【正文】 a n ∠ EFC ＝34， ∴ BF ＝ 6 k ， AF ＝ BC＝ AD ＝ 10 k .在 Rt △ AFE 中 ， 由勾股定理 ， 得 AE ＝ AF2＋ EF2＝125 k2＝ 5 5 k ＝ 5 5 ， 解得 k ＝ 1. 故矩形 ABCD 的周長(zhǎng)＝ 2( AB ＋BC ) ＝ 2 (8 k ＋ 10 k ) ＝ 36 ( c m ) ． 答案： 36 19 ． ( 2 0 1 8 杭州 文瀾中學(xué)模擬 ) 如圖 ， 在 △ ABC 中 ， CD 是 AB邊上的中線(xiàn) ， ∠ B 是銳角 ， 且 s in B ＝22， t a n A ＝12， AC ＝ 3 5 . ( 1 ) 求 ∠ B 的度數(shù)與 AB 的長(zhǎng)； 解： 如圖 ， 作 CE ⊥ AB 于點(diǎn) E . 設(shè) CE ＝ x ( x 0) ， 在 Rt △ A CE中 ， ∵ t an A ＝CEAE＝12， ∴ AE ＝ 2 x ， ∴ AC ＝ x2＋（ 2 x ）2＝ 5 x ， ∴ 5 x ＝ 3 5 ， 解得 x ＝ 3 ， ∴ CE ＝ 3 ， AE ＝ 6. 在 Rt △ B C E 中 ，∵ si n B ＝22， ∴∠ B ＝ 45 176。 ， ∴△ BCE 為等腰直角三角形 ， ∴ BE＝ CE ＝ 3 ， ∴ AB ＝ AE ＋ BE ＝ 9. ( 2) 求 t a n ∠ C D B 的值． 解： 由 ( 1) 知 ， BD ＝12AB ＝12 9 ＝ ， ∴ DE ＝ BD － BE ＝ － 3 ＝ 1. 5 ， ∴ t a n ∠ C D E ＝CEDE＝3＝ 2 ， 即 t an ∠ C D B 的值為 2. 20 ． 如圖 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 176。， ∠ A 的平分線(xiàn) 交 BC于點(diǎn) E ， EF ⊥ AB 于點(diǎn) F ， 點(diǎn) F 恰好是 AB 的一個(gè)三等分點(diǎn) ( AF ＞BF ) ． ( 1 ) 求證： △ ACE ≌△ AFE ； 證明： ∵ AE 平分 ∠ CAB ， ∴∠ CAE ＝ ∠ BAE . 又 ∵ AE ＝ AE ， ∠ C ＝ ∠ AFE ＝ 90 176。 ， ∴△ ACE ≌△ AFE . ( 2 ) 求 t a n ∠ CAE 的值． 解： 設(shè) AB ＝ 3 x ( x 0 ) ， 則 AF ＝ AC ＝ 2 x ， ∴ BC ＝ AB2－ AC2＝9 x2－ 4 x2＝ 5 x . 由 ( 1 ) 知 CE ＝ EF ， 設(shè) CE ＝ EF ＝ m ( m ＞ 0) ， 在△ BEF 中 ， BE2＝ EF2＋ BF2， 即 ( 5 x － m )2＝ m2＋ x2， ∵ x ≠ 0 ， ∴ m ＝2 55x . 故 t a n ∠ CAE ＝CEAC＝2 55x2 x＝55. 21 ． ( 2 0 1 8 金華外國(guó)語(yǔ)學(xué)校調(diào)研 ) 如圖是將一正方體貨物沿坡面 AB 裝進(jìn)汽車(chē)貨廂的平面示意圖． 已知長(zhǎng)方體貨廂的高度 BC 為 5 m ， t a n A ＝13. 現(xiàn)把圖中的貨物繼續(xù)往前 平移． ．， 當(dāng)貨物頂點(diǎn) D與 C 重合時(shí) ， 仍可把貨物放平裝進(jìn)貨廂 ， 求 BD 的長(zhǎng)． ( 結(jié)果保留根號(hào) ) 解： 如圖 ， 根據(jù)題意 ， 得 △ ABE 和 △ B DC 是直角三角形 ． ∴∠ 3 ＝ ∠ 4 ＝ 90 176。 . ∵∠ A ＋ ∠ 2 ＝ 90 176。 ， ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90 176。 ， ∴∠ 1 ＝ ∠ A ， ∴ t a n ∠ 1 ＝ t a n A ＝13. 在 Rt △ BCD 中 ， t a n ∠ 1 ＝CDBD. 設(shè) CD ＝ x ( x 0 ) ， 則 BD ＝ 3 x ， ∴ x2＋ (3 x )2＝ ( 5 )2， ∴ x ＝22 ??????x ＝－22舍去 ， ∴ BD ＝ 3 x ＝3 22( m ) ． 22 ． 如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖 ， 燈柱 AC 的高為 1 1 m ，燈桿 AB 與燈柱 AC 的夾角 ∠ A ＝ 1 2 0 176。， 路燈采用錐形燈罩 ， 在地面上的照射區(qū)域 DE 長(zhǎng)為 18 m ， 從 D ， E 兩處測(cè)得路燈 B 的仰角分別為 α 和 β ， 且 t a n α ＝ 6 ， t a n β ＝34， 求燈桿 AB 的長(zhǎng)度． 