代數(shù)學(xué)引論聶靈沼丁石孫版第一章習(xí)題答案-資料下載頁
2025-06-22 23:22本頁面
【正文】 另一方面，若L是階數(shù)大于1的(交換)幺環(huán)，并且除了平凡理想，沒有左或右理想，則L是一體(域).33. 如果L是交換環(huán)，a∈L，(i) 證明La={ra|r∈L}是雙邊理想；(ii) 舉例說明，如果L非交換，則La不一定是雙邊理想.證明：(i) 容易驗證La為L的一個加法群. 任取ra∈La，l∈L，則l(ra)=(lr)a∈La，(ra)l=r(al)=r(la)=(rl)a∈La故La為L的一個雙邊理想.(ii) 設(shè)L=M2(R)，那么L顯然不是交換環(huán)，取h=，下面考察Lh是否為L的理想：取k=，容易驗證h∈Lh，hk Lh，因此Lh不是L的一個理想.34. 設(shè)I是交換環(huán)L的一個理想，令radI={r∈L|rn∈I對某一正整數(shù)n}，.35. 設(shè)L為交換幺環(huán)，并且階數(shù)大于1，如果L沒有非平凡的理想，則L是一個域.證明：∈L，那么La和aL是L的理想，且La≠{0}，aL≠{0}，因L無平凡的理想，故此La=aL=L，因此ax=1和ya=1都有解，因而a為可逆元.36. Q是有理數(shù)域，Mn(Q)(這種環(huán)稱為單環(huán)).證明：我們社K為Mn(Q)的非零理想，下面證明K=Mn(Q).為了證明這一點(diǎn)，只要證明n階單位矩陣E∈，EijEst=而E=E11+E22+…+∈K(i=1,2,…,n)就有E∈K.設(shè)A∈K，且A≠0，又令A(yù)=(aij)nn,假設(shè)akj≠0，則有EikAEji=akjEii(i=1,2,…,n).由于akj≠0，= akj1Eii,則BEikAEji= akj1EiiEikAEji= akj1EikAEji=EikEkjEji=Eii.因為K為理想，A∈K，所以Eii=BEikAEji∈K，證畢.37. 設(shè)L為一環(huán)，=0，證明a是一個左零因子或一右零因子.證明：若ab=0，則a為左零因子；若ab≠0，則aba=(ab)a=0，故ab為右零因子.38. 環(huán)中元素x稱為一冪零元素，如果有一正整數(shù)n使xn=0，設(shè)a為幺環(huán)中的一冪零元素，證明1a可逆.證明：設(shè)an=0，那么(1+a+a2+…+an1)(1a)=(1a) (1+a+a2+…+an1)=1an=1因此1a可逆.39. 證明：在交換環(huán)中，全體冪零元素的集合是一理想.40. =1可得yx=1.證明：當(dāng)L只有一個元素，即L={0}，亦即0=1[注]，此時顯然有xy=1=xy；當(dāng)L有多于一個元素時(即0≠1時)，若xy=1，y不是左零元[注],因此yL=，所以存在z∈L，使得yz=1.注意到(xy)z=z，x(yz)=x，所以x=z，即yx=1.[注意] ≠1.2．當(dāng)L有多于一個元素時(即0≠1時)，若xy=1，≠0使得yz=0，則z=(xy)z=x(yz)=0,產(chǎn)生矛盾.41. 在幺環(huán)中，如果對元素a有b使ab=1但ba≠1，則有無窮多個元素x，適合ax=1.(Kaplansky定理)證明：首先，若ab=1但ba≠1，則a至少有兩個右逆元[注].現(xiàn)在假設(shè)a只有n(1)個右逆元，并設(shè)這些元素為xi(i=1,2,…,n).那么a(1xia+x1)=1(i=1,2,…,n),又當(dāng)i≠j時，1xia+x1≠1xja+x1[注]，這里i，j=1,2,…,{xi|i=1,2,…,n}={1xia+x1| i=1,2,…,n }，故存在xk∈{xi|i=1,2,…,n}使得x1=1xka+x1,即xka=1.因為n1，我們?nèi)t≠xk∈{xi|i=1,2,…,n}，那么(xka)xt=xt，(xka)xt =xk(axt)=xk因此xt=xk，產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，即a有無窮多個右逆元. [注意]1. 若ab=1但ba≠1，則a至少有兩個右逆元. 因為易驗證1ba+a就是另一個右逆元.2. 假設(shè)當(dāng)i≠j時，1xia+x1=1xja+x1，則xia=xja，故xiax1=xjax1,因此xi=xj，產(chǎn)生矛盾.42. 設(shè)L是一個至少有兩個元素的環(huán). 如果對于每個非零元素a∈L都有唯一的元素b使得aba=a.證明：(i) L無零因子；(ii) bab=b。(iii) L有單位元素；(iv) L是一個體.證明：(i) 先證明L無左零因子，假設(shè)a為L的一個左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，則存在唯一b使得aba=a(b+c)a=a,b+c≠b產(chǎn)生矛盾，所以L無左零因子.類似可證L無右零因子.(ii) 因aba=a，所以abab=ab. 由(i)的結(jié)論知L無零因子，因此滿足消去律，而a≠0，故bab=b.(iii) 我們?nèi)我贿x取a(≠0)∈L，再設(shè)aba=a(這里b是唯一的)，首先證明ab=a(a2ba+b)a=a，所以a2ba+b=b，即a2b=a=aba，由消去律得到ab=ba.任取c∈L，則ac=abac，故此c=(ba)c=(ab)c；另一方面，ca=caba，故此c=c(ab).綜上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是單位元素，我們記ab=ba=1.(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L成為一個體.43. 令C[0,1]為全體定義在閉區(qū)間[0,1]：(i) 對于的任一非平凡的理想I，一定有個實數(shù)，使得f()=0對所有的f(x)∈I；(ii) 是一零因子當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)集 {x∈[0,1]|f(x)=0} 包含一個開區(qū)間.證明：(i) 證明思路：設(shè)I為非零的非平凡理想，假設(shè)對任意x∈[0,1]，存在f(x)∈I使得f(x)≠0，想法構(gòu)造一個g∈I可逆.(ii) 提示：用連續(xù)函數(shù)的局部保號性.44. 令F=Z/(i) 環(huán)Mn(F)的元素的個數(shù)；(ii) 群GLn(F)的元素的個數(shù).45. 設(shè)K是一體，a，b∈K，a，b不等于0，且ab≠：a(a1+(b1a)1)1=aba.證明： 因為a(a1+(b1a)1)1=aba?1(a1+(b1a)1)1a1=ab?(aa1+a(b1a)1)1=1ab?(1+a(b1a)1)1=1ab?(1+((ab)11)1)1=1ab，為了方便記x=ab，那么1x，x，x11都可逆，只要證明(1+(x11)1)1=1x即可，或者證明1+(x11)1=(1x)1即可. 因為1+(x11)1=1+(x1x1x)1=1+(1x)1x=(1x)1(1x) +(1x)1x=(1x)1,所以結(jié)論成立，即a(a1+(b1a)1)1=aba.30
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