【正文】 計相連．若開始時，線圈的平面與均勻磁場的磁感強度B相垂直，然后線圈的平面很快地轉到與B的方向平行．此時從沖擊電流計中測得電荷值．問此均勻磁場的磁感強度B 的值為多少？分析　在電磁感應現(xiàn)象中，閉合回路中的感應電動勢和感應電流與磁通量變化的快慢有關，而在一段時間內(nèi)，通過導體截面的感應電量只與磁通量變化的大小有關，與磁通量變化的快慢無關．工程中常通過感應電量的測定來確定磁場的強弱．解　在線圈轉過90176。角時，通過線圈平面磁通量的變化量為因此，流過導體截面的電量為則 12－9　如圖所示，一長直導線中通有I＝ A 的電流， cm處， cm2 ，10匝的小圓線圈，線圈中的磁場可看作是均勻的． 10－2 s cm 處．求：（1） 線圈中平均感應電動勢；（2） 10－2Ω，求通過線圈橫截面的感應電荷．題 129 圖分析　雖然線圈處于非均勻磁場中，但由于線圈的面積很小，可近似認為穿過線圈平面的磁場是均勻的，因而可近似用來計算線圈在始、末兩個位置的磁鏈．解 （1） 在始、末狀態(tài)，通過線圈的磁鏈分別為,則線圈中的平均感應電動勢為電動勢的指向為順時針方向．（2） 通過線圈導線橫截面的感應電荷為12－10　如圖（ａ）所示，把一半徑為R 的半圓形導線OP 置于磁感強度為B的均勻磁場中，當導線以速率v 水平向右平動時，求導線中感應電動勢E 的大小，哪一端電勢較高？題 1210 圖分析　本題及后面幾題中的電動勢均為動生電動勢，除仍可由求解外（必須設法構造一個閉合回路），還可直接用公式求解．在用后一種方法求解時，應注意導體上任一導線元ｄl ，上述各量可能是ｄl 所在位置的函數(shù)．矢量（v B）的方向就是導線中電勢升高的方向．解1　如圖（ｂ）所示，假想半圓形導線OP 在寬為2R 的靜止形導軌上滑動，兩者之間形成一個閉合回路．設順時針方向為回路正向，任一時刻端點O 或端點P 距 形導軌左側距離為x，則即由于靜止的 形導軌上的電動勢為零，則E ＝－2RvB．式中負號表示電動勢的方向為逆時針，對OP 段來說端點P 的電勢較高．解2　建立如圖（c）所示的坐標系，在導體上任意處取導體元ｄl，則由矢量（v B）的指向可知，端點P 的電勢較高． 解3　連接OP 使導線構成一個閉合回路．由于磁場是均勻的，在任意時刻，E ＝0又因 E ＝EOP ＋EPO即 EOP ＝－EPO ＝2RvB由上述結果可知，在均勻磁場中，任意閉合導體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；而任意曲線形導體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導體上的動生電動勢．上述求解方法是疊加思想的逆運用，即補償?shù)姆椒ǎ?2－11　長為L的銅棒，以距端點r 處為支點，求棒兩端的電勢差．題 1211 圖分析　應該注意棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢是兩個不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動勢的不同．在開路時，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）．本題可直接用積分法求解棒上的電動勢，亦可以將整個棒的電動勢看作是OA 棒與OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．而EOA 和EOB 則可以直接利用第12－2 節(jié)例1 給出的結果．解1　如圖（ａ）所示，在棒上距點O 為l 處取導體元ｄl，則因此棒兩端的電勢差為當L ＞2r 時，端點A 處的電勢較高解2　將AB 棒上的電動勢看作是OA 棒和OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．其中,則12－12　如圖所示，長為L 的導體棒OP，處于均勻磁場中，并繞OO′軸以角速度ω旋轉，棒與轉軸間夾角恒為θ，磁感強度B 與轉軸平行．求OP 棒在圖示位置處的電動勢．題 1212 圖分析　如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應定律 計算（此時必須構造一個包含OP導體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導體回路OPQO），也可用來計算．由于對稱性，導體OP 旋轉至任何位置時產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的．解1　由上分析，得 由矢量的方向可知端點P 的電勢較高．解2　設想導體OP 為直角三角形導體回路OPQO 中的一部分，任一時刻穿過回路的磁通量Φ為零，則回路的總電動勢顯然，EQO ＝0，所以由上可知，導體棒OP 旋轉時，在單位時間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導體棒QP 等效．12－13　如圖（ａ）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長直導線移動，此導線通有電流I ＝40 A．求桿中的感應電動勢，桿的哪一端電勢較高？題 1213 圖分析　本題可用兩種方法求解．方法1：用公式求解，建立圖（a）所示的坐標系，所取導體元，該處的磁感強度．方法2：用法拉第電磁感應定律求解，需構造一個包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路．為此可設想桿AB在一個靜止的導軌上滑動，如圖（ｂ）所示．