【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 爾返回值的函數(shù)，用來(lái)判斷一個(gè)整數(shù)是否為素?cái)?shù)。接下來(lái)，我們來(lái)求這個(gè)數(shù)的質(zhì)因子。因數(shù)分解是一個(gè)相當(dāng)費(fèi)時(shí)的計(jì)算過(guò)程，我們用Maple的系統(tǒng)函數(shù)time( )來(lái)獲取計(jì)算過(guò)程中所耗費(fèi)的時(shí)間。我們將這三個(gè)命令打在同一個(gè)可執(zhí)行塊中（同一行，中間不要加回車(chē)），以使其連續(xù)執(zhí)行。由于計(jì)算環(huán)境不同，例子中的時(shí)間很可能與你的運(yùn)行結(jié)果不同，但無(wú)論如何，分解而得的質(zhì)因數(shù)一定是相同的。函數(shù)nextprime( )求得的是比參數(shù)big_number大的下一個(gè)素?cái)?shù)。而函數(shù)isqrt( )求得的是和big_number的平方根最近的整數(shù)。Maple中也可以進(jìn)行帶余數(shù)的除法，如：有了大整數(shù)的表示法，理論上來(lái)講，一切有理數(shù)也都可以精確的表示了，讓我們來(lái)簡(jiǎn)單地看一下Maple中有理數(shù)（分?jǐn)?shù)）的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)吧。在Maple中，每個(gè)分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)中都存有兩個(gè)指針，分別指向分子和分母（大整數(shù)）。由于大整數(shù)的存儲(chǔ)很費(fèi)空間，所以在Maple中所有的整數(shù)至多只存儲(chǔ)一次。例如，Maple工作空間中有三個(gè)分?jǐn)?shù)，和，在系統(tǒng)內(nèi)部。分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)整數(shù) – 1整數(shù) + 3整數(shù) + 2整數(shù) + 5關(guān)于Maple的內(nèi)部機(jī)制，本書(shū)會(huì)在相應(yīng)的地方給出一些定性的描述，因?yàn)檫@些內(nèi)容對(duì)于應(yīng)用Maple沒(méi)有多大的關(guān)系，只是作一個(gè)一般性介紹。如果讀者具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面的基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)閱讀這些內(nèi)容，會(huì)對(duì)Maple的內(nèi)部機(jī)制有一定的了解；如果你覺(jué)得這些內(nèi)容沒(méi)有必要，完全可以跳過(guò)去不看。 分?jǐn)?shù)的內(nèi)部存儲(chǔ)結(jié)構(gòu) 無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)和浮點(diǎn)運(yùn)算 無(wú)理數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)在介紹Maple的浮點(diǎn)運(yùn)算之前，我們先來(lái)看一個(gè)例子：咦，這么顯然的式子，Maple怎么不自動(dòng)進(jìn)行化簡(jiǎn)呢？先別急著下結(jié)論，Maple可是非常嚴(yán)格的哦。這樣的化簡(jiǎn)，可不是在任何時(shí)候都能成立的呀，特別是在復(fù)數(shù)域中，如果一個(gè)無(wú)理式是一個(gè)中間步驟，如果進(jìn)行這樣的化簡(jiǎn)，很有可能造成失根。為了避免在這方面出現(xiàn)漏洞，Maple對(duì)無(wú)理式不自動(dòng)化簡(jiǎn)，除非用戶(hù)人為地要求化簡(jiǎn)，比如使用simplify( )函數(shù)強(qiáng)迫Maple對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)。提示：Maple中可以用百分號(hào)“%”代替上一計(jì)算的結(jié)果，自然而然地，兩個(gè)連續(xù)百分號(hào)“%%”表示前一次計(jì)算的結(jié)果；三個(gè)則表示再前一次計(jì)算的結(jié)果。