【正文】 () 記,然后定義, () 三、討論的最大值及最優(yōu)投資策略,置, () 由此得到:, () 故的最大值在下述的達(dá)到(注意和):, () 下面,我們分兩種情況討論:(1) 如果我們能夠找到投資策略,使得 () 則由()、 ()和()中第二式知，則,約束條件(),我們可以取 () (2) 若對(duì)任何投資策略不滿足(), () ① 顯然,和滿足()前兩行約束,但 (), ()② 對(duì)任何滿足()中第一和第三行約束的有, , () (上面的推導(dǎo)中,我們用到和.)③ 由()知,對(duì)滿足()中第一和第三行約束的而言,故函數(shù)在的左面是嚴(yán)格單調(diào)上升的,所以,此時(shí)要極大化,我們應(yīng)該在()中第一和第三行約束條件下,極大化(), () 由此解出, () 由于我們要求,因此我們需要關(guān)于極大化下述表達(dá)式:, () 由(),上式中的系數(shù)是非負(fù)的,因此,要極大化上式,我們應(yīng)取, ()從而,:, () 不難看出,當(dāng)()被換成:, ()時(shí),:,▲ () 167。 在險(xiǎn)價(jià)值以及相關(guān)的最優(yōu)投資問(wèn)題一、引例,其財(cái)富投資于股票和債券(或銀行存款),我們可以用來(lái)表示(當(dāng)前)時(shí)刻該公司的投資策略,。在時(shí)刻,若市場(chǎng)無(wú)套利,則當(dāng)時(shí),要以概率l 保證公司財(cái)富達(dá)到(或以上):在當(dāng)前時(shí)刻,以99 ％以上的把握能保證公司總財(cái)富在時(shí)刻至多低于既定目標(biāo)多少?也就是說(shuō),要尋找最小的,使得, () 或者等價(jià)地表示為:, () 二、在險(xiǎn)價(jià)值一般地,我們引人下述定義. 對(duì)于給定的,以及,令, () 我們稱是在置信度為下以為目標(biāo)的在險(xiǎn)價(jià)值(value at risk).特別,當(dāng)時(shí),我們稱為投資策略(或證券組合)在置信度為下以為目標(biāo)的VaR,并簡(jiǎn)記它為.本節(jié)開(kāi)頭的例子恰好是,:(1) ,: 此時(shí),表示在置信度為下,時(shí)刻至多的財(cái)富虧損量.(2) ,: 此時(shí), 表示在置信度為下,時(shí)刻的財(cái)富至多低于期望財(cái)富的量.下面,我們給出VaR 的一些基本性質(zhì).：, () . ()證明: , . () .▲ ()三、VaR 的計(jì)算現(xiàn)在,任取一個(gè)投資策略,對(duì)給定的和,我們知道, () 其中 ()于是，. ()從而,對(duì)任何的,我們有 () 現(xiàn)在假定, ()則存在惟一,使得. () 利用(),我們知道, () 所以()成立當(dāng)且僅當(dāng). () 而對(duì)任何的,存在惟一的,使得. () (此處,我們約定)故, ①當(dāng)時(shí),有,由()和()得到所以， ②當(dāng)時(shí),有,則存在惟一(),使得,由()和()得到,所以所以，. () 上面的分析給出了VaR ,我們將其總結(jié)如下:(1) 對(duì)給定的投資策略,將寫成()的形式。(2) 對(duì)給定的,找出惟一的,使得()成立。(3) 對(duì)給定的,按()可以立即算出相應(yīng)的VaR.四、與VaR相關(guān)的一些問(wèn)題現(xiàn)在,我們來(lái)考慮與VaR 相關(guān)的一些問(wèn)題.,此時(shí),我們考慮一個(gè)未定權(quán)益X 0,它當(dāng)然是可復(fù)制的,且它在時(shí)刻0 ,則有:, ()因此,假如投資者有初始財(cái)富,那么,假如在時(shí)刻0,投資者的初始財(cái)富滿足:, () 他希望以最大的概率去復(fù)制未定權(quán)益X .用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述,我們可以敘述成下述問(wèn)題. 尋找一個(gè)投資策略,使得 () 上述問(wèn)題稱為分位數(shù)套期保值(quantile hedging)問(wèn)題.如果取,則上述問(wèn)題也可以表述為。尋找一個(gè)投資策略,使得 () 這個(gè)問(wèn)題的意思是: 在初始財(cái)富不超過(guò)的情況下,尋找一個(gè)投資策略使得在時(shí)刻1 財(cái)富低于以初始財(cái)富為存入銀行所獲財(cái)富的概率達(dá)到最小,粗略地講,這是要尋找投資策略,使得以相當(dāng)?shù)摹鞍盐铡?()我們看到該問(wèn)題與VaR 的密切關(guān)系,它相當(dāng)于在給定VaR 的情況下,選取,(),我們有下述結(jié)果. 假定給定的單時(shí)段市場(chǎng)存在惟一的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q,設(shè)X為一個(gè)未定權(quán)益,滿足(),設(shè)是下述問(wèn)題的一個(gè)解: () ,則為問(wèn)題.證明: 由條件,市場(chǎng)是完備的,個(gè)復(fù)制策略,則有: () 另一方面,對(duì)任何的,假定它滿足(注意Q具有的性質(zhì)) , () 然后定義, () 則(注意) , () 因此, () 從而,由的定義并綜合(),我們得到.▲ () 現(xiàn)在,我們來(lái)看一下問(wèn)題(): ()該問(wèn)題有解的必要條件是:, () 當(dāng)條件()成立時(shí),利用枚舉法,我們?nèi)菀字?),此時(shí), 有解.如果假定,我們記 () 則還可以將問(wèn)題()寫成 () 值得注意,:在集合上, 有可能很大,即在此集合上,離要復(fù)制的未定權(quán)益X ,我們換個(gè)角度來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題,為此,先引入一個(gè)概念. 設(shè)為一個(gè)未定權(quán)益,稱為在投資策略下關(guān)于目標(biāo)的虧空.易知,當(dāng)初始財(cái)富足夠大時(shí),存在投資策略,使得相應(yīng)的虧空=,希望能夠通過(guò)的選取,使得相應(yīng)的虧空盡量地小,于是,我們可以引入下述問(wèn)題(回憶()中定義的). 對(duì)給定的未定權(quán)益X和常數(shù),尋找投資策略,使得. () , ()，所不同的地方是效用函數(shù)()關(guān)于V , 節(jié)中的結(jié)果如何表述、如何證明是一個(gè)有趣的問(wèn)題,我們不打算在這里詳述它們,建議有興趣的讀者嘗試建立這些結(jié)果.讀者不難發(fā)現(xiàn), ,引人一下述問(wèn)題: 對(duì)給定的和,以及給定的未定權(quán)益X ,定義 ()尋找一個(gè)投資策略,使得. ()我們注意到,有興趣的讀者可以嘗試著自行建立相應(yīng)的理論,這對(duì)讀者開(kāi)始進(jìn)行研究工作是一個(gè)很好的鍛練機(jī)會(huì).第 34 頁(yè) 共 34 頁(yè)