設時刻t，桿AB 距導軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動勢，亦即本題桿中的電動勢．解1　根據(jù)分析，桿中的感應電動勢為式中負號表示電動勢方向由B 指向A，故點A 電勢較高．解2　設順時針方向為回路ABCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導線x 處，取寬為ｄx、長為y 的面元ｄS，則穿過面元的磁通量為穿過回路的磁通量為回路的電動勢為由于靜止的導軌上電動勢為零，所以式中負號說明回路電動勢方向為逆時針，對AB導體來說，電動勢方向應由B 指向A，故點A電勢較高．12－14　如圖（ａ）所示，在“無限長”直載流導線的近旁，放置一個矩形導體線框，該線框在垂直于導線方向上以勻速率v 向右移動，求在圖示位置處，線框中感應電動勢的大小和方向．題 12 14 圖分析　本題亦可用兩種方法求解．其中應注意下列兩點：（1）當閉合導體線框在磁場中運動時，線框中的總電動勢就等于框上各段導體中的動生電動勢的代數(shù)和．如圖（ａ）所示，導體eh 段和fg 段上的電動勢為零［此兩段導體上處處滿足］，因而線框中的總電動勢為其等效電路如圖（ｂ）所示．（2）用公式求解，式中Φ是線框運動至任意位置處時，穿過線框的磁通量．為此設時刻t 時，線框左邊距導線的距離為ξ，如圖（c）所示，顯然ξ是時間t 的函數(shù)，且有．在求得線框在任意位置處的電動勢E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得線框在題目所給位置處的電動勢．解1　根據(jù)分析，線框中的電動勢為由Eef ＞Ehg 可知，線框中的電動勢方向為efgh．解2　設順時針方向為線框回路的正向．根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為相應電動勢為令ξ＝d，得線框在圖示位置處的電動勢為由E ＞0 可知，線框中電動勢方向為順時針方向．12－15　在半徑為R 的圓柱形空間中存在著均勻磁場，B 的方向與柱的軸線平行．如圖（ａ）所示，有一長為l 的金屬棒放在磁場中，設B 隨時間的變化率為常量．試證：棒上感應電動勢的大小為題 1215 圖分析　變化磁場在其周圍激發(fā)感生電場，把導體置于感生電場中，導體中的自由電子就會在電場力的作用下移動，在棒內(nèi)兩端形成正負電荷的積累，從而產(chǎn)生感生電動勢．由于本題的感生電場分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結果，由計算棒上感生電動勢．此外，還可連接OP、OQ，設想PQOP 構成一個閉合導體回路，用法拉第電磁感應定律求解，由于OP、OQ 沿半徑方向，與通過該處的感生電場強度Ek 處處垂直，故，OP、OQ 兩段均無電動勢，這樣，由法拉第電磁感應定律求出的閉合回路的總電動勢，就是導體棒PQ 上的電動勢．證1　由電磁感應定律，在r ＜R 區(qū)域，解得該區(qū)域內(nèi)感生電場強度的大小設PQ 上線元ｄx 處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ 上的電動勢為證2　由法拉第電磁感應定律，有討論　假如金屬棒PQ 有一段在圓外，則圓外一段導體上有無電動勢？ 該如何求解？12－16　截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（ａ）所示，共有N 匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L．題 1216 圖分析　如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關的量．求自感L 的方法有兩種：1．設有電流I 通過線圈，計算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式計算L．2．讓回路中通以變化率已知的電流，測出回路中的感應電動勢EL ，由公式計算L．式中EL 和都較容易通過實驗測定，所以此方法一般適合于工程中．此外，還可通過計算能量的方法求解．解　用方法1 求解，設有電流I 通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖（ｂ）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范圍內(nèi)的磁場分布為由于線圈由N 匝相同的回路構成，所以穿過自身回路的磁鏈為則若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對磁導率為μr ，則自感將增大μr倍．12－17　如圖所示，螺線管的管心是兩個套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1 和S2 ，磁導率分別為μ1 和μ2 ，管長為，匝數(shù)為N，求螺線管的自感．（設管的截面很?。╊} 1217 圖分析　本題求解時應注意磁介質(zhì)的存在對磁場的影響．在無介質(zhì)時，通電螺線管內(nèi)的磁場是均勻的，磁感強度為B0 ，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強度分別為μ1 B0 和μ2 B0 ．通過線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1 和S2 的兩部分磁通量之和．由自感的定義可解得結果．