下面再來(lái)看看浮點(diǎn)運(yùn)算。接著前面的例子，我們將結(jié)果化成浮點(diǎn)形式：利用evalf( )函數(shù)，我們可以把表達(dá)式化成浮點(diǎn)形式。而convert( )函數(shù)是用來(lái)改變表達(dá)式類(lèi)型的通用函數(shù)，convert(exp, ‘float’)起到的效果與evalf(exp)完全一樣。引入了浮點(diǎn)數(shù)，自然就引入了舍入誤差，“精確”計(jì)算也就不復(fù)存在了：好在Maple中可以設(shè)定浮點(diǎn)數(shù)的有效位數(shù)。Digits是一個(gè)內(nèi)部變量，表示當(dāng)前的浮點(diǎn)有效位數(shù)，你可以通過(guò)對(duì)Digits賦值來(lái)改變浮點(diǎn)運(yùn)算的有效位數(shù)。默認(rèn)情況下，Digits = 10。在Maple中，一個(gè)帶小數(shù)點(diǎn)“.”的數(shù)字將被自動(dòng)地處理為浮點(diǎn)數(shù)；而且，和C、Fortran等高級(jí)語(yǔ)言一樣，Maple可以自動(dòng)地完成從整數(shù)倒浮點(diǎn)數(shù)的類(lèi)型轉(zhuǎn)換：除了一般的表示法以外，在Maple中還支持另外兩種浮點(diǎn)數(shù)的表示法。，也可以寫(xiě)作1E6，或者Float(1, 6)。后一種寫(xiě)法與浮點(diǎn)數(shù)在Maple內(nèi)部的存儲(chǔ)方式很相近，有三部分：結(jié)構(gòu)的頭（float標(biāo)志）、尾數(shù)（1）、指數(shù)（6）。由于浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)部分是一個(gè)整數(shù)，所以它也一樣受上一節(jié)所講的最大整數(shù)的限制。也就是說(shuō)，Maple中浮點(diǎn)數(shù)的有效位數(shù)最多只能到219 – 9 = 524279。由于用上述結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算速度很慢，而有時(shí)對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的精度要求不高，而要求有較快的速度（比如畫(huà)圖過(guò)程中），這時(shí)可以使用機(jī)器浮點(diǎn)運(yùn)算函數(shù)——evalhf( )來(lái)達(dá)到目的。機(jī)器浮點(diǎn)函數(shù)evalhf( )的使用與evalf( )相同，只是其精度不受Digits變量的影響，一般在12~16位有效數(shù)字之間。 代數(shù)數(shù)（Algebraic Numbers）正如我們?cè)谏弦欢伍_(kāi)頭時(shí)所看到的，Maple在處理整數(shù)的方根時(shí)會(huì)遇到一些問(wèn)題。在這里，我們將更深入地考察這一類(lèi)問(wèn)題。如果對(duì)實(shí)分析有所了解的話(huà)，你一定知道整數(shù)的方根是所謂的“代數(shù)數(shù)”的特例。代數(shù)數(shù)，一個(gè)不太嚴(yán)格的定義是，整系數(shù)單變量多項(xiàng)式的實(shí)根。其范圍較有理數(shù)要大，又包含在實(shí)數(shù)域中。比如就是多項(xiàng)式x2 – 3的一個(gè)根。不要錯(cuò)誤地以為實(shí)數(shù)都是代數(shù)數(shù)，圓周率π就不是任何一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根。另一方面，代數(shù)數(shù)也不是都可以表示成為根式的，比如多項(xiàng)式x5 + x + 1的根就不能表示成為根式的形式。代數(shù)數(shù)的計(jì)算，算法復(fù)雜，而且相當(dāng)耗費(fèi)時(shí)間。當(dāng)然，用Maple的內(nèi)建方法已經(jīng)可以很方便的處理它了。在Maple中，代數(shù)數(shù)用函數(shù)RootOf( )來(lái)表示。例如，作為一個(gè)代數(shù)數(shù)，可以表示為：在Maple的內(nèi)部，代數(shù)數(shù)α不再被表示成根式；而在化簡(jiǎn)時(shí)，僅僅利用到α2 = 3這樣的事實(shí)。