【正文】 。很多人認(rèn)為采用“假設(shè)法”解答雞兔同籠問題能在最短的時(shí)間里解出，但是存在需要記憶公式并解答的問題。所以希望考生們多做此類問題，找到適合自己的并能很快得出答案的方法。 十字交叉法同余、剩余法在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時(shí)，就產(chǎn)生余數(shù)。被除數(shù)(a)247。除數(shù)(b)=商(c)……余數(shù)(d)，其中a、b、c均為整數(shù)，d為自然數(shù)。其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即0≤d　　一、同余　　兩個(gè)整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a、b對于m同余?！　±?，3除以5的余數(shù)是3，18除以5的余數(shù)也是3，則稱23與18對于5同余。　　對于同一個(gè)除數(shù)m，兩個(gè)數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余，兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余?！　±?，15除以7的余數(shù)是1，18除以7的余數(shù)是4　　15+18=33，1+4=5，則33除以7的余數(shù)與5同余　　1815=3，41=3，則3除以7的余數(shù)與3同余　　1518=270，14=4，則270除以7的余數(shù)與4同余　　【例題】　　a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3ab除以5余幾?　　 　　【思路點(diǎn)撥】此題為很明顯的余數(shù)問題，因此可以直接利用同余的性質(zhì)解出問題?！　　窘馕觥縜除以5余1，則3a除以5余3 (兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余)　　b除以5余4，則3ab除以5余1 (兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余)　　因?yàn)橛鄶?shù)大于0而小于除數(shù)，1+5=4，故所求余數(shù)為4?！　∷哉_答案為D?！　《?、剩余　　在我國古代算書《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是，一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問這個(gè)數(shù)最小是多少?這類問題在我國稱為“孫子問題”，也稱為剩余問題。關(guān)于這一問題的解法，國際上稱為“中國剩余定理”?！　∫源祟}為例，下面中公教育專家為大家介紹一種常規(guī)的解題方法?！　∥覀兪紫刃枰惹蟪鋈齻€(gè)數(shù)：　　第一個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和5整除，但除以7余1，即15?！　〉诙€(gè)數(shù)能同時(shí)被3和7整除，但除以5余1，即21?！　〉谌齻€(gè)數(shù)能同時(shí)被5和7整除，但除以3余1，即70?！　∪缓髮⑦@三個(gè)數(shù)分別乘以被3除的余數(shù)再相加，即：152+213+702=233。　　最后，再減去7最小公倍數(shù)的若干倍，即：2331052=23?！　　纠}】　　一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有：　　 　　【思路點(diǎn)撥】此題為剩余問題。此題要求的是滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，我們應(yīng)該首先求出滿足條件的最小自然數(shù)，然后加上9的最小公倍數(shù)的若干倍，使之成為三位數(shù)即可?！窘馕觥渴紫瓤春髢蓚€(gè)條件，很容易看出7是滿足條件的最小的自然數(shù)，而7正好也滿足第一個(gè)條件。9的最小公倍數(shù)為180，因此滿足條件的三位數(shù)形式為7+180n，n為自然數(shù)，要使7+180n為三位數(shù)，則n=5，滿足條件的三位數(shù)有5個(gè)。所以正確答案為A。(二)棄九法“棄九法”也叫做棄九驗(yàn)算法，利用這種方法可以驗(yàn)算加、減計(jì)算的結(jié)果是否錯(cuò)誤。 