解　設有電流I 通過螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強度分別為,通過N匝回路的磁鏈為則自感12－18　有兩根半徑均為a 的平行長直導線，它們中心距離為d．試求長為l的一對導線的自感（導線內(nèi)部的磁通量可略去不計）．題 1218 圖分析　兩平行長直導線可以看成無限長但寬為d 的矩形回路的一部分．設在矩形回路中通有逆時針方向電流I，然后計算圖中陰影部分（寬為d、長為l）的磁通量．該區(qū)域內(nèi)磁場可以看成兩無限長直載流導線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加．解　在如圖所示的坐標中，當兩導線中通有圖示的電流I 時，兩平行導線間的磁感強度為穿過圖中陰影部分的磁通量為則長為l 的一對導線的自感為如導線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對導線的自感為．L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導線的內(nèi)自感．長為l的導線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解．12－19　如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈AB 和A′B′，每個線圈的自感均為L，求：（1） A 和A′相接時，B 和B′間的自感L1 ；（2） A′和B 相接時，A 和B′間的自感L2 ．題 1219 圖分析　無論線圈AB 和A′B′作哪種方式連接，均可看成一個大線圈回路的兩個部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解．求解過程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨存在時穿過自身回路的磁通量為Φ，則穿過兩線圈回路的磁通量為2Φ；而當兩組線圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過大線圈回路的總磁通量為2Φ177。2Φ，“ 177?！比Q于電流在兩組線圈中的流向是相同或是相反．解　（1） 當A 和A′連接時，AB 和A′B′線圈中電流流向相反，通過回路的磁通量亦相反，故總通量為，故L1 ＝0．（2） 當A′和B 連接時，AB 和A′B′線圈中電流流向相同，通過回路的磁通量亦相同，故總通量為，故．本題結果在工程實際中有實用意義，如按題（1）方式連接，則可構造出一個無自感的線圈．12－20　如圖所示， cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面．設線圈A 內(nèi)各點的磁感強度可看作是相同的．求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當線圈B 中電流的變化率為－50 Aｓ－1 時，線圈A 中感應電動勢的大小和方向．題 1220 圖 分析　設回路Ⅰ中通有電流I1 ，穿過回路Ⅱ的磁通量為Φ21 ，則互感M ＝M21 ＝Φ21/I1 ；也可設回路Ⅱ通有電流I2 ，穿過回路Ⅰ的磁通量為Φ12 ，則 ．雖然兩種途徑所得結果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計算難易程度會有很大的不同．以本題為例，如設線圈B 中有電流I 通過，則在線圈A 中心處的磁感強度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如設線圈A 通有電流I，其周圍的磁場分布是變化的，且難以計算，因而穿過線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見，計算互感一定要善于選擇方便的途徑．解?。?） 設線圈B 有電流I 通過，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強度,穿過小線圈A 的磁鏈近似為則兩線圈的互感為（2）線圈A中感應電動勢的大小為互感電動勢的方向和線圈B 中的電流方向相同．12－21　如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C 的半徑分別為R 和r，兩線圈相距為d．若r很小，可認為線圈A 在線圈C 處所產(chǎn)生的磁場是均勻的．求兩線圈的互感．若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感又為多少？題 1221 圖解　設線圈A 中有電流I 通過，它在線圈C 所包圍的平面內(nèi)各點產(chǎn)生的磁感強度近似為穿過線圈C 的磁通為則兩線圈的互感為若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感為上述值的N 倍．12－22　如圖所示，螺繞環(huán)A 中充滿了鐵磁質(zhì)，管的截面積S cm2 ，沿環(huán)每厘米繞有100 匝線圈，通有電流I1 ＝ 10 －2 A，在環(huán)上再繞一線圈C，共10 匝， Ω，今將開關Ｓ 突然開啟，測得線圈C 10 －3 C．求：當螺繞環(huán)中通有電流I1 時，鐵磁質(zhì)中的B 和鐵磁質(zhì)的相對磁導率μr．題 1222 圖分析　本題與題128 相似，均是利用沖擊電流計測量電磁感應現(xiàn)象中通過回路的電荷的方法來計算磁場的磁感強度．線圈C 的磁通變化是與環(huán)形螺線管中的電流變化相