【正文】 分布、對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等三個(gè)分布，其中指數(shù)分布已在〔]中作了介紹，其他兩個(gè)分布將在下面介紹?！　　　【鶆蚍植荚趦啥它c(diǎn)a與b之間有一個(gè)平坦的概率密度函數(shù)，它的全稱是“在區(qū)間(a，b)上的均勻分布”，常記為U(a，b)。這里“均勻”是指隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等。　　　　　　例如，一個(gè)隨機(jī)變量X服從均勻分布U(10，15)((a))，則X在小區(qū)間(11，12)與小區(qū)間(，)上的面積相等，即:　　P(11X12)=P(X)=10.=(a，b)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　(a)上所示的均勻分布U(10，15)，它的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　　　對數(shù)正態(tài)分布可用來描述很多隨機(jī)變量的分布，如化學(xué)反應(yīng)時(shí)間、絕緣材料被擊穿時(shí)間、產(chǎn)品維修時(shí)間等都是服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。它們有如下共同特點(diǎn):　　(1)這些隨機(jī)變量都在正半軸(0，∞)上取值?！　?2)這些隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”((a))。如機(jī)床維修中，大量機(jī)床在短時(shí)間內(nèi)都可修理好，只有少量機(jī)床需要長時(shí)間維修，個(gè)別機(jī)床可能需要更長的修理時(shí)間?！　　　?3)最重要的特征是:若隨機(jī)變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說對數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對數(shù)變換后為正態(tài)變量?！　?4)若記正態(tài)分布的均值為μY，方差為σ2Y，則相應(yīng)的對數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()　　(5)尋求對數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率，經(jīng)過對數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應(yīng)事件的概率，如:　　P(Xa)=P(lnXlna)　　=P(Ylna)　　(a)(b)上的兩塊陰影面積?！　　瞉絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時(shí)間X為服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若令Y=lnX，則Y為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時(shí)，104小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時(shí)間的7倍多，可見對數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布。　　五、中心極限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計(jì)中常用到的一個(gè)結(jié)論。它告訴人們:在一定條件下，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值(仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)，服從或近似服從正態(tài)分布。中心極限定理較完整的敘述如下:　　設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，均值μ和方差σ2都存在，則在n較大時(shí)，其樣本均值近似服從正態(tài)分布N(μ，)。　　這里相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是指一個(gè)變量的取值不影響其他變量的取值。中心極限定理表明，當(dāng)n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布。第四節(jié)常用統(tǒng)計(jì)量及其分布　　一、隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機(jī)變量及其分布的概念。這些概念之間相互之間是有聯(lián)系的，而要將它們表達(dá)清楚，又必須借用第二節(jié)中所引進(jìn)的概率這個(gè)工具。　　總體是人們研究對象的全體，它由個(gè)體所組成，當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測時(shí)，所得的觀測值隨個(gè)體而異，因此總體對應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量。這個(gè)隨機(jī)變量的分布也就是總體的分布。因此統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的隨機(jī)變量是對應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號(hào)，例如X，Y，…等來記。　　再來討論樣本，一個(gè)樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體，這n個(gè)樣本觀測值x1，x2，…，xn可以看成為隨機(jī)變量X的n次實(shí)現(xiàn)值?！　∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認(rèn)識(shí)總體，即從樣本推斷總體。如推斷總體是什么類型的分布?推斷總體均值為多少?推斷總體的標(biāo)準(zhǔn)差是多少?為了使此種統(tǒng)計(jì)推斷有所依據(jù)，推斷結(jié)果有效，對樣本的抽取應(yīng)有所要求?！　M足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本?！　?1)隨機(jī)性?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。譬如，按隨機(jī)性要求抽出5個(gè)樣品，記為X1，X2，…，X5，則其中每一個(gè)都應(yīng)與總體分布相同。這只要隨機(jī)抽樣就可保證此點(diǎn)實(shí)施?！　?2)獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)樣品對其他樣本的抽取無任何影響，假如總體是無限的，獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)；若總體很大，特別與樣本量n相比是很大的，這時(shí)即使總體是有限的，此種抽樣獨(dú)立性也可得到基本保證。　　