【正文】 最為常用的運(yùn)算——予以了優(yōu)化。也許你已經(jīng)被這種有向無(wú)環(huán)圖搞得暈頭轉(zhuǎn)向了，那好，我們把它簡(jiǎn)化一下。然我們暫時(shí)把Maple中的鬼?xiàng)l件“一切表達(dá)式只存儲(chǔ)一次”扔到一邊去。這樣，我們的“有向無(wú)環(huán)圖”就可以化成為一棵“樹(shù)”。：這兒省略了基本元素，如數(shù)值、變量名，的數(shù)據(jù)向量。這樣，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就一目了然了。在后面的介紹中，我們將都采用這種簡(jiǎn)化了的數(shù)據(jù)描述。 表達(dá)式樹(shù) 分式的內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)前面，我們簡(jiǎn)單地對(duì)多項(xiàng)式的內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)作了研究；作為多項(xiàng)式的自然延伸，我們?cè)趤?lái)看一看分式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。這里，我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)探索Maple這個(gè)黑匣子。我們所用的工具是Maple的函數(shù)op( )，它可以獲得一個(gè)表觀數(shù)據(jù)類(lèi)型結(jié)構(gòu)中的一個(gè)元素。我們看到，分式的表觀數(shù)據(jù)類(lèi)型是一個(gè)乘積，是子式y(tǒng)2 – 1和(y – 1) 1的乘積。通過(guò)這個(gè)例子，我們?cè)僖淮误w會(huì)到了Maple中內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和外部表達(dá)式之間的差異。上面講的都是真正的有理式的例子，我們?cè)贁U(kuò)展一下，來(lái)看一看下面這種形式的式子：Maple也告訴我們它并不是一個(gè)有理式。但你也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，如果把式子中的sin(x)統(tǒng)統(tǒng)替換成y，它就和前一例中的有理式一模一樣了。的確，如果用前一例中相同的手段，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)部數(shù)據(jù)表示也是驚人的相似。（）我們可以把式子看作是以為變?cè)恼禂?shù)有理式，Maple也是這么認(rèn)為的：Maple把這一類(lèi)式子當(dāng)成是廣義有理式（generalized rational expression），我們也可以在這一類(lèi)式子上使用常用的有理式函數(shù)，如正則化（約簡(jiǎn)）、求分子分母等等。但是有一些函數(shù)卻不可以直接使用。不過(guò)，我們可以使用一個(gè)有用的函數(shù)frontend( )，它可以將一個(gè)廣義有理式中的函數(shù)調(diào)用“凍結(jié)”起來(lái)，成為真正的有理式，然后再調(diào)用有理式函數(shù)進(jìn)行處理。它的第一個(gè)參數(shù)是所要調(diào)用的有理式函數(shù)，第二個(gè)參數(shù)是調(diào)用函數(shù)所需的參數(shù)例表。通過(guò)這個(gè)函數(shù)，我們就可以像處理有理式一樣方便地處理一些復(fù)雜的式子了。 廣義有理式和有理式的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 變量代換在表達(dá)式化簡(jiǎn)中，變量替換是一個(gè)得力工具。大的式子，可以通過(guò)把其中的子式替換成變量，得到極大的簡(jiǎn)化。比如矩陣就可以寫(xiě)成分塊矩陣的形式：其中。在許多時(shí)候，用分塊矩陣運(yùn)算將會(huì)比整個(gè)矩陣計(jì)算方便的多。Maple在輸出結(jié)果的時(shí)候，會(huì)自動(dòng)地把結(jié)果中的一些子式替換成%1，%2，等等。用戶也可以利用函數(shù)subs( )，根據(jù)自己的意愿進(jìn)行變量替換。