【正文】 計(jì)相連．若開(kāi)始時(shí)，線圈的平面與均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B的方向平行．此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值．問(wèn)此均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B 的值為多少？分析　在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流與磁通量變化的快慢有關(guān)，而在一段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)導(dǎo)體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化的大小有關(guān)，與磁通量變化的快慢無(wú)關(guān)．工程中常通過(guò)感應(yīng)電量的測(cè)定來(lái)確定磁場(chǎng)的強(qiáng)弱．解　在線圈轉(zhuǎn)過(guò)90176。角時(shí)，通過(guò)線圈平面磁通量的變化量為因此，流過(guò)導(dǎo)體截面的電量為則 12－9　如圖所示，一長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有I＝ A 的電流， cm處， cm2 ，10匝的小圓線圈，線圈中的磁場(chǎng)可看作是均勻的． 10－2 s cm 處．求：（1） 線圈中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；（2） 10－2Ω，求通過(guò)線圈橫截面的感應(yīng)電荷．題 129 圖分析　雖然線圈處于非均勻磁場(chǎng)中，但由于線圈的面積很小，可近似認(rèn)為穿過(guò)線圈平面的磁場(chǎng)是均勻的，因而可近似用來(lái)計(jì)算線圈在始、末兩個(gè)位置的磁鏈．解 （1） 在始、末狀態(tài)，通過(guò)線圈的磁鏈分別為,則線圈中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為電動(dòng)勢(shì)的指向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?） 通過(guò)線圈導(dǎo)線橫截面的感應(yīng)電荷為12－10　如圖（ａ）所示，把一半徑為R 的半圓形導(dǎo)線OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v 水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E 的大小，哪一端電勢(shì)較高？題 1210 圖分析　本題及后面幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式求解．在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元ｄl ，上述各量可能是ｄl 所在位置的函數(shù)．矢量（v B）的方向就是導(dǎo)線中電勢(shì)升高的方向．解1　如圖（ｂ）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP 在寬為2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路．設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O 或端點(diǎn)P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則即由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零，則E ＝－2RvB．式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP 段來(lái)說(shuō)端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高．解2　建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元ｄl，則由矢量（v B）的指向可知，端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高． 解3　連接OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路．由于磁場(chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，E ＝0又因 E ＝EOP ＋EPO即 EOP ＝－EPO ＝2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；而任意曲線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)．上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ?2－11　長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅棒，以距端點(diǎn)r 處為支點(diǎn)，求棒兩端的電勢(shì)差．題 1211 圖分析　應(yīng)該注意棒兩端的電勢(shì)差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是兩個(gè)不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動(dòng)勢(shì)的不同．在開(kāi)路時(shí)，兩者大小相等，方向相反（電動(dòng)勢(shì)的方向是電勢(shì)升高的方向，而電勢(shì)差的正方向是電勢(shì)降落的方向）．本題可直接用積分法求解棒上的電動(dòng)勢(shì)，亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢(shì)看作是OA 棒與OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．而EOA 和EOB 則可以直接利用第12－2 節(jié)例1 給出的結(jié)果．解1　如圖（ａ）所示，在棒上距點(diǎn)O 為l 處取導(dǎo)體元ｄl，則因此棒兩端的電勢(shì)差為當(dāng)L ＞2r 時(shí)，端點(diǎn)A 處的電勢(shì)較高解2　將AB 棒上的電動(dòng)勢(shì)看作是OA 棒和OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．其中,則12－12　如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場(chǎng)中，并繞OO′軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為θ，磁感強(qiáng)度B 與轉(zhuǎn)軸平行．求OP 棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)．題 1212 圖分析　如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 計(jì)算（此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），也可用來(lái)計(jì)算．由于對(duì)稱性，導(dǎo)體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與圖示位置是相同的．解1　由上分析，得 由矢量的方向可知端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高．解2　設(shè)想導(dǎo)體OP 為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO 中的一部分，任一時(shí)刻穿過(guò)回路的磁通量Φ為零，則回路的總電動(dòng)勢(shì)顯然，EQO ＝0，所以由上可知，導(dǎo)體棒OP 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP 等效．12－13　如圖（ａ）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流I ＝40 A．求桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，桿的哪一端電勢(shì)較高？