綜上兩點(diǎn)，隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn可以看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機(jī)樣本。在實(shí)際中抽樣時(shí)，也應(yīng)按此要求從總體中進(jìn)行抽樣。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體。，圖上用虛線畫出的曲線是兩個(gè)未知總體。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣，則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對集中些。　　　　抽樣切忌干擾，特別是人為干擾。某些人的傾向性會(huì)使所得樣本不是簡單隨機(jī)樣本，從而使最后的統(tǒng)計(jì)推斷失效?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。樣本的觀測值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)。有時(shí)為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示?！　《?、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布　　(一)統(tǒng)計(jì)量的概念　　樣本來自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，需要對樣本進(jìn)行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征?！　〔缓粗獏?shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布?！　]從均值為μ，方差為σ2的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本X1，X2，…，Xn，其中μ與σ2均未知?！　∧敲碭1+X2，max{X1，X2，…，Xn}是統(tǒng)計(jì)量，而X1+X22μ，(X1μ)/σ都不是統(tǒng)計(jì)量。　　第一節(jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計(jì)量。只有樣本眾數(shù)例外，因?yàn)闃颖颈姅?shù)的確定在許多情形并不明確，它不能用樣本函數(shù)表示，因此那里定義的樣本眾數(shù)不能作為統(tǒng)計(jì)量。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機(jī)抽取的，因此與表示總體的隨機(jī)變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。注意作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是樣本的函數(shù)，是隨著所抽取的樣本不同而變的。因此本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此有時(shí)也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計(jì)算它的均值、方差等。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)。事實(shí)上E()=μ　　其中μ，σ2分別為總體X的均值和方差。　　上面的結(jié)果表明，樣本是總體均值μ的無偏估計(jì)，而它的方差與總體方差σ2成正比，但與樣本量n成反比。這表明當(dāng)用(樣本均值)估計(jì)μ(總體均值)時(shí)，n(樣本量)愈大，精度就愈高?！　]下面50個(gè)數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取出來的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生法用計(jì)算機(jī)得到)，按行分為10組，每組5個(gè)數(shù)據(jù):　　1)，，；　　2)，，；　　3)，，；　　4)，，；　　5)，，；　　6)，，；　　7)，，；　　8)，，；　　9)，，；　　10)，，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個(gè)從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計(jì)算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個(gè)平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每兩行數(shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個(gè)樣本的均值分別為:　　，， 。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計(jì)μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計(jì)精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。實(shí)際上這個(gè)數(shù)字也是將上述數(shù)據(jù)看做為n=50的一個(gè)樣本均值?！　≈劣诘姆植迹鶕?jù)上節(jié)討論過的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當(dāng)n大時(shí)，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結(jié)果，得知當(dāng)n大時(shí)，近似N(μ，σ2/n)。當(dāng)X本身服從正態(tài)分布，的分布也是嚴(yán)格正態(tài)的?！　∪?、有關(guān)正態(tài)總體的幾個(gè)重要的抽樣分布本小節(jié)進(jìn)一步討論來自正態(tài)總體樣本均值、樣本方差以及來自兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值差及方差比的抽樣分布。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析中將起重要作用?！　?一)方差未知時(shí)，正態(tài)均值的分布——t分布上一小節(jié)已提到，對于正態(tài)總體N(μ，σ2)，樣本均值的分布為　　　　　　是已知的，否則在實(shí)際中并不能立即就可應(yīng)用。　　當(dāng)σ已知時(shí)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時(shí)，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)?！　