最簡(jiǎn)單地調(diào)用這個(gè)函數(shù)的形式是這樣的：subs( var = replacement, expression )調(diào)用的結(jié)果是將表達(dá)式expression中所有變量var出現(xiàn)的地方替換成replacement。例如：我們注意到，變量替換函數(shù)subs( )只得出替換后的結(jié)果，而并不改變?cè)磉_(dá)式的內(nèi)容。如果需要改變?cè)磉_(dá)式，必須再進(jìn)行賦值。而且，Maple對(duì)變量替換的結(jié)果只進(jìn)行化簡(jiǎn)，而不進(jìn)行求值計(jì)算，也就是說(shuō)不會(huì)自動(dòng)調(diào)用函數(shù)；如果需要，用戶可以在變量替換之后，自己調(diào)用求值函數(shù)eval( )。變量替換函數(shù)subs( )也可以進(jìn)行多重的變量替換。以兩重為例，在Maple中，可以以這樣的調(diào)用形式調(diào)用：subs( var1 = replacement1, var2 = replacement2, expression )調(diào)用的結(jié)果和按從左到右的順序連續(xù)兩次調(diào)用是一樣的，也就是先將expression中的var1替換成replacement1，再將其結(jié)果中的var2替換成replacement2。我們把這種替換稱(chēng)作順序替換；與此相對(duì)，我們還可以進(jìn)行同步替換，也就是同時(shí)將expression中的var1替換成replacement1，而var2則替換成replacement2。同步替換的調(diào)用形式是這樣的：subs( { var1 = replacement1, var2 = replacement2 }, expression )其中的一個(gè)參數(shù)是一個(gè)集合，用一對(duì)大括弧“{}”括起來(lái)。我們通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)比較一下這兩種多重替換的差異。正如我們?cè)谇懊娴恼鹿?jié)中介紹過(guò)的，subs不僅可以用作替換變量，還可以用來(lái)替換子式。不過(guò)這個(gè)字是必須是符合Maple內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的，也就是說(shuō)，必須為表達(dá)式樹(shù)的一棵完整子樹(shù)。相信讀者經(jīng)過(guò)一定的練習(xí)，在理解了Maple的內(nèi)部數(shù)據(jù)表示之后，一定會(huì)靈活地掌握變量代換的技巧的。除了subs之外，Maple還有一些變量替換的函數(shù)，比如代數(shù)代換（algebraic substitution）asubs( )。它是專(zhuān)門(mén)為和式所設(shè)計(jì)的一個(gè)庫(kù)函數(shù)，不依賴(lài)于Maple的內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所以可以完成和式中一個(gè)或一些項(xiàng)的替換。它有三個(gè)參數(shù)，第二個(gè)參數(shù)是有待替換的表達(dá)式，第三個(gè)參數(shù)是替換標(biāo)志；這個(gè)函數(shù)檢查表達(dá)式中的每一個(gè)和式，如果有替換標(biāo)志出現(xiàn)，就將作為第一個(gè)參數(shù)的代數(shù)式代入到和式中去。如果第一個(gè)參數(shù)的等號(hào)左邊只有一個(gè)未知變量，則可以省略替換標(biāo)志。這個(gè)函數(shù)還有一個(gè)可選參數(shù)——always，如果在最后加上這個(gè)參數(shù)，例如asubs( pat = replacement, expression, always)則Maple將把表達(dá)式expression中的每一個(gè)和式s都改寫(xiě)成為s – pat + replacement，而不管和式中是否出現(xiàn)pat。這樣的代換在實(shí)際中也是經(jīng)常用到的，初等代數(shù)計(jì)算或證明過(guò)程中的一個(gè)常用技巧就是在一個(gè)和式中加上“0”，也就是加上恒等式的兩邊之差，這就可以用上面的方法做到。同樣，我們也可以用函數(shù)powsubs( )替換乘積中的一部分。powsubs是student工具包中的一個(gè)庫(kù)函數(shù)，在使用前，我們需要用with語(yǔ)句將其調(diào)入。