有限元基礎課程學習總結-資料下載頁
2025-06-24 03:01本頁面
【正文】 殼，泛函中出現(xiàn)的導數(shù)是2階）時，則要求試探函數(shù)在單元交界面上具有連續(xù)的一階或高于一階的導數(shù)，即具有或更高階的連續(xù)性，這時構造函數(shù)比較困難。在某些情況下，可以放松對協(xié)調性的要求，只要這種單元能通過分片試驗，有限元解仍然可以收斂于正確的解答。這種單元稱為非協(xié)調單元。 位移解的下限性質以位移為基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元稱為位移元。通過系統(tǒng)總位能的變分過程，可以分析位移元的近似解與精確解偏離的下限性質。系統(tǒng)總位能的離散形式為 （）由變分得到有限元求解方程 （）將（）式代入（） （）在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負的應變能。因此，當，則。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般來說總是與精確解有差別，因此得到的系統(tǒng)總位能總會比真正的位能大。我們將有限元解的總位能、應變能、剛度矩陣和結點位移分別用表示，相應的精確解的有關量用表示。由于，則有，即 （）對于精確解有 對于近似解有 （）將（）式代入（）式得到 （）由（）式看出，近似解應變能小于精確解應變能的原因是近似解的位移總體上要小于精確解的位移。故位移元得到的位移解總體上不大于精確解，即解具有下限性質。3 等參元和數(shù)值積分用直邊單元離散曲邊的求解域勢必要用更多的單元數(shù)才能較準確地描述實際邊界。等參元是目前應用最廣的一類單元可用這類單元更精確的描述不規(guī)則的邊界。這類單元的出現(xiàn)不僅系統(tǒng)的解決了構造協(xié)調位移單元的問題，而且自然坐標系的描述方法也廣泛為其他類型的單元所采用。等參數(shù)單元在構造形函數(shù)時首先定義一個規(guī)則的母體單元(參考單元/標準單元)，在母體單元上構造形函數(shù)，再通過等參數(shù)變換將實際單元與母體單元聯(lián)系起來。變換涉及兩個方面：幾何圖形的變換(坐標變換)和位移場函數(shù)的變換(母單元的位移模式)。由于兩種變換均采用了相同的函數(shù)關系(形函數(shù))和同一組結點參數(shù)，故稱其為等參變換。 等參元在有限元法的發(fā)展中占有重要位置，由于他能是局部坐標系內的形狀規(guī)則的單元變換為總體坐標系內形狀為扭曲的單元，從而為求解域是任意形狀的實際問題求解提供了有效的單元形式。兩種坐標系內坐標的變換通常采用和位移函數(shù)相同的插值形式，依據(jù)坐標變換插值點數(shù)和位移插值點數(shù)的比較，分別稱之為等參元、超參元和次參元。通常應用最多的是兩者插值點數(shù)相同的等參元。等參元的表達格式和廣義坐標有限元表達格式原則上是一致的。在單元特性矩陣形成時，為了使等參元的特性矩陣在規(guī)范化的局部坐標系內進行，必須進行總體坐標系內和局部坐標系內的導數(shù)、面積、體積、長度等的變換以及積分限的變換。同時為了保證上述變換能夠進行，必須保證等參變換能夠實現(xiàn)，其基本點是要保證單元的形狀不過分扭曲，這在實際應用中應給與足夠注意。經過以上探討和學習，對有限元基礎的理論做了以下理解和總結：1. 等效積分形式可以通過分部積分得到它的“弱”形式，利用提高權函數(shù)的連續(xù)性要求來降低待求場函數(shù)的連續(xù)性要求，從而可以更廣泛的選擇試探函數(shù)。有限元法經常利用為理論基礎的正是等效積分的伽遼金“弱”形式，這樣不僅降低了對試探函數(shù)連續(xù)性的要求，而且還可以得到系數(shù)矩陣對稱的求解方程，從而給計算分析帶來很大的方便。2. 將物理方程引入虛位移原理和虛應力原理可以分別導出最小位能原理和最小余能原理，它們本質上和等效積分的伽遼金“弱”形式相一致。這是建立彈性力學有限元方程的理論基礎。3. 以彈性力學靜力分析問題為例，學習了通過彈性力學變分原理建立彈性力學問題有限元方法表達格式的基本步驟。最小位能原理的未知場變量是位移，以結點位移為基本未知量，并以最小位能原理為基礎建立了位移元。4. 以平面問題3結點三角形單元為典型，學習了如何應用廣義坐標建立單元位移模式與位移插值函數(shù)，以及如何根據(jù)最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法和步驟，并進而引出彈性力學問題有限元方法的一般表達格式。5. 為了將常用單元及其插值函數(shù)的構造用于實際工程問題和物理問題分析，需要將規(guī)則形狀的單元轉化為其邊界為曲線曲面的相應單元。有限元法中普遍采用等參變換，即單元的幾何形狀和單元內的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進行變換。
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