【正文】 2x1=8，x2=－102x1=－1，x2=22X1=－2，一元二次方程的解法x=177。x=0或x=－1177。y2－8y－20=0177?；?77。3x1=2+a,x2=2－a,x2=－3x1=－,11x1=0, 1 11x2=－7 11x1=2,x2=－4 1x1=－2,1x1=0,x2=－3－2 x1=10,x2=－210222,x2=－12x1=1+,x1=1－22x1=c,22x1=a－2b,x2=a+b 2X1,2=177。1,x3,4=177。4 (2)①2a=－b≠0時， ②a=b≠0時， ③a=b=0時，x為任意實數(shù) ④a≠b且2a≠－b時，3(1)①n=m≠0,x=2m ②n=m≠0,x為任意實數(shù) ③n≠m,x2=n+m 3a=1,b=－2,c=－3時，；a=2,b=－1,c=－3時，x1=－1, 3證明：∵y=1是方程y2+my+n=0的根∴1+m+n=0把y=1代入方程nx2+mx+1=0，得：n+m+1=0∴y=1是方程nx2+mx+1=0的根。3k=－1。x1=2,x2=－23m=1,x=3?；騧=－3,x=－1。或m=－1,x=－3；或m=3,x=13m=0,1,2,x=0,1,23C 3x1=，x2=3y1=，y2=－x1=2，x2=－24x1=x2=04x1=－1+，x2=4y1=4，y2=－24沒有實數(shù)根；4x1=，x2=－444X1=3，x2=14(1)4，2 。 (2)。 (3)177。5。 (4)。50、x1=－1，x2=55y1=－1，y2=4；55y1=，y2=2555用配方法可得。55x1=1，560、x1=x2=6無實數(shù)根66x1=－2，x2=06x1=1，6y1=－1，y2=36x1=1，6X1=2，x2=76m為4或時，代數(shù)式3(m－2)2－1的值比2m+1的值大2。6x1=,x2=270、777x1≈－，x2≈－7x1=1，x2=－377x1=3a－1，x2=a－177若方程的兩個根為xx2，則原方程可化為(x－1)(x－2)=07080、1，－28x1=0，88x1=x2=－38y1=0,y2=288x1=－3，x2=68y2=28y1=－1，y2=38x1=3，x2=－490、x1=1，x2=59y2=19x∶y=1或x∶y=9x1=5，x2=－19y1=3，y2=－19y1=0,y2=99x1=－3，9y1=y2=9y1=3，y2=－2100、1010x1=6m，x2=－3m10(1)當a≠0且b=c=0時，方程的兩個根都為0；(2)當a≠0，b≠0且c=0時，方程的兩個根中 只 有一個為0；(3)當a≠0，b=0時且時，方程的兩個根互為相反數(shù)；(4)當a≠0，且a+b+c=0 時，方程有一個根為1。10B 10C 10k≠－110x1=2,x2=210C 10x1=－1，x2=－111y1=，1111x1=2，11當m=－1時，x=－1；當m≠－1時，x1=－1，1111x1=－5，x2=－111x1=0，1111x1=0，x2=1111.一元二次方程的根的判別式9+8k。方程有實數(shù)根1沒有實數(shù)根2或x=a或x=b(1)無實根 (2)無實根m=1,1證明：∵m2+1≠0∴原方程為關(guān)于x的一元二次方程Δ=(－2m)2－4(m2+1)(m2+4) =4m2－4m4－20m2－16 =－4(m4+4m2+4) =－4(m2+2)2∵無論m為任何實數(shù)，(m2+2)20∴－4(m2+2)20，即Δ0∴方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0無實數(shù)根1若m=1，有實根 (2)m－1且m≠1時，方程有實根1證明：∵方程x2－2x－m=0無實根∴Δ1=(－2)2－41(－m)=4+4m0。m2－1把方程x2+2mx+1+2(m2－1)(x2+1)=0整理后得：(2m2－1)x2+2mx+(2m2－1)=0∴方程為關(guān)于x的一元二次方程Δ2=(2m)2－4(2m2－1)2 =－4〔(2m2－1)2－m2〕 =－4(2m2－1－m)(2m2－1+m) =－4(2m+1)(m－1)(2m－1)(m+1)∵m－1∴m－10,m+10,2m－10,2m+10∴Δ20∴方程x2+2mx+1+2(m2－1)(x2+1)=0無實根。1有兩不等實根。11)m1且m≠－1 (2)m≤1且m≠－1 (3)m=1 (4)m111z2－3z+2=01,q=－11p=177。,q=－1m=1或m=52證明：∵α3－α2β－αβ2+β3=(α－β)2(α+β)=0又 α≠β，∴α+β=0∴α、β是方程x2+px+q=0的兩不等根 ∴Δ0∴α+β=－p=0,∴p=0∴p2－4q0而－4q0∴q0。2證明：原方程化為x2－3x+2－m2=0(1)Δ=(－3)2－4(2－m2)=1+4m2∴無論m為何值時，都有m2≥0,4m2+10即Δ0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。(2)由(x－1)(x－2)=m2(m≠0)0，顯然兩個根不能為2若兩個根都大于2，則4x1+x2=3，矛盾若兩個根都小于1，則2x1+x2=3，矛盾因此，只能是一個根大于2，另一個根小于1。2k=12有兩個相等的實數(shù)根2沒有實數(shù)根2有兩個不相等的實數(shù)根2有兩個相等的實數(shù)根2沒有實數(shù)根2有兩個不相等的實數(shù)根，x1=1。略3沒有實數(shù)根3當a＜6且a≠0時，原方程為一元二次方程，且=25－4a＞0，所以方程一定有兩個不相等的 實數(shù)根；不一定，只需且a≠0。3a=177。