這里Maple用到了一個(gè)內(nèi)部變量_Z，有關(guān)變量的內(nèi)容，我們?cè)谙乱还?jié)中將詳細(xì)介紹。上面用的是賦值的方法；通過(guò)下面的例子，您將看到，利用Maple的別名方法alias( )，可以使這樣的計(jì)算更清楚明了。在可以相互轉(zhuǎn)換的前提下，你也可以使用convert( )函數(shù)在根式和代數(shù)數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換。例如：或者，你可以使用allvalues( )函數(shù)，以獲得代數(shù)數(shù)所有的值： 復(fù)數(shù)運(yùn)算和代數(shù)數(shù)不同，復(fù)數(shù)在Maple中是基本的數(shù)據(jù)類(lèi)型。虛數(shù)單位i（）在Maple中用I表示。在運(yùn)算中，數(shù)值類(lèi)型轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)類(lèi)型是自動(dòng)的，所有的算術(shù)運(yùn)算符對(duì)復(fù)數(shù)類(lèi)型均適用。另外，還可以用Re( )、Im( )、conjugate( )和argument( )等函數(shù)分別實(shí)現(xiàn)取復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛和幅角等運(yùn)算。請(qǐng)看下面的例子：有時(shí)候，為了在符號(hào)表達(dá)式中使用Maple的復(fù)數(shù)運(yùn)算，可以用函數(shù)evalc( )。函數(shù)evalc( )把表達(dá)式中所有的符號(hào)變量都當(dāng)成實(shí)值的，也就是認(rèn)為所有的復(fù)變量都寫(xiě)成a + bI的形式，其中a、b都是實(shí)變量。在這里，復(fù)數(shù)域的符號(hào)函數(shù)csgn( )是這樣定義的：也就是說(shuō)在復(fù)平面的上半平面及實(shí)軸的正半軸上為1。不過(guò)，有時(shí)為了使表達(dá)式簡(jiǎn)單，我們可以用assume預(yù)先設(shè)定變量的取值范圍： Maple中的變量和常量 賦值從前面的學(xué)習(xí)中，相信聰明的你一定已經(jīng)發(fā)覺(jué)Maple與其它編程語(yǔ)言，比如C、Pascal、Fortran等等的一個(gè)極大的區(qū)別。在Maple中，不需要申明變量的類(lèi)型，甚至在使用變量前并不需要將它賦值。這也正是符號(hào)演算的魅力之所在。這個(gè)特性是由Maple與眾不同的賦值方法決定的，在這一段里，我們將揭開(kāi)Maple賦值的神秘面紗……。為了理解Maple的賦值機(jī)制，我們先來(lái)看下面這個(gè)例子：在這個(gè)例子中，第一條語(yǔ)句是一個(gè)賦值語(yǔ)句，它的作用是把變量polynomial和多項(xiàng)式9x3 – 37x2 + 47x – 19相關(guān)聯(lián)。在賦值之后，每當(dāng)Maple遇到變量polynomial時(shí)，就取與之唯一關(guān)聯(lián)的“值”。比如隨后的語(yǔ)句roots(polynomial)，就被Maple理解為roots( 9*x^3 – 37*x^2 + 47*x – 19 )了。現(xiàn)在，變量x還沒(méi)被賦值，只有它的名字“x”。通過(guò)語(yǔ)句subs( x=19/9, polynomial)，我們得到將polynomial所關(guān)聯(lián)的多項(xiàng)式中的所有x都替換成19/9之后的結(jié)果——0，這就是我們?cè)跀?shù)學(xué)中常用的方法——變量替換。但此時(shí)，無(wú)論是x還是polynomial的值都沒(méi)有被改變：當(dāng)然，如果僅僅是為了檢驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果，我們完全可以采用另一種方法：我們可以這樣來(lái)理解Maple執(zhí)行上面后一句語(yǔ)句的過(guò)程：178。 Maple讀到變量polynomial并且把它換成與之關(guān)聯(lián)的多項(xiàng)式9x3 – 37x2 + 47x – 19178。 接著，它又在該多項(xiàng)式中發(fā)現(xiàn)了已賦值的變量x，并將其替換成x的值19/9178。 