解： 如圖 ， 過(guò)點(diǎn) B 作 BF ⊥ CE ， 交 CE 于點(diǎn) F ， 過(guò)點(diǎn) A 作 AG ⊥ BF ，交 BF 于點(diǎn) G ， 則 FG ＝ AC ＝ 1 1 m . 由題意 ， 得 ∠ B DE ＝ α ， t a n β ＝34， 設(shè) BF ＝ 3 x ( x 0 ) ， 則 EF ＝ 4 x . 在 Rt △ B DF 中 ， ∵ t a n ∠ B DF ＝BFDF， ∴ DF ＝BFt a n ∠ B DF＝3 x6＝12x . ∵ DE ＝ 18 m ， ∴12x ＋ 4 x ＝ 18 ， ∴ x ＝ 4 ， ∴ BF ＝ 1 2 m ， ∴ BG ＝ BF － GF ＝ 12 － 11 ＝ 1( m ) ． ∵∠ BAC ＝ 120 176。 ， ∴∠ BAG ＝ ∠ BAC － ∠ CAG ＝ 120 176。 － 90 176。 ＝ 30 176。 ， ∴ AB ＝ 2 BG ＝ 2( m ) ． 答：燈桿 AB 的長(zhǎng)度為 2 m . 23 ． 知識(shí)改變世界 ， 科技改變生活．導(dǎo)航裝備的不斷更新極大地方便了人們的出行．如圖 ， 某校組織學(xué)生乘車(chē)到 C 地開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng) ， 車(chē)到達(dá) A 地后 ， 發(fā)現(xiàn) C地恰好在 A 地的正北方向 ， 且距離 A 地13 k m ， 導(dǎo)航顯示車(chē)輛應(yīng)沿北偏東 60 176。 方向行駛至 B 地 ， 再沿北偏西 37 176。 方向行駛一段距離才能到達(dá) C 地 ， 求 B ， C 兩地之間的距離????參考數(shù)據(jù)： s in 53 176。 ≈45， c o s 53 176。 ≈35， t a n 5 3 176。 ≈43. 解： 如圖 ， 作 BD ⊥ AC 于點(diǎn) D ， 則 ∠ BAD ＝ 60 176。 ， ∠ DB C ＝53 176。 . 設(shè) AD ＝ x k m ( x 0 ) ， 在 Rt △ ABD 中 ， BD ＝ AD t a n ∠ BAD ＝ 3 x ( k m ) ． 在 Rt △ B C D 中 ， CD ＝ BD t an ∠ D B C ≈ 3 x 43＝4 33x ( k m ) ． 由AC ＝ AD ＋ CD ， 得 x ＋4 33x ＝ 13 ， 解得 x ＝ 4 3 － 3 ， 則 BC ＝BDcos ∠ D B C≈3 x35＝5 33x ＝5 33 (4 3 － 3) ＝ ( 20 － 5 3 ) km ， 即 B ，C 兩地的距離為 ( 20 － 5 3 ) km . 24 ． ( 2 018 衢州實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè) ) 如圖 ① ， 水壩的橫截面是梯形A B C D ， ∠ A B C ＝ 37 176。， 壩頂 DC ＝ 3 m ， 背水坡 AD 的坡度 i ( 即 t an ∠ D A B ) 為 1 ∶ ， 壩底 AB ＝ 14 m . ( 1) 求水壩的高度； 解： 如圖 ① ， 作 DM ⊥ AB 于點(diǎn) M ， C N ⊥ AB 于點(diǎn) N . 由題意 ，得 t an ∠ D A B ＝DMAM＝ 2 ， 設(shè) AM ＝ x m ( x 0) ， 則 DM ＝ 2 x m ， ∵ 四邊形 DM N C 是矩形 ， ∴ DM ＝ C N ＝ 2 x ( m ) ． 在 Rt △ N BC 中 ，t an 37 176。 ＝C NB N＝2 xB N＝34， ∴ B N ＝83x ( m ) ． ∵ x ＋ 3 ＋83x ＝ 14 ， ∴ x ＝ 3 ，∴ DM ＝ 6 m ， ∴ 水壩的高度為 6 m . ( 2 ) 如圖 ② ，為了提高堤壩的防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時(shí)拓寬加固，使得 AE ＝ 2 DF ， EF ⊥ BF ，求 DF 的長(zhǎng) .????參考數(shù)據(jù)： s in 37 176。 ≈35， c o s 37 176。 ≈45， t a n 3 7 176。 ≈34 解： 如圖 ② ， 作 FH ⊥ AB 于點(diǎn) H . 設(shè) DF ＝ y m ， 則 AE ＝ 2 y m ，EH ＝ 3 ＋ 2 y － y ＝ (3 ＋ y ) m ， BH ＝ 14 ＋ 2 y － ( 3 ＋ y ) ＝ ( 1 1 ＋ y ) m ， 由△ EFH ∽△ F B H ， 可得HFHB＝EHFH， 即611 ＋ y＝3 ＋ y6， 解得 y ＝－ 7＋ 2 13 或－ 7 － 2 13 ( 舍去 ) ， ∴ DF ＝ ( 2 13 － 7) m . ∴ DF 的長(zhǎng)為(2 13 － 7) m .