函數(shù)冪級數(shù)畢業(yè)論文中英文資料外文翻譯文獻(xiàn)-資料下載頁
2025-06-22 04:17本頁面
【正文】 以為和函數(shù)呢?若令馬克勞林級數(shù)(953)的前項和為，即，那么，級數(shù)(953)收斂于函數(shù)的條件為．注意到馬克勞林公式(952)與馬克勞林級數(shù)(953)的關(guān)系，可知．于是，當(dāng)時，有．反之亦然．即若則必有．這表明，馬克勞林級數(shù)(953)以為和函數(shù)馬克勞林公式(952)中的余項 (當(dāng)時)．這樣，我們就得到了函數(shù)的冪級數(shù)展開式：(954)它就是函數(shù)的冪級數(shù)表達(dá)式，也就是說，函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的．事實上，假設(shè)函數(shù)可以表示為冪級數(shù)， (955)那么，根據(jù)冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)，再令(冪級數(shù)顯然在點收斂)，就容易得到．將它們代入(955)式，所得與的馬克勞林展開式(954)完全相同．綜上所述，如果函數(shù)在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式中的余項以零為極限(當(dāng)時)，那么，函數(shù)就可展開成形如(954)式的冪級數(shù)．冪級數(shù),稱為泰勒級數(shù)．二、 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式利用馬克勞林公式將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，稱為直接展開法．例1 試將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．解 因為, 所以，于是我們得到冪級數(shù)， (956)顯然，(956)式的收斂區(qū)間為，至于(956)式是否以為和函數(shù)，即它是否收斂于，還要考察余項．因為 ()， 且，所以．注意到對任一確定的值，是一個確定的常數(shù)，而級數(shù)(956)是絕對收斂的，因此其一般項當(dāng)時，所以當(dāng)時，有，由此可知．這表明級數(shù)(956)確實收斂于，因此有 ()．這種運(yùn)用馬克勞林公式將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，雖然程序明確，但是運(yùn)算往往過于繁瑣，因此人們普遍采用下面的比較簡便的冪級數(shù)展開法．在此之前，我們已經(jīng)得到了函數(shù)，及的冪級數(shù)展開式，運(yùn)用這幾個已知的展開式，通過冪級數(shù)的運(yùn)算，可以求得許多函數(shù)的冪級數(shù)展開式．這種求函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法稱為間接展開法．例2 試求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式．解 因為，而,（），所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，可得,（）．三、 函數(shù)冪級數(shù)展開的應(yīng)用舉例冪級數(shù)展開式的應(yīng)用很廣泛，例如可利用它來對某些數(shù)值或定積分值等進(jìn)行近似計算．例3 利用的展開式估計的值．解 由于，又因， ()，所以有．可用右端級數(shù)的前n項之和作為π的近似值．但由于級數(shù)收斂的速度非常慢，要取足夠多的項才能得到π的較精確的估計值．此外文文獻(xiàn)選自于：(英文版)[M].北京：，也不能閑死在家里！寧可去碰壁，也不能面壁。是狼就要練好牙，是羊就要練好腿。什么是奮斗？奮斗就是每天很難，可一年一年卻越來越容易。不奮斗就是每天都很容易，可一年一年越來越難。能干的人，不在情緒上計較，只在做事上認(rèn)真；無能的人！不在做事上認(rèn)真，只在情緒上計較。拼一個春夏秋冬！贏一個無悔人生！早安！—————獻(xiàn)給所有努力的人.學(xué)習(xí)參
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