九年級數(shù)學(xué)上冊第四章圖形的相似7相似三角形的性質(zhì)第2課時相似三角形中的周長和面積的性質(zhì)習(xí)題-資料下載頁
2025-06-12 14:10本頁面
【正文】 ＝ 4 , PQ ∥ AB , 點 P 在 CA上 ( 與點 A , C 不重合 ) , 點 Q 在 BC 上 . ( 1 ) 當(dāng) △ P Q C 的面積與四邊形 P A B Q 的面積相等時 , 求 CP 的長 . ( 2 ) 當(dāng) △ P Q C 的周長與四邊形 P A B Q 的周長相等時 , 求 CP 的長 . ( 3 ) 試問：在 AB 上是否存在一點 M , 使得 △ P Q M 為等腰直角三角形？若存在 , 請求出 PQ 的長；若不存在 , 請簡要說明理由 . 圖 4 － 7 － 22 第 2課時 相似三角形周長和面積的性質(zhì) 解： ( 1 ) ∵ PQ ∥ AB ,∴△ P Q C ∽△ ABC . ∵ S △P QC＝ S 四邊形P A B Q,∴ S △P Q C∶ S △ABC＝ 1 ∶ 2 , ∴CPCA＝12＝22,∴ CP ＝22CA ＝ 2 2 . ( 2 ) ∵△ P Q C ∽△ ABC , ∴CPCA＝CQCB＝PQAB,即CP4＝CQ3,∴ CQ ＝34CP . 同理： PQ ＝54CP , ∴ C △PQ C＝ CP ＋ PQ ＋ CQ ＝ CP ＋54CP ＋34CP ＝ 3 CP , C 四邊形P A B Q＝ PA ＋ AB ＋ BQ ＋ PQ ＝ 4 － CP ＋ AB ＋ 3 － CQ ＋ PQ ＝ 4 － CP ＋ 5 ＋ 3－34CP ＋54CP ＝ 12 －12CP . 由 C △P Q C＝ C 四邊形P A B Q,得 3 CP ＝ 12 －12CP ,∴72CP ＝ 12 ,∴ CP ＝247. 第 2課時 相似三角形周長和面積的性質(zhì) ( 3 ) 存 在 . ∵ CA ＝ 4 , AB ＝ 5 , BC ＝ 3 ,∴△ ABC 中 AB 邊上的高為125. ① 如圖 ( a ) 所示 ,當(dāng) ∠ M P Q ＝ 90 176。 且 PM ＝ PQ 時 ,∵△ C P Q ∽△ CAB , ∴PQAB＝△ C P Q 中 PQ 上的高△ CAB 中 AB 上的高,∴PQ5＝125－ PQ125,∴ PQ ＝6037； ② 當(dāng) ∠ P Q M ＝ 90 176。 時與 ① 相同； ③ 如圖 ( b ) 所示 ,當(dāng) ∠ P M Q ＝ 90 176。 且 PM ＝ MQ 時 ,過點 M 作 ME ⊥ PQ ,則 ME ＝12PQ , ∴△ C P Q 中 PQ 上的高為125－ ME ＝125－12PQ . ∵PQAB＝△ C P Q 中 PQ 上的高△ CAB 中 AB 上的高,∴PQ5＝125－12PQ125,∴ PQ ＝1 2 049. 綜上可知 ,存在點 M ,使得 △ P Q M 為等腰直角三角形 ,此時 PQ 的 長為6037或1 2 049.
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