最后，Maple將結(jié)果進(jìn)行算術(shù)化簡(jiǎn)，得到0通過(guò)賦值而非代換來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果缺點(diǎn)是，現(xiàn)在變量x已經(jīng)指向了一個(gè)確定的值。如果你還想讓它恢復(fù)成未定義的變量，也就是除了它的名字“x”以外，什么值也沒(méi)有的變量，你可以這樣做：從這里，我們可以知道，Maple對(duì)用一對(duì)單引號(hào)“’”括起來(lái)的部分不進(jìn)行值的代入，而只取其變量名。為了取消變量的賦值，我們還可以使用函數(shù)evaln( )。在上面的例子中，使用函數(shù)evaln( )與使用單引號(hào)的結(jié)果是一樣的。但要是你想取消帶指標(biāo)的變量（如A[i]）或聯(lián)合變量（）的賦值，其中i也是一個(gè)變量，你就不能再使用單引號(hào)了。上面的例子成功的將Ai取消了賦值，我們可以看一看如果用單引號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么后果。很顯然，而這個(gè)表達(dá)式在此時(shí)的計(jì)算結(jié)果是A1。這樣，A1繞了一個(gè)圈子又指向了自己；事實(shí)上，這是一個(gè)循環(huán)定義。接著，Maple無(wú)法避免地引起了遞歸次數(shù)過(guò)多的錯(cuò)誤。如果這時(shí)把i賦為2，則不出我們的意料，A1果然指向了A2。這就是Maple的變量賦值的機(jī)制，說(shuō)的通俗一點(diǎn)，就是盡可能的“代入”，對(duì)應(yīng)著數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中樹(shù)的遍歷。這種方法我們看起來(lái)雖然不怎么“聰明”，但對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)講，確是一種行之有效的方法。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，變量繁多，我們往往會(huì)忘記哪些變量已經(jīng)賦了值，而哪些變量還沒(méi)被賦值，Maple提供了以下幾個(gè)函數(shù)可以幫助我們確切地了解工作空間中的變量。 變量賦值相關(guān)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)用途anames顯示所有已賦值的變量名unames顯示所有未賦值的變量名assigned檢查一個(gè)變量是否已經(jīng)被賦值最后，我們介紹兩個(gè)也許并不十分必要的函數(shù)，assign( )和unassign( )。assign是用來(lái)給變量賦值的，assign(name, expression)的作用和name := expression完全一樣。unassign用來(lái)取消賦值，和前面介紹的evaln不同，unassign可以同時(shí)取消一批變量，使用起來(lái)也許會(huì)方便一些吧。不幸的是，unassign是庫(kù)函數(shù)，使用前要用readlib(unassign)調(diào)入庫(kù)，哎，還是不方便，不是嗎？ 變量名在Maple中，最簡(jiǎn)單的變量或常量名是字符串，規(guī)則和一般的高級(jí)語(yǔ)言差不多，必須是一個(gè)由字母、數(shù)碼或下劃線(xiàn)組成的序列，其中第一個(gè)字符必須是字母或是下劃線(xiàn)。名字的長(zhǎng)度限制是499個(gè)字符，相信這個(gè)限制對(duì)于任何用戶(hù)來(lái)講都是形同虛設(shè)的了。下面是一些合法的變量名：x，y，a_long_name_containing_underscores，H2O unkown，UNKOWN，UnKnown……需要注意的是，在Maple中是區(qū)分大小寫(xiě)的。在使用變量、常量和函數(shù)時(shí)都要牢記這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)常量π在Maple中用Pi表示，而pi卻與之毫無(wú)干系；–1的平方根是I而不是i。以下劃線(xiàn)開(kāi)頭的變量名是Maple內(nèi)部使用的，也許你還記得上一節(jié)中RootOf的例子，應(yīng)該盡可能的避免使用，否則有時(shí)會(huì)出現(xiàn)意想不到的結(jié)果。