【正文】 為軸，半徑為r長(zhǎng)為l的封閉圓柱面為高斯面。圓柱的上、下兩底面，與的方向垂直；側(cè)面的與的方向相反，所以通過(guò)封閉圓柱體的萬(wàn)有引力通量為： (20)根據(jù)高斯定理得： 得： 公式（19）與公式（20）是相等的，可以看出，比起用萬(wàn)有引力定律來(lái)說(shuō)，用萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理求解問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，省去了很多積分過(guò)程，并且體現(xiàn)出萬(wàn)有引力場(chǎng)是保守場(chǎng)的性質(zhì)。在普通物理的教科書中，一般對(duì)阿基米德浮力定律都不作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，僅對(duì)它作一個(gè)說(shuō)明。下面我們根據(jù)重力場(chǎng)中靜止流體的壓強(qiáng)分布，應(yīng)用高斯公式給出一個(gè)證明。一物體浮在液面上，液體表面的平面把浮體表面的封閉曲面S分為兩部分和，也把整個(gè)浮體分為兩部分。其中浮在液面上的那部分為，浸沒(méi)在液體中的那部分為。建立坐標(biāo)系，取液體表面為x o y平面，Z軸的方向取為豎直向下。作用在曲面上的壓強(qiáng)就是大氣壓，而作用在曲面上的壓強(qiáng)則為 式中P為液體的密度，z為曲面上某點(diǎn)處位于液面下的深度。作用在物體上的浮力就是由于作用在物體下部的壓強(qiáng)大于作用在物體上部的壓強(qiáng)而產(chǎn)生的，我們來(lái)具體計(jì)算一下。因?yàn)樽饔迷谖矬w表面上任一面元上的壓力總是與面元的法向矢量方向相反，所以有： (24)式中為與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角，應(yīng)用在高斯公式，上式可化為體積分： (25)上式即為我們所熟知的阿基米德浮力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它表 明：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體所排開(kāi)的液體的重量。靜電場(chǎng)中的高斯定理：在一般的普通物理教科書中，對(duì)高斯定理都不作嚴(yán)格的證明，而是利用電力線的概念加以說(shuō)明，也有少數(shù)書中是采用引進(jìn)“立體角”的概念來(lái)證明的。其實(shí)，應(yīng)用高斯公式可以很簡(jiǎn)潔地證明高斯定理，而且不需要引進(jìn)“立體角”的概念。我們先討論單個(gè)點(diǎn)電荷的情況。在閉合曲面S內(nèi)有一點(diǎn)電荷q，它所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，則穿出S的電通量為 注意，現(xiàn)在我們還不能利用高斯公式把上式中的面積分化為體積分。 因?yàn)楦咚构匠闪⒌臈l件要求在閉合曲面S所包圍的區(qū)域V內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。但顯然在區(qū)域V內(nèi)r=0處（即點(diǎn)電荷q處）不連續(xù)。我們可在閉曲面S內(nèi)作一個(gè)以點(diǎn)電荷q為中心，以R為半徑 的小球面的方向和S一樣都取為外法線方向。那么，在閉合曲面 S 和之間的區(qū)域中，滿足連續(xù)的條件，于是我們可利用高斯公式來(lái)計(jì)算通過(guò)區(qū)域的邊界曲面的電通量。 (26)由直接計(jì)算可得， ，所以。在面積分，曲面的外法線方向在曲面S處與S的外法線方向相同，而在曲面處則與的外法線方向相反。于是有所以這說(shuō)明通過(guò)包含點(diǎn)電荷的任意閉合曲面的電通量都與通過(guò)以 該點(diǎn)電荷為中心的任一球面的電通量相等。而通過(guò)球面的電通量很容 易算出：所以當(dāng)點(diǎn)電荷q不在閉合曲面S內(nèi)時(shí)，則在S所包含的V區(qū)域內(nèi)，可直接利用高斯公式求出：對(duì)于由一組點(diǎn)電荷所組成的帶電體系來(lái)說(shuō)，它們?cè)诳?間所產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)是各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的迭加： (27)那么通過(guò)任意閉合曲面的電通量為：式中是各個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)通過(guò)閉合曲面S的電通量。