我們都知道，在Maple中，任何一個(gè)表達(dá)式都只存儲(chǔ)一次。比如有一個(gè)符號(hào)變量x，那么，在一個(gè)表達(dá)式中的所有出現(xiàn)x的地方都是指這個(gè)x。如果用subs把表達(dá)式中的x替換成y，則表達(dá)式中所有的x都變成了y。這有時(shí)候并不是我們所需要的。怎樣才能隨我們所愿地替換表達(dá)式中的某一個(gè)子式，而同時(shí)保持這個(gè)式子中另一個(gè)相同的子式不變呢？Maple中 還有另外一種替換方法，利用函數(shù)subsop( )，可以替換表達(dá)式中特定位置的一個(gè)元素或幾個(gè)元素，這里的元素是相對(duì)于表達(dá)式的表觀數(shù)據(jù)類(lèi)型而言的，也就是用op( )可以得到的元素。subsop的調(diào)用格式是這樣的：subsop( num1 = replacement1, num2 = replacement2, expression )它能夠?qū)⒈磉_(dá)式expression中第num1個(gè)元素替換成replacement1，第num2個(gè)元素替換成replacement2。使用這種替換方法還有一個(gè)好處，就是不須要重新輸入可能非常繁瑣的被替換子式，而只需用1，2，3……來(lái)指代它們就可以了。我們來(lái)看一個(gè)例子：順便提一句，上面這個(gè)例子用函數(shù)map( )其實(shí)可以更簡(jiǎn)單的完成：函數(shù)map( procedure, expression )的作用是得到令expression中的每一個(gè)元素都分別調(diào)用子程序procedure，再和成的結(jié)果。我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)中會(huì)詳細(xì)地介紹這個(gè)函數(shù)的其他用法。初等代數(shù)運(yùn)算的另一個(gè)重要技巧是把一個(gè)子式看成整體來(lái)運(yùn)算，比如下面的例子中，我們希望把該表達(dá)式通分，但同時(shí)要保持(x + y)2不展開(kāi)。顯然，用normal是無(wú)能為力了。假如我們把x + y暫時(shí)替換成一個(gè)新的變量，在進(jìn)行正則化之后再將其代回，就可以達(dá)到目的了。在Maple中，我們可以用freeze命令將表達(dá)式暫時(shí)“凍結(jié)”，也就是替換成一個(gè)臨時(shí)變量；在需要時(shí)，再用thaw命令將它“解凍”。比如上面例子的要求，就可以這樣來(lái)做到：微積分運(yùn)算本章將通過(guò)例子系統(tǒng)地介紹Maple軟件中的微積分運(yùn)算，讀者可以學(xué)到利用Maple軟件解決簡(jiǎn)單的高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的一些方法和技巧。本章具體包括以下內(nèi)容： 如何在Maple中計(jì)算函數(shù)的極限 如何在Maple中檢驗(yàn)函數(shù)的連續(xù)性 如何在Maple中表示微分運(yùn)算 如何在Maple中進(jìn)行函數(shù)和表達(dá)式的微分運(yùn)算 如何在Maple中對(duì)隱函數(shù)進(jìn)行微分和求導(dǎo)運(yùn)算 如何在Maple中進(jìn)行符號(hào)積分運(yùn)算 如何在Maple中計(jì)算廣義積分 如何在Maple中計(jì)算數(shù)值積分 如何在Maple中表示和計(jì)算數(shù)列 如何在Maple中求數(shù)列的極限 如何在Maple中將已知函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)章二第Maple的應(yīng)用，可以說(shuō)大多數(shù)是用在高等數(shù)學(xué)的計(jì)算上了，微積分運(yùn)算，也許是Maple最為拿手的計(jì)算了。任何解析函數(shù)，Maple都可以求出它的導(dǎo)數(shù)來(lái)；任何理論上可以計(jì)算的的積分，Maple也都可以不費(fèi)吹灰之力地將它計(jì)算出來(lái)。有了Maple，你完全可以把積分手冊(cè)扔到一邊去，因?yàn)槟阍谝踩淌懿涣怂?。不僅如此，Maple從來(lái)不會(huì)抱怨表達(dá)式太繁，或者太長(zhǎng)的?？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)，高等數(shù)學(xué)書(shū)上的任何一道計(jì)算題，都可以用Maple解決。