格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的應(yīng)用-資料下載頁
2025-06-20 07:48本頁面
【正文】 為軸，半徑為r長為l的封閉圓柱面為高斯面。圓柱的上、下兩底面，與的方向垂直；側(cè)面的與的方向相反，所以通過封閉圓柱體的萬有引力通量為： (20)根據(jù)高斯定理得： 得： 公式（19）與公式（20）是相等的，可以看出，比起用萬有引力定律來說，用萬有引力場中的高斯定理求解問題比較簡單，省去了很多積分過程，并且體現(xiàn)出萬有引力場是保守場的性質(zhì)。在普通物理的教科書中，一般對阿基米德浮力定律都不作嚴格的數(shù)學(xué)證明，僅對它作一個說明。下面我們根據(jù)重力場中靜止流體的壓強分布，應(yīng)用高斯公式給出一個證明。一物體浮在液面上，液體表面的平面把浮體表面的封閉曲面S分為兩部分和，也把整個浮體分為兩部分。其中浮在液面上的那部分為，浸沒在液體中的那部分為。建立坐標系，取液體表面為x o y平面，Z軸的方向取為豎直向下。作用在曲面上的壓強就是大氣壓，而作用在曲面上的壓強則為 式中P為液體的密度，z為曲面上某點處位于液面下的深度。作用在物體上的浮力就是由于作用在物體下部的壓強大于作用在物體上部的壓強而產(chǎn)生的，我們來具體計算一下。因為作用在物體表面上任一面元上的壓力總是與面元的法向矢量方向相反，所以有： (24)式中為與三個坐標軸的夾角，應(yīng)用在高斯公式，上式可化為體積分： (25)上式即為我們所熟知的阿基米德浮力定律的數(shù)學(xué)表達式，它表 明：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體所排開的液體的重量。靜電場中的高斯定理：在一般的普通物理教科書中，對高斯定理都不作嚴格的證明，而是利用電力線的概念加以說明，也有少數(shù)書中是采用引進“立體角”的概念來證明的。其實，應(yīng)用高斯公式可以很簡潔地證明高斯定理，而且不需要引進“立體角”的概念。我們先討論單個點電荷的情況。在閉合曲面S內(nèi)有一點電荷q，它所產(chǎn)生的場強為，則穿出S的電通量為 注意，現(xiàn)在我們還不能利用高斯公式把上式中的面積分化為體積分。 因為高斯公式成立的條件要求在閉合曲面S所包圍的區(qū)域V內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。但顯然在區(qū)域V內(nèi)r=0處（即點電荷q處）不連續(xù)。我們可在閉曲面S內(nèi)作一個以點電荷q為中心，以R為半徑 的小球面的方向和S一樣都取為外法線方向。那么，在閉合曲面 S 和之間的區(qū)域中，滿足連續(xù)的條件，于是我們可利用高斯公式來計算通過區(qū)域的邊界曲面的電通量。 (26)由直接計算可得， ，所以。在面積分，曲面的外法線方向在曲面S處與S的外法線方向相同，而在曲面處則與的外法線方向相反。于是有所以這說明通過包含點電荷的任意閉合曲面的電通量都與通過以 該點電荷為中心的任一球面的電通量相等。而通過球面的電通量很容 易算出：所以當(dāng)點電荷q不在閉合曲面S內(nèi)時，則在S所包含的V區(qū)域內(nèi)，可直接利用高斯公式求出：對于由一組點電荷所組成的帶電體系來說，它們在空 間所產(chǎn)生的總場強是各點電荷單獨存在時所產(chǎn)生的場強的迭加： (27)那么通過任意閉合曲面的電通量為：式中是各個點電荷的電場通過閉合曲面S的電通量。由上述關(guān)于單個點電荷的結(jié)論可知：當(dāng)在S內(nèi)時 當(dāng)在S外時,所以這樣就證明了高斯定理。設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，若函數(shù)P( x，y，z)，Q( x，y，z)與R( x，y，z) 在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式（散度公式）：（是的整個邊界曲面的外側(cè)） 在日常生活中，我們經(jīng)常見到如圖8用榔頭釘釘子，圖9燈泡或太陽向四周輻射光線，圖10點燃的煙花向周圍爆炸等現(xiàn)象。對這些現(xiàn)象進行對比觀察，發(fā)現(xiàn)都具向四周散射的效果[10]。 我們不妨對釘子受力會被釘進桌面的現(xiàn)象進行受力分析，如圖11，釘子受到榔頭的力A=(P，Q，R) 作用，P，Q，R 分別是力A 在x，y，z 三個坐標軸方向上的分力，力A 的作用效果（變化率）等效于分力P，Q，R 在坐標軸方向上的作用效果（變化率），從而我們可用度量A的（散射）作用效果，并稱之為散度。因此，我們可以把高斯公式理解成：向量場（包含力場）A=(P，Q，R) 通過閉曲面流向外側(cè)的通量（流量或輻射量），等于A 的散度在閉曲面所圍閉區(qū)域上的積分。 圖10 用榔頭釘釘子 圖11 輻射光線 圖12 點燃的煙花爆炸 圖13 釘子的受力分析五、結(jié)語 本文不僅詳細剖析了多元函數(shù)積分學(xué)中三個基本公式，即格林(Green)公式，斯托克斯(Stokes)公式，高斯(Gauss)公式之間的關(guān)系，而且著重討論了以上三個公式在在不同專業(yè)，尤其是在物理學(xué)上的應(yīng)用。我們總結(jié)了諸如斯托克斯公式在環(huán)量、旋度上的原理和應(yīng)用，高斯公式在保守場、散度的應(yīng)用和阿基米德浮力定律的證明，以及格林公式應(yīng)用于外部擾動動力場的計算和其在GPS面積測量儀中的應(yīng)用。從中可以看出，這三大公式不僅在數(shù)學(xué)上應(yīng)用廣泛，而且還被用于跨學(xué)科，跨專業(yè)解決問題和公式定理的證明，并使之應(yīng)用于實際中。以小見大，數(shù)學(xué)學(xué)科不僅僅與物理學(xué)科關(guān)系密切，相輔相成，同時也是解決諸多實際問題的強力武器。六、參考文獻[1] 馬知恩，王綿森，工科數(shù)學(xué)分析下冊，北京：高等教育出版社 2006年[2] 包海臣，格林公式的物理原型及其它，呼和浩特職業(yè)學(xué)院 2005年[3] 劉雄偉，汪雄良，格林公式與GPS面積測量儀，高等數(shù)學(xué)研究，第18卷第一期：109111頁 2015年[4] 田家磊，吳曉平，李姍姍，應(yīng)用格林積分直接以地面邊值確定外部擾動重力場，測繪學(xué)報，第44卷11期：11891195頁 2015年[5] 黃國良，矢量場散度和旋度的物理意義，西安礦業(yè)學(xué)院學(xué)報，第一期：7177頁 2003年[6]陳修芳．從高斯公式到高斯定理[ J ].科學(xué)之友。：111 3.[7]籍延坤．高斯定理的數(shù)學(xué)證明[ J ]．大連鐵道學(xué)院學(xué)報．(3)1316.[8]溫耐，王偉峰．高斯定理在靜電場中的應(yīng)用問題L J．物理通報，2010 ( 11 ):．[9]宋克慧，龍文海．關(guān)于保守場判據(jù)的一點注記[ J ]．蒙自師專學(xué)報：自然科學(xué)版． 0 ( 2 ):5153. [10]武秀榮,楊學(xué)工大學(xué)物理[M]北京::97102．26
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1