【正文】 最為常用的運算——予以了優(yōu)化。也許你已經被這種有向無環(huán)圖搞得暈頭轉向了，那好，我們把它簡化一下。然我們暫時把Maple中的鬼條件“一切表達式只存儲一次”扔到一邊去。這樣，我們的“有向無環(huán)圖”就可以化成為一棵“樹”。：這兒省略了基本元素，如數值、變量名，的數據向量。這樣，數據結構就一目了然了。在后面的介紹中，我們將都采用這種簡化了的數據描述。 表達式樹 分式的內部數據結構前面，我們簡單地對多項式的內部數據結構作了研究；作為多項式的自然延伸，我們在來看一看分式的內部結構。這里，我們通過一個例子來探索Maple這個黑匣子。我們所用的工具是Maple的函數op( )，它可以獲得一個表觀數據類型結構中的一個元素。我們看到，分式的表觀數據類型是一個乘積，是子式y(tǒng)2 – 1和(y – 1) 1的乘積。通過這個例子，我們再一次體會到了Maple中內部數據結構和外部表達式之間的差異。上面講的都是真正的有理式的例子，我們再擴展一下，來看一看下面這種形式的式子：Maple也告訴我們它并不是一個有理式。但你也許已經發(fā)現，如果把式子中的sin(x)統(tǒng)統(tǒng)替換成y，它就和前一例中的有理式一模一樣了。的確，如果用前一例中相同的手段，我們會發(fā)現它們的內部數據表示也是驚人的相似。（）我們可以把式子看作是以為變元的整系數有理式，Maple也是這么認為的：Maple把這一類式子當成是廣義有理式（generalized rational expression），我們也可以在這一類式子上使用常用的有理式函數，如正則化（約簡）、求分子分母等等。但是有一些函數卻不可以直接使用。不過，我們可以使用一個有用的函數frontend( )，它可以將一個廣義有理式中的函數調用“凍結”起來，成為真正的有理式，然后再調用有理式函數進行處理。它的第一個參數是所要調用的有理式函數，第二個參數是調用函數所需的參數例表。通過這個函數，我們就可以像處理有理式一樣方便地處理一些復雜的式子了。 廣義有理式和有理式的數據結構 變量代換在表達式化簡中，變量替換是一個得力工具。大的式子，可以通過把其中的子式替換成變量，得到極大的簡化。比如矩陣就可以寫成分塊矩陣的形式：其中。在許多時候，用分塊矩陣運算將會比整個矩陣計算方便的多。Maple在輸出結果的時候，會自動地把結果中的一些子式替換成%1，%2，等等。用戶也可以利用函數subs( )，根據自己的意愿進行變量替換。最簡單地調用這個函數的形式是這樣的：subs( var = replacement, expression )調用的結果是將表達式expression中所有變量var出現的地方替換成replacement。例如：我們注意到，變量替換函數subs( )只得出替換后的結果，而并不改變原表達式的內容。如果需要改變原表達式，必須再進行賦值。而且，Maple對變量替換的結果只進行化簡，而不進行求值計算，也就是說不會自動調用函數；如果需要，用戶可以在變量替換之后，自己調用求值函數eval( )。變量替換函數subs( )也可以進行多重的變量替換。以兩重為例，在Maple中，可以以這樣的調用形式調用：subs( var1 = replacement1, var2 = replacement2, expression )調用的結果和按從左到右的順序連續(xù)兩次調用是一樣的，也就是先將expression中的var1替換成replacement1，再將其結果中的var2替換成replacement2。我們把這種替換稱作順序替換；與此相對，我們還可以進行同步替換，也就是同時將expression中的var1替換成replacement1，而var2則替換成replacement2。同步替換的調用形式是這樣的：subs( { var1 = replacement1, var2 = replacement2 }, expression )其中的一個參數是一個集合，用一對大括弧“{}”括起來。我們通過幾個簡單的例子來比較一下這兩種多重替換的差異。正如我們在前面的章節(jié)中介紹過的，subs不僅可以用作替換變量，還可以用來替換子式。不過這個字是必須是符合Maple內部數據結構的，也就是說，必須為表達式樹的一棵完整子樹。相信讀者經過一定的練習，在理解了Maple的內部數據表示之后，一定會靈活地掌握變量代換的技巧的。除了subs之外，Maple還有一些變量替換的函數，比如代數代換（algebraic substitution）asubs( )。它是專門為和式所設計的一個庫函數，不依賴于Maple的內部數據結構，所以可以完成和式中一個或一些項的替換。