代數(shù)學(xué)引論聶靈沼丁石孫版第一章習(xí)題答案-全文預(yù)覽
【正文】 .因此G為交換群.16. 在群SL2(Q)中，證明元素a=的階為4，元素b=的階為3，而ab為無限階元素.證明：可以直接驗(yàn)證a的階為4，b的階為3.因?yàn)閍b=，對任何正整數(shù)n，(ab)n=≠可見ab的階為無限.[注意] 在一群中，有限階元素的乘積并不一定也是有限階的，但兩個可交換的有限階元素的乘積一定是有限階元素.[問題] 若一群中所有元素的階數(shù)都有限，那么這個群一定是有限群嗎？17. 如果G為一個交換群，證明G中全體有限階元素組成一個子群.證明:交換群G中全體有限階元素組成的集合記為S，任取a，bS，并設(shè)a的階為m，b的階為n，則(ab)mn=(am)n(bn)m=e因此ab為有限階元素，即abS.a1的階數(shù)與a相同，故此a1也是有限階元素，即a1S.綜上可知S為G的一個子群.18. 如果G只有有限多個子群，證明G為有限群.證明:，則G中元素只可能有兩種情況：(1)G中任意元素的階數(shù)都有限、(2)G中存在一個無限階元素.(1) 首先看第一種情況：G中取a1≠e，并設(shè)其階數(shù)為n1，則循環(huán)群G1={,…}為G的一個子群；G中取a2G1，并設(shè)其階數(shù)為n2，則循環(huán)群G2={,…}為G的一個子群；G中取a3G1∪G2，并設(shè)其階數(shù)為n3，則循環(huán)群G3={,…}為G的一個子群；… … …我們一直這樣做下去，可以得到G的互不相同的子群構(gòu)成的序列Gn(n=1,2,…)，所以G有無窮多個子群，產(chǎn)生矛盾；(2) 再看第二種情況:設(shè)a∈G的階數(shù)為無窮，那么序列G1=，G2=，…，Gn=，…是G的互不相同的子群，所以G有無窮多個子群，產(chǎn)生矛盾.綜上就可知“G是無限群”這個假設(shè)不成立，因此G是有限群.19. 寫出Dn的所有正規(guī)子群.20. 設(shè)H，K為群G的子群，HK為G的一子群當(dāng)且僅當(dāng)HK=KH.證明：(Ⅰ)設(shè)HK=KH，下面證明HK為G的一子群.任取a,b∈HK,可令a=h1k1，b=h2k2這里hi∈H，ki∈K，i=1,2.那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 (1)因HK=KH，故此k1h2= h3k3 (2)這里h3∈H，k3∈K. 由(1),(2)知ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK. (3) 另外，a1= (h1k1)1= ∈KH=HK. (4)由(3),(4)知HK是G的子群.(Ⅱ) HK為G的一子群,下面證明HK=KH.若a∈HK,易知a1∈KH. HK是子群,任取a∈HK，有a1∈HK,因此(a1)1=a∈KH，那么有HK KH.若a∈KH,易知a1∈HK. HK是子群,任取a∈KH，有a1∈HK,因此(a1)1=a∈HK，那么有KH HK.綜上知，HK=KH.21. 設(shè)H，K為有限群G的子群，證明證明： 因H∩K為H的子群，那么可設(shè)H的左陪集分解式為H=h1(H∩K)∪h2(H∩K)∪…∪hr(H∩K)這里r為H∩K在H中的指數(shù)，hi∈H，當(dāng)i≠j，hi1hj?H∩K(事實(shí)上等價于hi1hj?K),i, j=1,2,…,r. 又(H∩K)K=K,所以HK=h1K∪h2K∪…∪(1) 注意到hi1hj?K，所以當(dāng)i≠j(i, j=1,2,…,r)時，hiK∩hjK=.(2) 由(1),(2)我們得到[總結(jié)]左陪集的相關(guān)結(jié)論設(shè)H為G的一子群，那么(1) a∈aH。Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])當(dāng)n=3時群表如下：[說明]：表示置換, ，我們分別用e,a,b,c,d,f表示,那么群表如下:ea bcdfeeabcdfaaedfbcbbceafdccbfdeaddfaecbffdcbae6. 對于n2,作一階為2n的非交換群.7. 設(shè)G是一群, a,bG,如果a1ba=br,其中r為一正整數(shù),證明aibai=.證明：我們采用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)k=1時, a1ba=br=, 結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)k=n時結(jié)論成立, 即anban=成立, 下面證明當(dāng)k=n+1時結(jié)論也成立. 我們注意到a1bka== bkr,因此a(n+1)ban+1= a1 (anban)a=a1a==,可見k=n+1時結(jié)論也成立.由歸納原理可知結(jié)論得證.8. 證明:群G為一交換群當(dāng)且僅當(dāng)映射是一同構(gòu)映射.證明:(Ⅰ)首先證明當(dāng)群G為一個交換群時映射是一同構(gòu)映射.由逆元的唯一性及可知映射為一一對應(yīng)，又因?yàn)?并且群G為一個交換群,可得.因此有 . 綜上可知群G為一個交換群時映射是一同構(gòu)映射.(Ⅱ)接著證明當(dāng)映射是一同構(gòu)映射,則群G為一個交換群.若映射是一同構(gòu)映射,則對任意有,另一方面，由逆元的性質(zhì)可知.因此對任意有,即映射是一同構(gòu)映射,則群G為一個交換群.9. 設(shè)S為群G的一個非空子集合，在G中定義一個關(guān)系a～個等價關(guān)系的充分必要條件為S是一個子群.證明: 首先證明若～是等價關(guān)系，則S是G的一個子群.對任意aG,有a～a,故此aa1=eS；對任意a,bS,由(ab)b1=aS,可知ab～b，又be1=bS,故b～e,由傳遞性可知ab～e，即(ab)e1==aS, 故a～e,由對稱性可知e～a，即ea1=.接著證明當(dāng)S是G的一個子群,下面證明～是一個等價關(guān)系.對任意aG, 有aa1=eS，故此a～a(自反性)。 (這一點(diǎn)很容易證明這里略過.)2 證明ba=ab=e。[方法2] 為了證明G在給定的乘法運(yùn)算下成一群，只要證明G內(nèi)存在幺元(單位元)，并且證明G內(nèi)每一個元素都可逆即可. 為了敘述方便可設(shè)G={a1,a2,…,an}.(Ⅰ) 證明G內(nèi)存在幺元. 1 存在atG，使得a1at=a1.(這一點(diǎn)的證明并不難，這里不給證明)。 第一章代數(shù)基本概念1. 如果群G中,對任意元素a,b有(ab)2=a2b2,則G為交換群.證明: 對任意a,bG,由結(jié)合律我們可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知條件以及消去律得
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