函數(shù)f（x）＝xsinx（x∈R）. ?。?）證明： ，其中k為正整數(shù). ?。?）設(shè) ?。?）設(shè)f（x）在（0，＋∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為 ， 證明： 分析：注意到正弦函數(shù)為f（x）的成員函數(shù)之一，試題中又指出f（x）的極值點(diǎn)，解（2）（3），均需要從f＇（x）切入. 證明：?。?） ∵f（x）＝xsinx（x∈R）∴ （2） 令 ① 顯然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ② ②，即有 ， 于是 ?。??。? ?。?）設(shè) 是 的一個正整數(shù)根，即 ，則由直線y＝x與曲線y＝－tanx的位置關(guān)系知：對每一個 ，存在 ，使 ，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函數(shù)，且 ∴g（x）在 又cosx在 內(nèi)符號不變，∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝ 在 與在 內(nèi)異號， ∴所有滿足 的 都是f（x）的極值點(diǎn).由題設(shè) 為方程x＝－ ， ∴ ③ 再注意到 ④ 而 ∴1＋ ∴由④得 ?、荨 ∮谑怯散邸ⅱ莸?， 點(diǎn)評：在這里應(yīng)注意對（2）、（3）（2）， 只需滿足 即可；對于（3）中的 不僅要滿足 ，還需認(rèn)定 在點(diǎn)x＝ 左右兩邊異號. 20
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