把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)（和是9，要減去9得0），這個(gè)數(shù)就叫做原來數(shù)的棄九數(shù)． 　　例如，3217：3+2+1+7=13（去掉1個(gè)9）1+3=4 （我們就稱最后的4之為棄九數(shù)）． 與尾數(shù)法類似的方法還有“棄九法”。把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)(和是9，要減去9得0)，這個(gè)數(shù)就叫做原數(shù)的棄九數(shù)，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，則146357的棄九數(shù)是8。當(dāng)尾數(shù)法不能使用的時(shí)候，可以考慮采用“棄九法”來得到答案。與尾數(shù)法類似，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之和等于和的棄九數(shù)，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之差等于差的棄九數(shù)，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之積等于積的棄九數(shù)。 棄九數(shù)本質(zhì)上是原數(shù)除以9的余數(shù)，棄九法本質(zhì)上也是同余的性質(zhì)。 科信教育特別提示：棄九法同樣不適用于除法。 【例題】 1133825593的值為： 【科信教育思路點(diǎn)撥】此題數(shù)據(jù)很大，直接計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)。各項(xiàng)答案尾數(shù)相同，無法使用尾數(shù)法。此時(shí)可以考慮棄九法。 【解析】1+1+3+3+8=16，1+6=7，11338的棄九數(shù)為7 2+5+5+9+3=24，2+4=6，25593的棄九數(shù)為6 76=42，4+2=6，則答案的棄九數(shù)為6。經(jīng)計(jì)算，只有選項(xiàng)B的棄九數(shù)是6。一、定義把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)（和是9，要減去9得0），這個(gè)數(shù)就叫做原來數(shù)的棄九數(shù)。且一個(gè)數(shù)的棄九數(shù)與該數(shù)除以9的余數(shù)相同?！纠纭?217：3＋2＋1＋7＝13（去掉1個(gè)9）1＋3＝4 （我們就稱最后的4為棄九數(shù)）。二、求解步驟，將算式中的各個(gè)數(shù)字除以9，留其余數(shù)進(jìn)行相同的計(jì)算（或算出各數(shù)的棄九數(shù)進(jìn)行計(jì)算）；，如有數(shù)字不在08之間，通過加上或減去9或9的倍數(shù)到達(dá)08之間；3．將選項(xiàng)除以9留其余數(shù)，與上面計(jì)算結(jié)果對照，得到答案。特別說明：本方法只建議考生在+、運(yùn)算中使用。三、演算步驟1．驗(yàn)算加法851＋346＝1198是否成立？【解析】因?yàn)?+5+1=14，1+4=5，所以851的棄九數(shù)是5；3+4+6=13，1+3=4，則346的棄九數(shù)是4。而1+1+9+8=19,1+9=10,1+0=1，說明1198的棄九數(shù)是1，且5＋4 ≠ 1，則等號不成立。2．驗(yàn)算減法1345－732＝613是否成立？【解析】因?yàn)?+3+5+4=12,1+2=3，所以1345的棄九數(shù)是3；7+3+2=12,1+2=3，所以732的棄九數(shù)是3，則6+1+3=10,1+0=1，所以613的棄九數(shù)是1，33=0≠1，所以等式不成立。3．驗(yàn)算乘法468769537＝447156412是否成立？【解析】因?yàn)?+6+8+7+6=31,3+1=4，所以46876的棄九數(shù)是4；9+5+3+7,=24,2+4=6,9537的棄九數(shù)是6，4+4+7+1+5+6+4+1+2=35,3+5=8，則447156412的棄九數(shù)是8，46=24,2+4=6≠8，則等式不成立?！韭?lián)創(chuàng)世華孫老師提示】因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。例如，檢驗(yàn)383801247。253=1517的正確性，只需檢驗(yàn)1517253=383801的正確性。 