20xx屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)二解答題專項(xiàng)十一、幾何綜合探究題課件-資料下載頁(yè)
2025-06-12 23:38本頁(yè)面
【正文】 一根垂直的懸桿最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？最大視角問(wèn)題是數(shù)學(xué)史上 100個(gè)著名的極值問(wèn)題中的第一個(gè)極值問(wèn)題。因?yàn)榈聡?guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出這個(gè)問(wèn)題，所以最大視角問(wèn)題又稱為“米勒問(wèn)題”，更一般的米勒問(wèn)題如下： 如圖①，已知點(diǎn) A， B是 ∠ MON的邊 ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，在 OM邊上求作一點(diǎn) P，使得 ∠ APB最大。 解答題專項(xiàng) 【 通法通解 】 (1)知識(shí)必備：①射影定理；②圓的切線判定；③圓中同弧所對(duì)圓內(nèi) 角、圓周角、圓外角的關(guān)系。 (2)找點(diǎn)：①如圖②，以 OB的長(zhǎng)為直徑作圓 。② 過(guò)點(diǎn) A作 ON的垂線交 前圓于點(diǎn) D；③連接 OD，以點(diǎn) O′為圓心，以 O′B的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧， OM于點(diǎn) P。④ 連接 PA， PB，則點(diǎn) P就是所要求作的點(diǎn)。 (3)說(shuō)理：以 P， A， B為 三點(diǎn)作圓，連接 BD，則 ∠ ODB=90176。 。又 ∵ DA⊥ OB,易證△ OAD∽ △ ODB,∴ OD2=OAOB。又 ∵ OD=OP,∴ OP2=OAOB，得 。又∵∠ POA=∠BOP,∴ △ OPA∽ △ OBP,∴∠ OPA=∠ PBO,∴ OP為 ⊙ O′的切線， P為切點(diǎn)，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角大于圓外角，故 ∠ APB最大。 【 反思 】 最大視角問(wèn)題在近幾年中考中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查，若能從題設(shè)中挖掘出其中的米勒問(wèn)題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸，大大減少運(yùn)算量，降低思維難度，縮短解題長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題順利解決。否則 ,這類問(wèn)題會(huì)成為學(xué)生的一道難題甚至一籌莫展，即使求得結(jié)果也費(fèi)時(shí)費(fèi)力，在此，我們繼續(xù)強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想在壓軸題中的運(yùn)用。 OP OBOA OP?解答題專項(xiàng) 常見(jiàn)模型二 在矩形 ABCD中，以 AB為一邊， AB=a,AD≥ a,在其他三邊上是否存在點(diǎn) P,使 ∠ APB=45176。 ，若存在，請(qǐng)找出點(diǎn) P，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 【 通法通解 】 (1)知識(shí)必備：圓中圓心角與圓周角的關(guān)系。 (2) 找點(diǎn)：①如圖③，以 AB為斜邊作等腰直角三角形 ABO,使 ∠ AOB=90176。 。② 過(guò)點(diǎn) A以點(diǎn) O為圓心，以 OA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交 AD,DC,BC于點(diǎn) P。④ 連接 PA,PB，則點(diǎn) P就是所要求作的點(diǎn)。 (3)說(shuō)理 :(分類討論 )∵ AB=a， AD=BC≥ a,故以點(diǎn) O為圓心， OA(或 OB)為半徑的圓與 AD,BC必有交點(diǎn)。當(dāng) a＜ AD＜ 時(shí)， 與 BC邊有兩個(gè)交點(diǎn) P。當(dāng) AD= 時(shí)，與 DC邊有一個(gè)交點(diǎn) 。當(dāng) AD＞ 時(shí)，與 DC沒(méi)有交點(diǎn)。 122 a?122 a?122 a?解答題專項(xiàng) 【 反思 】 “ 數(shù)無(wú)形時(shí)難直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，根據(jù)條件運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)借助“隱圓”找點(diǎn)，再通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地判斷滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，達(dá)到數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好的效果，實(shí)現(xiàn)逢河架橋、逢山開(kāi)路之境界！ 隱形圓的判定： ； ； ； ； 對(duì)定角、定高對(duì)定角必有隱形圓。 (二 )平面中符合條件的其他圖形的點(diǎn)的存在性問(wèn)題 符合條件的圖形的點(diǎn)及解的問(wèn)題處理策略： 等腰三角形：利用“兩圓一線”法找點(diǎn)，建立坐標(biāo)系或用方程解決問(wèn)題； 直角三角形：“兩線一圓”法找點(diǎn)，利用勾股定理或相似解決問(wèn)題； 平行四邊形：“平行線構(gòu)造”法或“對(duì)角線互相平分”法找點(diǎn)，利用平移規(guī)律、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、全等解決問(wèn)題。 以上模型，前文已有詳細(xì)講解，此處不再贅述。 解答題專項(xiàng) 【 小技巧 】 (1)60176。 角考慮等邊三角形或特殊直角三角形，探究點(diǎn)的問(wèn)題，常見(jiàn)“隱圓”常做腳手架； (2)當(dāng)出現(xiàn) 90176。 角的問(wèn)題，常與“隱圓”、相似、三角函數(shù)轉(zhuǎn)移角結(jié)合； (3)點(diǎn)的特殊性決定角或邊的情況，分類討論是靈魂。 相似三角形中的幾個(gè)重要結(jié)論和模型： ④，普通母子型 ,結(jié)論： AC2 =ADAB。 ⑤，射影定理 (特殊母子型 ) 結(jié)論： AC2 =ADAB。BC2 =BDAB。CD2 =BDAD。 如圖⑥，三垂直 (∠ C=∠ ABE=∠ D),△ ACB∽ △ BDE。 如圖⑦，三個(gè) 60176。 (∠ B=∠ ADE=∠ C),△ ABD∽ △ DCE。 如圖⑧，三等角 (∠ B=∠ ACE=∠ D), △ ABC∽ △ CDE。 解答題專項(xiàng) 例 4 【 問(wèn)題探究 】 (1)如圖①，在矩形 ABCD中， AB=2,BC=4,如果 BC邊上存在點(diǎn) P，使△ APD為直角三角形，那么請(qǐng)畫(huà)出滿足條件的一個(gè)直角三角形，并求出此時(shí) AP的長(zhǎng)； (2)如圖②，在四邊形 ABCD中， AB∥ CD,∠ B=90176。 ,AD=10,AB=7,CD=1,點(diǎn) P在邊 BC上，且 ∠ APD=90176。 ，求 BP的長(zhǎng)。 【 問(wèn)題解決 】 (3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A， B， C分 別是某單位的門房及兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，其中 OA=100 m， AB=200 m， OC=300 m，單位負(fù)責(zé)人想選一點(diǎn) P安裝 監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)控 AB,使△ APB的面積最大，且 ∠ APB=2∠ ACB,是否存在滿足條件的點(diǎn) P？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解答題專項(xiàng)
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1