初三數(shù)學(xué)競賽試題中等以上-資料下載頁
2025-06-07 16:51本頁面
【正文】 ，即是符合題意的設(shè)計(jì)。 (5分)1解： ∵ ∠CAB＝90176。 ∴ PQ是直徑，PQ的中點(diǎn)O是過點(diǎn)A的圓的圓心。連OE，PE，作PF⊥AB交BC于點(diǎn)F ∵AB＝AC ∴ ∠B＝45176。 ∵ PF⊥AB ∴ PF＝PB，PF∥CQ ∵ BP＋CQ＝PQ ∴ FP＋CQ＝PQ＝2OE ∴ OE＝ (FP＋CQ) (5分)若取梯形CQPF的邊CF中點(diǎn)M，連OM，則OM∥CQ∥PF，OM＝ (（FP＋CQ) ∴ OE＝OM ∴ 點(diǎn)M即FC與OO的交點(diǎn)E (5分)∴ OE∥CQ 又∵CQ⊥AB ∴ OE⊥AB ∴EA＝EP ∴∠EAP＝∠EPA∵ ∠EAP＝∠EAD＋∠DAB ∠EPA＝∠B＋∠PEB ∴ ∠EAD＋∠DAB＝∠B＋∠PEB ∴ ∠DAB＝∠PEB ∴∠EAD＝∠B＝45176。 (5分) 1解：設(shè)k＝ ，則由題意，k為正整數(shù) ∴ a、b、c、d都是奇數(shù)或都是偶數(shù) (1分)且1＜k＜又易證：對(duì)于任意的正整數(shù)m，n且m＞1，有 ＜ (1分)∵ 1＜a＜b＜c＜d ∴ 當(dāng)a≥5時(shí)，∴ 即1＜k＜2 這是不可能的 ∴1＜a≤4 (3分) 當(dāng)a＝4時(shí)，則b、c、d都是偶數(shù)，從而k為奇數(shù)∴ b≥6，c≥8，d≥10，k≥3 ∴即3≤k＜3，這是不可能的。當(dāng)a＝3時(shí)，則b、c、d都是奇數(shù) ∴ b≥5，c≥7，d≥9∴ ∴ k＝2若b＝7，則k＝ 于是分子不是3的倍數(shù)而分母是3的倍數(shù)從而k不是整數(shù) ∴ b≠7 若b≥9 則由于c－1，d－1都不能是3的倍數(shù) ∴ 這是不可能的 ∴ a＝3時(shí)，k＝2，b＝5 ∴ 2＝ ，cd16c16d+17=0∴ (c－16)(d－16)＝239為質(zhì)數(shù) ∴ c－16＝1 d－16＝239 ∴ a＝3，b＝5，c＝17，d＝255是符合題意的一組值。 (5分)當(dāng)a＝2時(shí)，b、c、d為偶數(shù)，k為奇數(shù) ∴ ∴ k＝3 ∴ 2bcd－1＝3(b－1)(c－1)(d－1) ∴ bcd不是3的倍數(shù)若b≠4，則b≥8，c≥10，d≥14，于是 與k＝3矛盾 ∴ a＝2時(shí)，b＝4，k＝3 ∴ 3＝ ∴ (c－9)(d－9)＝71為質(zhì)數(shù) ∴ c－9＝1，d－9＝71∴ a＝2，b＝4，c＝10，d＝80是符合題意的另一組值。 (5分)綜上所述，所有滿足條件的正整數(shù)a、b、c、d有兩組：注意：沒有推理過程，猜出一組給2分，猜出兩組給5分。8
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