題 1213 圖分析　本題可用兩種方法求解．方法1：用公式求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元，該處的磁感強(qiáng)度．方法2：用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個(gè)包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路．為此可設(shè)想桿AB在一個(gè)靜止的導(dǎo)軌上滑動(dòng)，如圖（ｂ）所示．設(shè)時(shí)刻t，桿AB 距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過(guò)該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動(dòng)勢(shì)，亦即本題桿中的電動(dòng)勢(shì)．解1　根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)方向由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢(shì)較高．解2　設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈稟BCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x 處，取寬為ｄx、長(zhǎng)為y 的面元ｄS，則穿過(guò)面元的磁通量為穿過(guò)回路的磁通量為回路的電動(dòng)勢(shì)為由于靜止的導(dǎo)軌上電動(dòng)勢(shì)為零，所以式中負(fù)號(hào)說(shuō)明回路電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)AB導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電動(dòng)勢(shì)方向應(yīng)由B 指向A，故點(diǎn)A電勢(shì)較高．12－14　如圖（ａ）所示，在“無(wú)限長(zhǎng)”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v 向右移動(dòng)，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向．題 12 14 圖分析　本題亦可用兩種方法求解．其中應(yīng)注意下列兩點(diǎn)：（1）當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框中的總電動(dòng)勢(shì)就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和．如圖（ａ）所示，導(dǎo)體eh 段和fg 段上的電動(dòng)勢(shì)為零［此兩段導(dǎo)體上處處滿足］，因而線框中的總電動(dòng)勢(shì)為其等效電路如圖（ｂ）所示．（2）用公式求解，式中Φ是線框運(yùn)動(dòng)至任意位置處時(shí)，穿過(guò)線框的磁通量．為此設(shè)時(shí)刻t 時(shí)，線框左邊距導(dǎo)線的距離為ξ，如圖（c）所示，顯然ξ是時(shí)間t 的函數(shù)，且有．在求得線框在任意位置處的電動(dòng)勢(shì)E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得線框在題目所給位置處的電動(dòng)勢(shì)．解1　根據(jù)分析，線框中的電動(dòng)勢(shì)為由Eef ＞Ehg 可知，線框中的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閑fgh．解2　設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫€框回路的正向．根據(jù)分析，在任意位置處，穿過(guò)線框的磁通量為相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為令ξ＝d，得線框在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)為由E ＞0 可知，線框中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?2－15　在半徑為R 的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng)，B 的方向與柱的軸線平行．如圖（ａ）所示，有一長(zhǎng)為l 的金屬棒放在磁場(chǎng)中，設(shè)B 隨時(shí)間的變化率為常量．試證：棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為題 1215 圖分析　變化磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)感生電場(chǎng)，把導(dǎo)體置于感生電場(chǎng)中，導(dǎo)體中的自由電子就會(huì)在電場(chǎng)力的作用下移動(dòng)，在棒內(nèi)兩端形成正負(fù)電荷的積累，從而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)．由于本題的感生電場(chǎng)分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結(jié)果，由計(jì)算棒上感生電動(dòng)勢(shì)．此外，還可連接OP、OQ，設(shè)想PQOP 構(gòu)成一個(gè)閉合導(dǎo)體回路，用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，由于OP、OQ 沿半徑方向，與通過(guò)該處的感生電場(chǎng)強(qiáng)度Ek 處處垂直，故，OP、OQ 兩段均無(wú)電動(dòng)勢(shì)，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出的閉合回路的總電動(dòng)勢(shì)，就是導(dǎo)體棒PQ 上的電動(dòng)勢(shì)．證1　由電磁感應(yīng)定律，在r ＜R 區(qū)域，解得該區(qū)域內(nèi)感生電場(chǎng)強(qiáng)度的大小設(shè)PQ 上線元ｄx 處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ 上的電動(dòng)勢(shì)為證2　由法拉第電磁感應(yīng)定律，有討論　假如金屬棒PQ 有一段在圓外，則圓外一段導(dǎo)體上有無(wú)電動(dòng)勢(shì)？ 該如何求解？12－16　截面積為長(zhǎng)方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（ａ）所示，共有N 匝（圖中僅畫(huà)出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L．題 1216 圖分析　如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關(guān)的量．求自感L 的方法有兩種：1．設(shè)有電流I 通過(guò)線圈，計(jì)算磁場(chǎng)穿過(guò)自身回路的總磁通量，再用公式計(jì)算L．2．讓回路中通以變化率已知的電流，測(cè)出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)EL ，由公式計(jì)算L．式中EL 和都較容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，所以此方法一般適合于工程中．此外，還可通過(guò)計(jì)算能量的方法求解．解　用方法1 求解，設(shè)有電流I 通過(guò)線圈，線圈回路呈長(zhǎng)方形，如圖（ｂ）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范圍內(nèi)的磁場(chǎng)分布為由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過(guò)自身回路的磁鏈為則若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率為μr ，則自感將增大μr倍．12－17　如圖所示，螺線管的管心是兩個(gè)套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1 和S2 ，磁導(dǎo)率分別為μ1 和μ2 ，管長(zhǎng)為，匝數(shù)為N，求螺線管的自感．