它有三個參數，第二個參數是有待替換的表達式，第三個參數是替換標志；這個函數檢查表達式中的每一個和式，如果有替換標志出現，就將作為第一個參數的代數式代入到和式中去。如果第一個參數的等號左邊只有一個未知變量，則可以省略替換標志。這個函數還有一個可選參數——always，如果在最后加上這個參數，例如asubs( pat = replacement, expression, always)則Maple將把表達式expression中的每一個和式s都改寫成為s – pat + replacement，而不管和式中是否出現pat。這樣的代換在實際中也是經常用到的，初等代數計算或證明過程中的一個常用技巧就是在一個和式中加上“0”，也就是加上恒等式的兩邊之差，這就可以用上面的方法做到。同樣，我們也可以用函數powsubs( )替換乘積中的一部分。powsubs是student工具包中的一個庫函數，在使用前，我們需要用with語句將其調入。我們都知道，在Maple中，任何一個表達式都只存儲一次。比如有一個符號變量x，那么，在一個表達式中的所有出現x的地方都是指這個x。如果用subs把表達式中的x替換成y，則表達式中所有的x都變成了y。這有時候并不是我們所需要的。怎樣才能隨我們所愿地替換表達式中的某一個子式，而同時保持這個式子中另一個相同的子式不變呢？Maple中 還有另外一種替換方法，利用函數subsop( )，可以替換表達式中特定位置的一個元素或幾個元素，這里的元素是相對于表達式的表觀數據類型而言的，也就是用op( )可以得到的元素。subsop的調用格式是這樣的：subsop( num1 = replacement1, num2 = replacement2, expression )它能夠將表達式expression中第num1個元素替換成replacement1，第num2個元素替換成replacement2。使用這種替換方法還有一個好處，就是不須要重新輸入可能非常繁瑣的被替換子式，而只需用1，2，3……來指代它們就可以了。我們來看一個例子：順便提一句，上面這個例子用函數map( )其實可以更簡單的完成：函數map( procedure, expression )的作用是得到令expression中的每一個元素都分別調用子程序procedure，再和成的結果。我們在后面的章節(jié)中會詳細地介紹這個函數的其他用法。初等代數運算的另一個重要技巧是把一個子式看成整體來運算，比如下面的例子中，我們希望把該表達式通分，但同時要保持(x + y)2不展開。顯然，用normal是無能為力了。假如我們把x + y暫時替換成一個新的變量，在進行正則化之后再將其代回，就可以達到目的了。在Maple中，我們可以用freeze命令將表達式暫時“凍結”，也就是替換成一個臨時變量；在需要時，再用thaw命令將它“解凍”。比如上面例子的要求，就可以這樣來做到：微積分運算本章將通過例子系統(tǒng)地介紹Maple軟件中的微積分運算，讀者可以學到利用Maple軟件解決簡單的高等數學問題的一些方法和技巧。本章具體包括以下內容： 如何在Maple中計算函數的極限 如何在Maple中檢驗函數的連續(xù)性 如何在Maple中表示微分運算 如何在Maple中進行函數和表達式的微分運算 如何在Maple中對隱函數進行微分和求導運算 如何在Maple中進行符號積分運算 如何在Maple中計算廣義積分 如何在Maple中計算數值積分 如何在Maple中表示和計算數列 如何在Maple中求數列的極限 如何在Maple中將已知函數展開成級數章二第Maple的應用，可以說大多數是用在高等數學的計算上了，微積分運算，也許是Maple最為拿手的計算了。任何解析函數，Maple都可以求出它的導數來；任何理論上可以計算的的積分，Maple也都可以不費吹灰之力地將它計算出來。有了Maple，你完全可以把積分手冊扔到一邊去，因為你在也忍受不了它了。不僅如此，Maple從來不會抱怨表達式太繁，或者太長的?？梢院敛豢鋸埖卣f，高等數學書上的任何一道計算題，都可以用Maple解決。不信？那好，就跟著我用Maple重新溫習一遍微積分吧，你一定會有新的發(fā)現的！ 極限和連續(xù)性 函數或表達式的極限在Maple中，我們可以利用函數limit表示和計算函數和表達式的極限。讀者一定還記得，我們用一對單引號表示暫時不作計算的表達式；上面，我們就利用它在Maple中寫出了一個漂亮的極限式。而后面再次引用它時，Maple就進行計算，得到了我們所期望的結果。