除此以外，Maple中還有一些保留字，也不可以被用作變量名。 Maple保留字andbydodoneelifelseendfiforfromifinintersectlocalminusmodnotodoptionoptionsorprocquitreadsavestopthentounionwhile另外，Maple的內(nèi)部函數(shù)，如sin，cos，exp，sqrt……，也不可以被用作變量名。如果為了增強(qiáng)可讀性或是別的原因，你覺(jué)得有必要在變量名中加入空格，或是其他的特殊字符比如“.”、“”、“/”等等，你可以使用反向的撇號(hào)“`”（位于鍵盤(pán)左上角）將其括起來(lái)；如果要加入這個(gè)撇號(hào)本身，（雖然這也許沒(méi)有必要），可以加入兩個(gè)這樣的撇號(hào)。下面也是一些合法的Maple變量名稱(chēng)：注意，不要把Maple中用反向撇號(hào)括起來(lái)的部分和其他高級(jí)語(yǔ)言中的字符串混淆起來(lái)。下面的例子將有助于你理解它們的區(qū)別：正如你所見(jiàn)到的，在這里，加不加反向撇號(hào)毫無(wú)作用；反向撇號(hào)僅僅是為了輸入特殊字符而用的。上面，我們介紹了兩個(gè)方向的單引號(hào)，那么雙引號(hào)有沒(méi)有用呢？一試便知。和其他常用的編程語(yǔ)言一樣，一對(duì)雙引號(hào)括起來(lái)的部分表示字符串，和變量名不同，它不能被賦值。需要特別指出的是，直到Maple V Release 4為止，一個(gè)雙引號(hào)都表示上一次計(jì)算的結(jié)果；而Maple V Release 5新加了字符串這個(gè)數(shù)據(jù)類(lèi)型，同時(shí)把引用上一次計(jì)算結(jié)果的符號(hào)變換為“%”。至此為止，我們已經(jīng)分別介紹了Maple中的雙引號(hào)、單引號(hào)、反向撇號(hào)，下面將其用途總結(jié)成一個(gè)表，希望讀者不要把他們搞混。 Maple中的引號(hào)符號(hào)用途` `界定一個(gè)包含特殊字符的名字‘ ‘界定一個(gè)暫時(shí)不求值的表達(dá)式“ “界定一個(gè)字符串在解決實(shí)際問(wèn)題，常常需要處理一批相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，這時(shí)，我們希望把它們表示成字母加數(shù)字的形式，如A1，A2，A3……。由于Maple是一個(gè)符號(hào)演算系統(tǒng)，我們往往提出這樣的要求，即變量的指標(biāo)（上面的1，2，3……）也要用符號(hào)表示；這也是合情合理的，幾乎任何一本數(shù)學(xué)教科書(shū)中都會(huì)有這樣的符號(hào)：Ai，Bj，Cijk等等。在Maple中，我們可以用函數(shù)cat或運(yùn)算符“.”表示聯(lián)合變量名，來(lái)完成這樣的功能。從上面最后一個(gè)例子中我們可以看出，在適用聯(lián)合操作符“.”時(shí)，最左邊的一個(gè)變量名總不會(huì)被計(jì)算，而無(wú)論這時(shí)x的值究竟是什么。 基本數(shù)據(jù)類(lèi)型在Maple中，有著很?chē)?yán)格的數(shù)據(jù)類(lèi)型，數(shù)據(jù)的類(lèi)型決定著它的內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也決定著在這個(gè)數(shù)據(jù)上可以進(jìn)行的運(yùn)算。通常的基本數(shù)據(jù)類(lèi)型，比如整型，浮點(diǎn)型，字符串等等，在Maple中都有；而Maple是被設(shè)計(jì)作數(shù)學(xué)工具的，它當(dāng)然更有著其他的數(shù)據(jù)類(lèi)型。在Maple中，你可以用命令whattype來(lái)查看一個(gè)變量或一個(gè)表達(dá)式的類(lèi)型。命令whattype得到的結(jié)果實(shí)際上是Maple中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)頭節(jié)點(diǎn)中的類(lèi)型描述符，也就是說(shuō)，這種數(shù)據(jù)的分類(lèi)方法是以它們?cè)贛aple中的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)分的。因此，在Maple中把這種數(shù)