∽杂啥葹閚1的t分布的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)類似，亦為對稱分布，其峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側(cè)尾部要比N(0，1)的兩側(cè)尾部略粗一些。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。當(dāng)自由度超過30以后，兩者區(qū)別已不大?！　　　?二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布，記為χ2(n1)，即:　　自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。　　　　(三)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布　　設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，它們的方差相等。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個(gè)樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個(gè)樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱為分子自由度，m1稱為分母自由度。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。　　第五節(jié)參數(shù)估計(jì)　　根據(jù)樣本對總體進(jìn)行推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)基本內(nèi)容。本節(jié)著重討論參數(shù)估計(jì)問題?！　≡谇皫坠?jié)中已經(jīng)闡明特定產(chǎn)品的質(zhì)量特性可以用隨機(jī)變量來表示，而它的量值包括變化規(guī)律則用相應(yīng)的分布來表示。在質(zhì)量活動(dòng)和管理實(shí)際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。這些都需要通過從總體中取樣本，從樣本觀測值來對此進(jìn)行估計(jì)。在統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。例如若產(chǎn)品某個(gè)特性服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ與σ2是未知的參數(shù)，就需要根據(jù)樣本對它們進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)也可以擴(kuò)展成對分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對某個(gè)特定事件概率的估計(jì)，但由于這些待估計(jì)的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個(gè)估計(jì)問題都可以化成參數(shù)估計(jì)問題。例如二項(xiàng)分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對p進(jìn)行了估計(jì)，均值的估計(jì)也就完全解決了?！　?shù)估計(jì)有兩種基本形式，即點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)?！　∫?、點(diǎn)估計(jì)　　(一)點(diǎn)估計(jì)的概念　　設(shè)θ是總體的一個(gè)未知參數(shù)，記與總體對應(yīng)的隨機(jī)變量為X，從中抽取樣本量為n的一個(gè)樣本，X1，X2，…，Xn。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量=(X1，X2，…，Xn)，用來對θ進(jìn)行估計(jì)，稱為θ的估計(jì)量。對一個(gè)具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計(jì)算的一個(gè)具體的數(shù)值，稱為θ的估計(jì)值。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱為估計(jì)?！　?二)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)　　點(diǎn)估計(jì)量是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個(gè)隨機(jī)變量，評價(jià)一個(gè)估計(jì)量的優(yōu)劣不能從一個(gè)具體樣本獲得的估計(jì)值來評判，應(yīng)該從多次使用中來評定?！　τ谝粋€(gè)特定的樣本，估計(jì)量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本，的不同具體估計(jì)值，對實(shí)際偏差θ進(jìn)行“平均”。當(dāng)然這種平均不能直接進(jìn)行，因?yàn)棣扔姓胸?fù)，直接平均由于正負(fù)抵消反而不能反映誤差。與以前對方差處理的方法相仿，用估計(jì)偏差的平方θ)2代替，并對其求均值，于是用E(θ)2來表示估計(jì)量的優(yōu)劣。這個(gè)量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實(shí)際上是平均平方誤差的意思。雖然由于θ是未知的，MSE()也并不是總能求得的。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項(xiàng)表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時(shí)，稱估計(jì)量是無偏的。無偏性是表示估計(jì)量優(yōu)良性的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無偏估計(jì)量，或近似無偏估計(jì)量?！　?)式中的第二項(xiàng)表示的是對其均值E()差的平方的均值，稱為估計(jì)量的方差。對于無偏估計(jì)量，當(dāng)然方差愈小愈好。方差愈小，估計(jì)量就更有效。有效性是判定估計(jì)量優(yōu)良性的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。　　(三)求點(diǎn)估計(jì)的方法——矩法估計(jì)　　參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法是用樣本矩估計(jì)相應(yīng)的總體矩，從而獲得有關(guān)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，這種點(diǎn)估計(jì)方法稱為矩法估計(jì)?！　【胤ü烙?jì)簡單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。例如對任何總體，樣本均值對總體均值μ的估計(jì)總是無偏的，樣