233(1)m＞－2且m≠－1 (2)m=－2 (3)m＜－23(1)m=－7 (2)m=2或m=－6 (3)且m≠0 (4)m＞2 (5)m≥－13有兩個不相等的實數(shù)根3m=43略x1=4，x2=24A 4方程沒有實數(shù)根一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1；2；－2；；；；x2－5x+6=0－1；－18010－2；－81－21x2－5x+6=01x2－3x+2=01－1；－1－1－4；0；0131110或3y2+6y－8=02互為倒數(shù)2另一根為，m=232另一根為2－，k=12證明：∵A+是方程x2+px+q=0的根∴(A+)2+p(A+)+q=0即A2+B+pA+q=－(2A+p) 由于等式左邊是有理數(shù)，而右邊是無理數(shù)所以滿足以下條件時，等式才成立：∴p=－2A設(shè)方程兩根為xx2，∴x1+x2=2A，又x2=A+x2=2A－(A+)=A－2(1)兩根異號，正根絕對值大 (2)兩根同號，兩根都是正號22132233x2－4x－2=033+，3－3(1)3y2－25y+50=0 (2)3y2－14y+8=0 (3)3y2+7y+2=0 (4)2y2－7y+3=03(1) (2) (3)m=－23m=－1，x1=0,x2=－1或m=11,x1=3,x2=233(1)m=15 (2) (3)m=7 (4)m=0 (5)m1=7,m2=－43時，根為－3；m=－4時，根為2a=14b=177。7,c=1044a=0或a=164k=1444p=－1,q=－34m=4,n=－294a=－14或m=－350、(1)6 (2)m=－3。m=－25證明：∵方程mx2－nx+2=0兩根相等∴m≠0且n2－8m=0 ①由方程x2－4mx+3n=0的一根是另一根的3倍，故可設(shè)這兩根為α、3α則 ②由①和②解得：m=2,n=4因此，x2－(k+n)x+(k－m)=0即為x2－(k+4)x+(k－2)=0∵Δ=〔－(k+4)〕2－4(k－2) =k2+4k+24 =(k+2)2+20∵無論k為何值，都有(k+2)2≥0∴(k+2)2+200，即Δ0因此方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有實數(shù)根。5(1)證明：Δ=4m2－n2=(2m+n)(2m－n)∵m、n分別是等腰三角形的腰和底邊的長，∴2m+n0；又根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，有2m－n0∴Δ0因此方程有兩個不相等的實數(shù)根。(2)16552b2=a(b+c)5285證明：設(shè)方程2x2+5mx+3n=0的兩根為2α、3α，則：即∴m2=n ①∵方程x2－2nx+8m=0的兩根相等∴Δ=4n2－32m=0即 n2－8m=0①代入②，得：m4－8m=0m(m2－8)=0m(m－2)(m2+2m+4)=0∴m=0或m－2=0或m2+2m+4=0(無實根)∴m1=0,m2=2∵mn≠0，∴m=0舍去，當m=2時，n=4,α=1對于方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0Δ=(n+k－1)2－4m(k+1) =(k+3)2－8(k+1) =k2－2k+1=(k－1)2無論k為何值時，都有(k－1)2≥0∴方程mx2+(n+k+1)x+k+1=0恒有實根。5(1)3－ (2)n=0且m≠05x1+x2=－3，x1x2=1560、x1+x2=0，6x1+x2=,x1x2=066,t=6(1) (2) (3) (4)66m=7，n=126B 6C 6D 70、x2+5x+6=0，2x2－x+1=0，x2－25=0，4x2－17x+4=07－3和－47(1)2x2－7x+2 =0 (2)x2+7x+4=07cm71,37－2，x=－37B 7C 7(1)16(2) 7180、1，8－18C 8(1)。(2)1 。(3)383787y2+5y－1=08略8m=177。1388(1)a＜－21 (2)由于兩個根的和為10＞0，所以此方程不會有兩個負根90、這個直角三角形的面積是6。9a=177。3，b=－49(1)當m=5時，方程的一個根為零 (2)m為－1時，方程的兩個根互為相反數(shù) (3)略9(1)當時，方程有兩個大于－2的根 (2)當m＜0時，方程有一個根大于－2，另一個根小于－2 9(1)－2 (2)19n=－1二次三項式的因式分解（用公式法）a(x－x1)(x－x2)10 (x+)(x－)(x2+2) (3x2+1)() ( 證明：關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m－7=0的實根判別式為Δ=(2m)2－4(m－4) =4m2－4m+16 =4(m2－m+4) = =∵無論m為何實數(shù)，都有∴ 0即Δ0∴關(guān)于x的二次三項式x2+2mx+m－4，不論m取任何實數(shù)，一定可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式。(2x－3y+1)(2x+y－3)1時，值為，時，值為16x2－7x－3=(2x－3)(3x+1)11a(x+1)(x－2)13x2－2x－8=(3x+4)(x－2)12x2－3x－2=(2x+1)(x－2)1不能分解14x2－2x=2x(2x－1)122x2－3x－=(2x+1)(x－)2解方程結(jié)果相同，把方程5x－3x－1=0各項都乘以2，就得到10x2－6x－2=0；分解因式結(jié)果不同 。2B 2D 2(2x－5)(x－1)22(5x+3y)(x－2y)22(3y+4)2(2x－3y)232(x1)(x3)3C 一元二次方程的應(yīng)用20%元 a(1+m%)na+10(9－a)。18a－81