四、例題講解例1 173173173－162162162＝（ ）（2005年中央真題） 【解析】173的棄九數(shù)是2，則222=8,162的棄九數(shù)是0，則80=8，故除以9余數(shù)是8的是D項(xiàng)。故選D項(xiàng)?！韭?lián)創(chuàng)世華孫老師提示】此題也可直接應(yīng)用尾數(shù)法進(jìn)行求解。例2 200220032003－200320022002的值是（ ）（2004年中央真題）A.－60 【解析】2002的棄九數(shù)是4,20032003的棄九數(shù)是1,41=4，2003的棄九數(shù)是5,20022002的棄九數(shù)是8，58=40,40的棄九數(shù)是4，則原式最后的余數(shù)為44=0，余數(shù)為0，選項(xiàng)中除以9的余數(shù)是0的數(shù)只有B。故選B。【聯(lián)創(chuàng)世華孫老師提示】棄九法的適用范圍為，選項(xiàng)中所有的數(shù)除以9的余數(shù)不同（或者說所有數(shù)的棄九數(shù)不同）五、棄九法的拓展在某些特殊的題目里面可以選擇跟棄九法類似的方法進(jìn)行求解，例如下例。例1 19942002－19932003的值是（ ）（2004年中央真題） 【解法一】1994的棄九數(shù)是5,2002的棄九數(shù)是4,1993的棄九數(shù)是4,2003的棄九數(shù)是5，則5445=0，所以選項(xiàng)能夠整除9，則選A?！窘夥ǘ?994的棄1993數(shù)是1,2002的棄1993數(shù)是9,1993的棄1993數(shù)是0,2003的棄1993數(shù)是10，則19010=9，選項(xiàng)中除以1993余9的數(shù)只有A項(xiàng)，故選A?！韭?lián)創(chuàng)世華孫老師提示】此例解法二把原始的求解棄九數(shù)變?yōu)榍蠼鈼?993數(shù)，棄1993數(shù)是指一個(gè)數(shù)除以1993的余數(shù)。例2 請計(jì)算9999922222＋3333333334的值（ ）（2009年湖南省真題） 【解析】99999的棄三數(shù)是0，33333的棄三數(shù)是0，則原式的棄三數(shù)為0+0=0，即為能夠整除3的數(shù)，滿足條件的數(shù)只有B。故選B。六、綜合應(yīng)用例 68021621224642=（）（2009年內(nèi)蒙古真題） 【解析】680的棄九數(shù)是5,16的棄九數(shù)是7,12的棄九數(shù)是3,464的棄九數(shù)是5，則原式的棄九數(shù)是52723252為0，選項(xiàng)中棄九數(shù)為0的數(shù)只有C和D，原式的棄64數(shù)是000=0，故原式可以整除64，C、D項(xiàng)中能夠整除64的數(shù)為C項(xiàng)，故選C?！韭?lián)創(chuàng)世華孫老師提示】計(jì)算6802的棄64數(shù)，可以通過計(jì)算680的棄8數(shù)得到?！　?一)尾數(shù)法尾數(shù)判定法是一種利用目標(biāo)答案的尾數(shù)計(jì)算的方法，包括傳統(tǒng)意義上的尾數(shù)法、多位尾數(shù)法、除法尾數(shù)法等。其基本依據(jù)是：和、差、積的尾數(shù)就是尾數(shù)的和、差、積的尾數(shù)。下面我們來看四個(gè)簡單的例子：例題：［例1］173173173162162162＝（）。［答案］D［解析］尾數(shù)法：333222232。9，選擇D。以上的例題給大家介紹的是傳統(tǒng)意義上的尾數(shù)判定法，但是在實(shí)際的解題過程中，會出現(xiàn)利用后幾位尾數(shù)才可以確定最終答案的情況，因此就要使用多位尾數(shù)法，如例題2。［例2］200220032003200320022002的值是（）。A.－［答案］B［解析］兩位尾數(shù)法：原式的末兩位數(shù)字=02030302=00，選擇B。下面我們看一個(gè)乘方尾數(shù)問題，在遇到乘方尾數(shù)問題時(shí)，要牢記口訣，即：底數(shù)留個(gè)位，指數(shù)除以4留余數(shù)(余數(shù)為0，則看作4)：［例3］的末位數(shù)字是（） ［答案］A［解析］9的乘方尾數(shù)呈1的規(guī)律變化，1998是偶數(shù)，選擇A在尾數(shù)判定法中，若算式中含有除法，則需要應(yīng)用除法尾數(shù)法，如例題4：［例4］(873477198)247。（476874＋199)的值是（）［答案］A［解析］根據(jù)除法尾數(shù)法，原式可化為，代入選項(xiàng)，B、C、D可被排除，選擇A。