實際上，對于這些常用的“漂亮”計算符號（又比如求導、積分等運算），Maple中都有一套函數與其一一對應。對應的規(guī)則是，把原有函數的首字母改成大寫，于是就得到“形式函數”，得到的是一個形式上的表達式。比如上面這個例子，我們就可以寫成：順理成章地，這個函數也可用來求自變量趨于無窮時的極限。無窮，在Maple中用infinity表示。我們來看下面這個經典的極限：為了使大多數計算能夠進行下去，函數limit假設表達式中所有未被賦值的參數都是非0實數。比如在a未被賦值時，a2/x在x趨向于0時的極限將被認為是正無窮大。函數的第二個參數表示欲求的極限所在的位置，它是一個等式，等式的左邊是自變量，右邊是極限點，極限點可以是任意的實數?；贛aple的強大符號運算功能，表達式中間完全可以包含未知參數，絕大多數理論上存在的極限都可以求出來。該函數不僅可以用來求變量函數的極限，還可以用來求多重極限。這時，函數的第二個參數是一個等式的集合（用一對大括弧“{}”括起來）。例如：limit函數的第三個參數是可選參數，利用它可以求單側極限和復數域極限。在默認情況下，函數求得的是實數域中的雙側極限（除了無窮大處的極限是單側的外）。如果指定第三個參數為plex，則函數limit在復數域中求極限。在實數域中，我們可以指定left或right，以求得單側極限。例如： 函數的連續(xù)性在Maple中，你可以用庫函數iscont( )來檢驗一個函數或者表達式的連續(xù)性。由于它是庫函數，使用前我們先要用命令readlib調入。請看下面的例子：其中第二個參數指定了有待檢驗的區(qū)間，它必須由兩個實的常數（或無窮大）界定。默認情況下它指的是一個開區(qū)間，在指定了第三個（可選）參數為39。closed39。后，它將檢查該閉區(qū)間。如果無法判斷表達式在該區(qū)間上的連續(xù)性，函數將返回系統(tǒng)符號常量FAIL，表示計算失敗。相應的，Maple中還有另一個庫函數discont( )，可以用來找出表達式或函數的間斷點。這個函數可以找出所有可能的實間斷點，依據Maple的算法，它找到的并不一定都是間斷點，但一般情況下，也就是函數比較好的情況下，找到的都是真正的間斷點。我們會經常遇到間斷點周期出現或成對出現的情況，這時，Maple會利用一些輔助變量予以表達，比如_Zn~、_NNn~、和_Bn~，其中n是序號，_Zn~表示任意整數，_NNn~表示任意自然數，而_Bn~則表示一個二進制數（即可以取0或者1）。利用函數fdiscont( )，我們可以求得數值上的間斷點，和其他浮點運算一樣，浮點精度由系統(tǒng)變量Digits決定。 Maple中的求導和微分運算 符號表達式求導利用Maple中的求導函數diff( )，你可以計算一個表達式的導數或者偏導數；而利用形式求導函數Diff( )，你可以獲得求導表達式。利用符號$可以簡單地表示多重導數，diff(expr, x$3)和diff(expr, x, x, x)是等價的，它們都表示expr對x的3階導數。由于Maple是一個符號計算軟件，而且在不加特別約束的情況下，帶參數的導數實質上就是偏導數，所以用diff( )計算偏導數和計算單變量函數的導數在形式上沒有任何不同：函數diff( )求得的結果總是一個表達式，如果你需要得到一個函數形式的結果，也就是要求導函數，你可以用D運算符。D運算符作用于一個函數上，得到的結果也是一個函數。我們在這里先用箭頭運算符“”定義一個簡單的函數，箭頭運算符的左邊是函數的自變量，右邊是函數表達式。有關函數的定義和箭頭運算符的詳細情況，我們在后面相應章節(jié)會加以詳細介紹。D運算符也可以被用作求多重導數，不過這里不是用“$”而是用兩個連續(xù)的“@@”。D運算符并不局限于單變量函數，一個帶指標的D運算符D[i](f)可以用來求偏導函數。D[i](f)表示函數f對第i個變量的導函數，而多重導數D[i, j](f)等價于D[i]( D[j](f) )。由于diff和D這兩種運算本質上是一樣的，所不同的僅僅是表達形式而已，它們之間也可以用convert相互轉換。 隱函數的導數很多情況下，函數并不能寫成顯式的解析表達式，而只能通過自變量和函數的方程給出他們之間的關系；有時雖然可以寫出顯式表達式，但形式上要麻煩的多，所以在高等數學中，我們有直接對隱函數的求導方法。在Maple中也有這樣的函數——implicitdiff( )。第一個參數是蘊含著函數關系的方程，它也可以是一個方程組（用一對花括弧擴起來的等式的集合）。第二個參數是函數（應變量），第三個參數是求導的變量，它們也都可以是變量的集合。和diff中一樣