不信？那好，就跟著我用Maple重新溫習(xí)一遍微積分吧，你一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)的！ 極限和連續(xù)性 函數(shù)或表達(dá)式的極限在Maple中，我們可以利用函數(shù)limit表示和計(jì)算函數(shù)和表達(dá)式的極限。讀者一定還記得，我們用一對(duì)單引號(hào)表示暫時(shí)不作計(jì)算的表達(dá)式；上面，我們就利用它在Maple中寫(xiě)出了一個(gè)漂亮的極限式。而后面再次引用它時(shí)，Maple就進(jìn)行計(jì)算，得到了我們所期望的結(jié)果。實(shí)際上，對(duì)于這些常用的“漂亮”計(jì)算符號(hào)（又比如求導(dǎo)、積分等運(yùn)算），Maple中都有一套函數(shù)與其一一對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)的規(guī)則是，把原有函數(shù)的首字母改成大寫(xiě)，于是就得到“形式函數(shù)”，得到的是一個(gè)形式上的表達(dá)式。比如上面這個(gè)例子，我們就可以寫(xiě)成：順理成章地，這個(gè)函數(shù)也可用來(lái)求自變量趨于無(wú)窮時(shí)的極限。無(wú)窮，在Maple中用infinity表示。我們來(lái)看下面這個(gè)經(jīng)典的極限：為了使大多數(shù)計(jì)算能夠進(jìn)行下去，函數(shù)limit假設(shè)表達(dá)式中所有未被賦值的參數(shù)都是非0實(shí)數(shù)。比如在a未被賦值時(shí)，a2/x在x趨向于0時(shí)的極限將被認(rèn)為是正無(wú)窮大。函數(shù)的第二個(gè)參數(shù)表示欲求的極限所在的位置，它是一個(gè)等式，等式的左邊是自變量，右邊是極限點(diǎn)，極限點(diǎn)可以是任意的實(shí)數(shù)?；贛aple的強(qiáng)大符號(hào)運(yùn)算功能，表達(dá)式中間完全可以包含未知參數(shù)，絕大多數(shù)理論上存在的極限都可以求出來(lái)。該函數(shù)不僅可以用來(lái)求變量函數(shù)的極限，還可以用來(lái)求多重極限。這時(shí)，函數(shù)的第二個(gè)參數(shù)是一個(gè)等式的集合（用一對(duì)大括弧“{}”括起來(lái)）。例如：limit函數(shù)的第三個(gè)參數(shù)是可選參數(shù)，利用它可以求單側(cè)極限和復(fù)數(shù)域極限。在默認(rèn)情況下，函數(shù)求得的是實(shí)數(shù)域中的雙側(cè)極限（除了無(wú)窮大處的極限是單側(cè)的外）。如果指定第三個(gè)參數(shù)為plex，則函數(shù)limit在復(fù)數(shù)域中求極限。在實(shí)數(shù)域中，我們可以指定left或right，以求得單側(cè)極限。例如： 函數(shù)的連續(xù)性在Maple中，你可以用庫(kù)函數(shù)iscont( )來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)或者表達(dá)式的連續(xù)性。由于它是庫(kù)函數(shù)，使用前我們先要用命令readlib調(diào)入。請(qǐng)看下面的例子：其中第二個(gè)參數(shù)指定了有待檢驗(yàn)的區(qū)間，它必須由兩個(gè)實(shí)的常數(shù)（或無(wú)窮大）界定。默認(rèn)情況下它指的是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，在指定了第三個(gè)（可選）參數(shù)為39。closed39。后，它將檢查該閉區(qū)間。如果無(wú)法判斷表達(dá)式在該區(qū)間上的連續(xù)性，函數(shù)將返回系統(tǒng)符號(hào)常量FAIL，表示計(jì)算失敗。相應(yīng)的，Maple中還有另一個(gè)庫(kù)函數(shù)discont( )，可以用來(lái)找出表達(dá)式或函數(shù)的間斷點(diǎn)。這個(gè)函數(shù)可以找出所有可能的實(shí)間斷點(diǎn)，依據(jù)Maple的算法，它找到的并不一定都是間斷點(diǎn)，但一般情況下，也就是函數(shù)比較好的情況下，找到的都是真正的間斷點(diǎn)。