需要特別說明的是，除法尾數(shù)法是利用除式當(dāng)中分子與分母的尾數(shù)判斷商的尾數(shù)的方法。除法尾數(shù)法與一般的尾數(shù)法不一樣，必須通過逆向考察才能獲得，下面運(yùn)用一個(gè)簡單例子來作闡釋。一個(gè)分式通過計(jì)算尾數(shù)如果可以得到如下形式：，那么其商的尾數(shù)我們無法迅速完全確定；但根據(jù)乘法逆向考察知：，因此我們將選項(xiàng)的尾數(shù)代入即可判斷，它的尾數(shù)只可能是3或8。　　(二)代入排除法　　代入排除法是應(yīng)對客觀題的常見且有效的一種方法，在公務(wù)員考試的數(shù)學(xué)運(yùn)算中，靈活應(yīng)用會起到事半功倍的效果，其有效避開解題的常規(guī)思路，直接從選項(xiàng)出發(fā)，通過直接或選擇性代入，迅速找到符合條件的選項(xiàng)。　　例2：某四位數(shù)各個(gè)位數(shù)之和是22，其中千位與個(gè)位數(shù)字之和比百位數(shù)字與十位數(shù)字之和小2，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和比千位數(shù)字與百位數(shù)字之和大6，千位數(shù)字與十位數(shù)字之和比百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和小10，則這個(gè)四位數(shù)是( )　　 　　 　　解題分析：題目中要求是一個(gè)四位數(shù)，且給出四個(gè)條件，顯然可以通過設(shè)未知數(shù)列方程求此四位數(shù)各個(gè)位數(shù)的數(shù)字。但此題若用代入排除法，即驗(yàn)證此數(shù)是否符合題中條件，可輕易得出符合題意的僅C項(xiàng)。故此題答案為C?！　?三)特值法　　特值法是通過對某一個(gè)未知量取一個(gè)特殊值，將未知值變成已知量來簡化問題的方法。這種方法是猜證結(jié)合思想的具體應(yīng)用，也是公務(wù)員考試中非常常見的一種方法?！　〕Ｓ玫奶厥夥椒ㄓ刑厥鈹?shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊方程、特殊點(diǎn)等。一般，首先假設(shè)出一個(gè)特殊值，然后將特殊值代入題干，通過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)出結(jié)論。有時(shí)候也會通過檢驗(yàn)特例、舉反例等方法來排除選項(xiàng)，這一點(diǎn)和代入排除法有些類似?！　±?：有4個(gè)數(shù)，它們的和是180，且第一個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的2倍，第二個(gè)數(shù)是第三個(gè)數(shù)的2倍，第三個(gè)數(shù)又是第四個(gè)數(shù)的2倍，問第三個(gè)數(shù)應(yīng)是：　　 　　解題分析：設(shè)第四個(gè)數(shù)為1，則前三個(gè)數(shù)分別為8，和為15。故可得第四個(gè)數(shù)=180/15=12。所以第三個(gè)數(shù)為24。故此題答案為B。(四)列方程求解法　　在公務(wù)員考試中，最常出現(xiàn)的是二元一次方程的，其通用形式是ax+by=c，其中a、b、c為已知整數(shù)，x，y為所求自然數(shù)，在解不定方程時(shí)，我們需要利用整數(shù)的整除性、奇偶性、自然數(shù)的質(zhì)合性、尾數(shù)特性等多種數(shù)學(xué)知識來得到答案?！　±?：有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個(gè)座位，小客車有20個(gè)座位。為保證每位乘客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是()。　　 　　解題分析：設(shè)大客車需要x輛，小客車需要y輛，則37x+20y=271。針對此不定式方程，就要應(yīng)用整數(shù)的特性，20y的尾數(shù)必然是0，則37x的尾數(shù)只能是1，結(jié)合選項(xiàng)，只有x=3時(shí)才能滿足條件。故答案為B。　　(五)十字交叉法　　對于兩種溶液，混合的結(jié)果:某一溶液相對于混合后溶液，溶質(zhì)增加。另一種溶液相對于混合后溶液，溶質(zhì)減少。由于總?cè)苜|(zhì)不變，因此增加的溶質(zhì)等于減少的溶質(zhì)，這就是十字交叉法的原理?！　±?：甲杯中有濃