代數(shù)學(xué)引論聶靈沼丁石孫版第一章習(xí)題答案(完整版)
【正文】 零元素，如果有一正整數(shù)n使xn=0，設(shè)a為幺環(huán)中的一冪零元素，證明1a可逆.證明：設(shè)an=0，那么(1+a+a2+…+an1)(1a)=(1a) (1+a+a2+…+an1)=1an=1因此1a可逆.39. 證明：在交換環(huán)中，全體冪零元素的集合是一理想.40. =1可得yx=1.證明：當(dāng)L只有一個(gè)元素，即L={0}，亦即0=1[注]，此時(shí)顯然有xy=1=xy；當(dāng)L有多于一個(gè)元素時(shí)(即0≠1時(shí))，若xy=1，y不是左零元[注],因此yL=，所以存在z∈L，使得yz=1.注意到(xy)z=z，x(yz)=x，所以x=z，即yx=1.[注意] ≠1.2．當(dāng)L有多于一個(gè)元素時(shí)(即0≠1時(shí))，若xy=1，≠0使得yz=0，則z=(xy)z=x(yz)=0,產(chǎn)生矛盾.41. 在幺環(huán)中，如果對(duì)元素a有b使ab=1但ba≠1，則有無(wú)窮多個(gè)元素x，適合ax=1.(Kaplansky定理)證明：首先，若ab=1但ba≠1，則a至少有兩個(gè)右逆元[注].現(xiàn)在假設(shè)a只有n(1)個(gè)右逆元，并設(shè)這些元素為xi(i=1,2,…,n).那么a(1xia+x1)=1(i=1,2,…,n),又當(dāng)i≠j時(shí)，1xia+x1≠1xja+x1[注]，這里i，j=1,2,…,{xi|i=1,2,…,n}={1xia+x1| i=1,2,…,n }，故存在xk∈{xi|i=1,2,…,n}使得x1=1xka+x1,即xka=1.因?yàn)閚1，我們?nèi)t≠xk∈{xi|i=1,2,…,n}，那么(xka)xt=xt，(xka)xt =xk(axt)=xk因此xt=xk，產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，即a有無(wú)窮多個(gè)右逆元. [注意]1. 若ab=1但ba≠1，則a至少有兩個(gè)右逆元. 因?yàn)橐昨?yàn)證1ba+a就是另一個(gè)右逆元.2. 假設(shè)當(dāng)i≠j時(shí)，1xia+x1=1xja+x1，則xia=xja，故xiax1=xjax1,因此xi=xj，產(chǎn)生矛盾.42. 設(shè)L是一個(gè)至少有兩個(gè)元素的環(huán). 如果對(duì)于每個(gè)非零元素a∈L都有唯一的元素b使得aba=a.證明：(i) L無(wú)零因子；(ii) bab=b。對(duì)ABi(i=1,2,…,n),有(ABi)(BniA)=E,因此G內(nèi)任何一元都可逆.由(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)，(Ⅳ)可知G在矩陣乘法下構(gòu)成一群.最后證明G與 Dn同構(gòu).令f:G→Dnf(Bi)=Ti, f(ABi)=STi(i=1,2,…,n)，可以證明f就是G到Dn的同構(gòu)映射，這里不予證明了.15. 設(shè)i是一個(gè)正整數(shù), 群G中任意元素a,b都適合(ab)k=akbk, k=I,i+1,i+2,證明G為交換群.證明:對(duì)任意a,bGai+2bi+2=(ab)i+2=(ab) (ab)i+1=(ab) (ai+1bi+1)=a(bai+1)bi+1,根據(jù)消去律可得ai+1b=bai+(1) 同時(shí)ai+1bi+1=(ab)i+1=(ab) (ab)i=(ab) (aibi)=a(bai)bi+1,根據(jù)消去律可得aib=(2) 因此 ai+1b=a(aib)=a(bai)=(ab)ai(3)另外 bai+1=(ba)ai(4)結(jié)合(1),(3),(4)有 (ab)ai=(ba)ai(5)由消去律可得到ab=ba.因此G為交換群.16. 在群SL2(Q)中，證明元素a=的階為4，元素b=的階為3，而ab為無(wú)限階元素.證明：可以直接驗(yàn)證a的階為4，b的階為3.因?yàn)閍b=，對(duì)任何正整數(shù)n，(ab)n=≠可見(jiàn)ab的階為無(wú)限.[注意] 在一群中，有限階元素的乘積并不一定也是有限階的，但兩個(gè)可交換的有限階元素的乘積一定是有限階元素.[問(wèn)題] 若一群中所有元素的階數(shù)都有限，那么這個(gè)群一定是有限群?jiǎn)幔?7. 如果G為一個(gè)交換群，證明G中全體有限階元素組成一個(gè)子群.證明:交換群G中全體有限階元素組成的集合記為S，任取a，bS，并設(shè)a的階為m，b的階為n，則(ab)mn=(am)n(bn)m=e因此ab為有限階元素，即abS.a1的階數(shù)與a相同，故此a1也是有限階元素，即a1S.綜上可知S為G的一個(gè)子群.18. 如果G只有有限多個(gè)子群，證明G為有限群.證明:，則G中元素只可能有兩種情況：(1)G中任意元素的階數(shù)都有限、(2)G中存在一個(gè)無(wú)限階元素.(1) 首先看第一種情況：G中取a1≠e，并設(shè)其階數(shù)為n1，則循環(huán)群G1={,…}為G的一個(gè)子群；G中取a2G1，并設(shè)其階數(shù)為n2，則循環(huán)群G2={,…}為G的一個(gè)子群；G中取a3G1∪G2，并設(shè)其階數(shù)為n3，則循環(huán)群G3={,…}為G的一個(gè)子群；… … …我們一直這樣做下去，可以得到G的互不相同的子群構(gòu)成的序列Gn(n=1,2,…)，所以G有無(wú)窮多個(gè)子群，產(chǎn)生矛盾；(2) 再看第二種情況:設(shè)a∈G的階數(shù)為無(wú)窮，那么序列G1=，G2=，…，Gn=，…是G的互不相同的子群，所以G有無(wú)窮多個(gè)子群，產(chǎn)生矛盾.綜上就可知“G是無(wú)限群”這個(gè)假設(shè)不成立，因此G是有限群.19. 寫(xiě)出Dn的所有正規(guī)子群.20. 設(shè)H，K為群G的子群，HK為G的一子群當(dāng)且僅當(dāng)HK=KH.證明：(Ⅰ)設(shè)HK=KH，下面證明HK為G的一子群.任取a,b∈HK,可令a=h1k1，b=h2k2這里hi∈H，ki∈K，i=1,2.那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 (1)因HK=KH，故此k1h2= h3k3 (2)這里h3∈H，k3∈K. 由(1),(2)知ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK. (3) 另外，a1= (h1k1)1= ∈KH=HK. (4)由(3),(4)知HK是G的子群.(Ⅱ) HK為G的一子群,下面證明HK=KH.若a∈HK,易知a1∈KH. HK是子群,任取a∈HK，有a1∈HK,因此(a1)1=a∈KH，那么有HK KH.若a∈KH,易知a1∈HK. HK是子群,任取a∈KH，有a1∈HK,因此(a1)1=a∈HK，那么有KH HK.綜上知，HK=KH.21. 設(shè)H，K為有限群G的子群，證明證明：
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