我們會(huì)經(jīng)常遇到間斷點(diǎn)周期出現(xiàn)或成對(duì)出現(xiàn)的情況，這時(shí)，Maple會(huì)利用一些輔助變量予以表達(dá)，比如_Zn~、_NNn~、和_Bn~，其中n是序號(hào)，_Zn~表示任意整數(shù)，_NNn~表示任意自然數(shù)，而_Bn~則表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)（即可以取0或者1）。利用函數(shù)fdiscont( )，我們可以求得數(shù)值上的間斷點(diǎn)，和其他浮點(diǎn)運(yùn)算一樣，浮點(diǎn)精度由系統(tǒng)變量Digits決定。 Maple中的求導(dǎo)和微分運(yùn)算 符號(hào)表達(dá)式求導(dǎo)利用Maple中的求導(dǎo)函數(shù)diff( )，你可以計(jì)算一個(gè)表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)；而利用形式求導(dǎo)函數(shù)Diff( )，你可以獲得求導(dǎo)表達(dá)式。利用符號(hào)$可以簡(jiǎn)單地表示多重導(dǎo)數(shù)，diff(expr, x$3)和diff(expr, x, x, x)是等價(jià)的，它們都表示expr對(duì)x的3階導(dǎo)數(shù)。由于Maple是一個(gè)符號(hào)計(jì)算軟件，而且在不加特別約束的情況下，帶參數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是偏導(dǎo)數(shù)，所以用diff( )計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和計(jì)算單變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在形式上沒(méi)有任何不同：函數(shù)diff( )求得的結(jié)果總是一個(gè)表達(dá)式，如果你需要得到一個(gè)函數(shù)形式的結(jié)果，也就是要求導(dǎo)函數(shù)，你可以用D運(yùn)算符。D運(yùn)算符作用于一個(gè)函數(shù)上，得到的結(jié)果也是一個(gè)函數(shù)。我們?cè)谶@里先用箭頭運(yùn)算符“”定義一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，箭頭運(yùn)算符的左邊是函數(shù)的自變量，右邊是函數(shù)表達(dá)式。有關(guān)函數(shù)的定義和箭頭運(yùn)算符的詳細(xì)情況，我們?cè)诤竺嫦鄳?yīng)章節(jié)會(huì)加以詳細(xì)介紹。D運(yùn)算符也可以被用作求多重導(dǎo)數(shù)，不過(guò)這里不是用“$”而是用兩個(gè)連續(xù)的“@@”。D運(yùn)算符并不局限于單變量函數(shù)，一個(gè)帶指標(biāo)的D運(yùn)算符D[i](f)可以用來(lái)求偏導(dǎo)函數(shù)。D[i](f)表示函數(shù)f對(duì)第i個(gè)變量的導(dǎo)函數(shù)，而多重導(dǎo)數(shù)D[i, j](f)等價(jià)于D[i]( D[j](f) )。由于diff和D這兩種運(yùn)算本質(zhì)上是一樣的，所不同的僅僅是表達(dá)形式而已，它們之間也可以用convert相互轉(zhuǎn)換。 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)很多情況下，函數(shù)并不能寫(xiě)成顯式的解析表達(dá)式，而只能通過(guò)自變量和函數(shù)的方程給出他們之間的關(guān)系；有時(shí)雖然可以寫(xiě)出顯式表達(dá)式，但形式上要麻煩的多，所以在高等數(shù)學(xué)中，我們有直接對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法。在Maple中也有這樣的函數(shù)——implicitdiff( )。第一個(gè)參數(shù)是蘊(yùn)含著函數(shù)關(guān)系的方程，它也可以是一個(gè)方程組（用一對(duì)花括弧擴(kuò)起來(lái)的等式的集合）。第二個(gè)參數(shù)是函數(shù)（應(yīng)變量），第三個(gè)參數(shù)是求導(dǎo)的變量，它們也都可以是變量的集合。和diff中一樣