（設(shè)管的截面很?。╊} 1217 圖分析　本題求解時(shí)應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對(duì)磁場(chǎng)的影響．在無(wú)介質(zhì)時(shí)，通電螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的，磁感強(qiáng)度為B0 ，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為μ1 B0 和μ2 B0 ．通過(guò)線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1 和S2 的兩部分磁通量之和．由自感的定義可解得結(jié)果．解　設(shè)有電流I 通過(guò)螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為,通過(guò)N匝回路的磁鏈為則自感12－18　有兩根半徑均為a 的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，它們中心距離為d．試求長(zhǎng)為l的一對(duì)導(dǎo)線的自感（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）．題 1218 圖分析　兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線可以看成無(wú)限長(zhǎng)但寬為d 的矩形回路的一部分．設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針?lè)较螂娏鱅，然后計(jì)算圖中陰影部分（寬為d、長(zhǎng)為l）的磁通量．該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)可以看成兩無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加．解　在如圖所示的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I 時(shí)，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為穿過(guò)圖中陰影部分的磁通量為則長(zhǎng)為l 的一對(duì)導(dǎo)線的自感為如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對(duì)導(dǎo)線的自感為．L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感．長(zhǎng)為l的導(dǎo)線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解．12－19　如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈AB 和A′B′，每個(gè)線圈的自感均為L(zhǎng)，求：（1） A 和A′相接時(shí)，B 和B′間的自感L1 ；（2） A′和B 相接時(shí)，A 和B′間的自感L2 ．題 1219 圖分析　無(wú)論線圈AB 和A′B′作哪種方式連接，均可看成一個(gè)大線圈回路的兩個(gè)部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解．求解過(guò)程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨(dú)存在時(shí)穿過(guò)自身回路的磁通量為Φ，則穿過(guò)兩線圈回路的磁通量為2Φ；而當(dāng)兩組線圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過(guò)大線圈回路的總磁通量為2Φ177。2Φ，“ 177?！比Q于電流在兩組線圈中的流向是相同或是相反．解?。?） 當(dāng)A 和A′連接時(shí)，AB 和A′B′線圈中電流流向相反，通過(guò)回路的磁通量亦相反，故總通量為，故L1 ＝0．（2） 當(dāng)A′和B 連接時(shí)，AB 和A′B′線圈中電流流向相同，通過(guò)回路的磁通量亦相同，故總通量為，故．本題結(jié)果在工程實(shí)際中有實(shí)用意義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個(gè)無(wú)自感的線圈．12－20　如圖所示， cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面．設(shè)線圈A 內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的．求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當(dāng)線圈B 中電流的變化率為－50 Aｓ－1 時(shí)，線圈A 中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向．題 1220 圖 分析　設(shè)回路Ⅰ中通有電流I1 ，穿過(guò)回路Ⅱ的磁通量為Φ21 ，則互感M ＝M21 ＝Φ21/I1 ；也可設(shè)回路Ⅱ通有電流I2 ，穿過(guò)回路Ⅰ的磁通量為Φ12 ，則 ．雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不同．以本題為例，如設(shè)線圈B 中有電流I 通過(guò)，則在線圈A 中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場(chǎng)可視為均勻的，因而穿過(guò)線圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如設(shè)線圈A 通有電流I，其周圍的磁場(chǎng)分布是變化的，且難以計(jì)算，因而穿過(guò)線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見(jiàn)，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑．解　（1） 設(shè)線圈B 有電流I 通過(guò)，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度,穿過(guò)小線圈A 的磁鏈近似為則兩線圈的互感為（2）線圈A中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為互感電動(dòng)勢(shì)的方向和線圈B 中的電流方向相同．12－21　如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C 的半徑分別為R 和r，兩線圈相距為d．若r很小，可認(rèn)為線圈A 在線圈C 處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的．求兩線圈的互感．若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感又為多少？題 1221 圖解　設(shè)線圈A 中有電流I 通過(guò)，它在線圈C 所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度近似為穿過(guò)線圈C 的磁通為則兩線圈的互感為若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感為上述值的N 倍．12－22　如圖所示，螺繞環(huán)A 中充滿了鐵磁質(zhì)，管的截面積S cm2 ，沿環(huán)每厘米繞有100 匝線圈，通有電流I1 ＝ 10 －2 A，在環(huán)上再繞一線圈C，共10 匝， Ω，今將開(kāi)關(guān)Ｓ 突然開(kāi)啟，測(cè)得線圈C 10 －3 C．求：當(dāng)螺繞環(huán)中通有電流I1 時(shí)，鐵磁質(zhì)中的B 和鐵磁質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率μr．題 1222 圖分析　本題與題128 相似，均是利用沖擊電流計(jì)測(cè)量電磁感應(yīng)現(xiàn)象中通過(guò)回路的電荷的方法來(lái)計(jì)算磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度．線圈C 的磁通變化是與環(huán)形螺線管中的電流變化相