由上述關(guān)于單個(gè)點(diǎn)電荷的結(jié)論可知：當(dāng)在S內(nèi)時(shí) 當(dāng)在S外時(shí),所以這樣就證明了高斯定理。設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，若函數(shù)P( x，y，z)，Q( x，y，z)與R( x，y，z) 在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式（散度公式）：（是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)） 在日常生活中，我們經(jīng)常見(jiàn)到如圖8用榔頭釘釘子，圖9燈泡或太陽(yáng)向四周輻射光線，圖10點(diǎn)燃的煙花向周圍爆炸等現(xiàn)象。對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比觀察，發(fā)現(xiàn)都具向四周散射的效果[10]。 我們不妨對(duì)釘子受力會(huì)被釘進(jìn)桌面的現(xiàn)象進(jìn)行受力分析，如圖11，釘子受到榔頭的力A=(P，Q，R) 作用，P，Q，R 分別是力A 在x，y，z 三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分力，力A 的作用效果（變化率）等效于分力P，Q，R 在坐標(biāo)軸方向上的作用效果（變化率），從而我們可用度量A的（散射）作用效果，并稱之為散度。因此，我們可以把高斯公式理解成：向量場(chǎng)（包含力場(chǎng)）A=(P，Q，R) 通過(guò)閉曲面流向外側(cè)的通量（流量或輻射量），等于A 的散度在閉曲面所圍閉區(qū)域上的積分。 圖10 用榔頭釘釘子 圖11 輻射光線 圖12 點(diǎn)燃的煙花爆炸 圖13 釘子的受力分析五、結(jié)語(yǔ) 本文不僅詳細(xì)剖析了多元函數(shù)積分學(xué)中三個(gè)基本公式，即格林(Green)公式，斯托克斯(Stokes)公式，高斯(Gauss)公式之間的關(guān)系，而且著重討論了以上三個(gè)公式在在不同專業(yè)，尤其是在物理學(xué)上的應(yīng)用。我們總結(jié)了諸如斯托克斯公式在環(huán)量、旋度上的原理和應(yīng)用，高斯公式在保守場(chǎng)、散度的應(yīng)用和阿基米德浮力定律的證明，以及格林公式應(yīng)用于外部擾動(dòng)動(dòng)力場(chǎng)的計(jì)算和其在GPS面積測(cè)量?jī)x中的應(yīng)用。從中可以看出，這三大公式不僅在數(shù)學(xué)上應(yīng)用廣泛，而且還被用于跨學(xué)科，跨專業(yè)解決問(wèn)題和公式定理的證明，并使之應(yīng)用于實(shí)際中。以小見(jiàn)大，數(shù)學(xué)學(xué)科不僅僅與物理學(xué)科關(guān)系密切，相輔相成，同時(shí)也是解決諸多實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)力武器。六、參考文獻(xiàn)[1] 馬知恩，王綿森，工科數(shù)學(xué)分析下冊(cè)，北京：高等教育出版社 2006年[2] 包海臣，格林公式的物理原型及其它，呼和浩特職業(yè)學(xué)院 2005年[3] 劉雄偉，汪雄良，格林公式與GPS面積測(cè)量?jī)x，高等數(shù)學(xué)研究，第18卷第一期：109111頁(yè) 2015年[4] 田家磊，吳曉平，李?yuàn)檴?，?yīng)用格林積分直接以地面邊值確定外部擾動(dòng)重力場(chǎng)，測(cè)繪學(xué)報(bào)，第44卷11期：11891195頁(yè) 2015年[5] 黃國(guó)良，矢量場(chǎng)散度和旋度的物理意義，西安礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，第一期：7177頁(yè) 2003年[6]陳修芳．從高斯公式到高斯定理[ J ].科學(xué)之友。：111 3.[7]籍延坤．高斯定理的數(shù)學(xué)證明[ J ]．大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)．(3)1316.[8]溫耐，王偉峰．高斯定理在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用問(wèn)題L J．物理通報(bào)，2010 ( 11 ):．[9]宋克慧，龍文海．關(guān)于保守場(chǎng)判據(jù)的一點(diǎn)注記[ J ]．蒙自師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版． 0 ( 2 ):5153. [10]武秀榮,楊學(xué)工大學(xué)物理[M]北京::97102．26