【正文】 ，使它與兩已知直線L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線L方程。5. 求半徑為R的球的內(nèi)接圓錐的最大體積。6. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實(shí)數(shù)a的取值范圍。7. 若關(guān)于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，求實(shí)數(shù)a的值及方程的根。8. 給定的拋物線y＝2px (p0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點(diǎn)M，使得對于拋物線的任意一條過點(diǎn)M的弦PQ，有＋為定值。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。 2. 已知a0,－1b0，那么a、ab、ab之間的大小關(guān)系是_____。A. aab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_____。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個(gè)選擇項(xiàng)逐一成立，導(dǎo)出其中三個(gè)與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a＝－b＝－，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項(xiàng)成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：C－C4－3－6,選D。 S C A O BⅡ、示范性題組：例1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)。求證：AC與平面SOB不垂直。【分析】結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”。【證明】 假設(shè)AC⊥平面SOB，∵ 直線SO在平面SOB內(nèi)， ∴ AC⊥SO，∵ SO⊥底面圓O， ∴ SO⊥AB，∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。即AC與平面SOB不垂直?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【分析】 三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒有實(shí)根。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案。【解】 設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有：,解得,即－a－1。所以當(dāng)a≥－1或a≤－時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根?！咀ⅰ俊爸辽佟薄ⅰ爸炼唷眴栴}經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了“判別式法”、“補(bǔ)集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)（△≥0）a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹。例3. 給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝ (其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸； ②.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小保僭O(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)。【證明】 ① 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則x≠x,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有y＝y(tǒng)，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾， 因此假設(shè)不對，即直線MM不平行于x軸。② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝，即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線y＝x對稱可以得到，函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像?！咀ⅰ繉τ凇安黄叫小钡姆穸ㄐ越Y(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a≠1互相矛盾。第②問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。Ⅲ、鞏固性題組：1. 已知f(x)＝，求證：當(dāng)x≠x時(shí)，f(x)≠f(x)。2. 已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：、不可能成等差數(shù)列。3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于 。4. 求證：拋物線y＝－1上不存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的兩點(diǎn)。5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個(gè)根的絕對值均小于1。 A F DB M NE C6. 兩個(gè)互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應(yīng)對角線上，且有EM＝CN，求證：MN不可能垂直CF。第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：5. 設(shè)命題甲：0x5；命題乙：|x－2|3，那么甲是乙的_____。 （90年全國文） 6. 若log2log20，則_____。(92年全國理)A. 0ab1 B. 0ba1 C. ab1 D. ba17. 如果|x|≤,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全國文)A. B. － C. －1 D. 8. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[7,3]上是____。(91年全國)－5 －5－5 －5 9. 設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。 (90年全國)A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 10. 如果θ是第二象限的角，且滿足cos－sin＝,那么是_____。 ，也可能第三象限角 11. 已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)＝{θ|tgθsinθ}，那么E∩F的區(qū)間是_____。（93年全國文理）A. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) 12. 若復(fù)數(shù)z的輻角為，實(shí)部為－2，則z＝_____。A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ13. 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全國理)A. B. C. D. 14. 滿足方程|z＋3－ｉ|＝的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____?！竞喗狻?小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲＝乙，選A。2小題：由已知畫出對數(shù)曲線，選B；3小題：設(shè)sinx＝t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題；選D；10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案－＋ｉ?！咀ⅰ?以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。 y 4 y=1m 1 O 2 3 xⅡ、示范性題組：例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！痉治觥繉?shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決?！窘狻?原方程變形為 即：設(shè)曲線y＝(x－2) , x∈(0,3)和直線y＝1－m，圖像如圖所示。由圖可知：① 當(dāng)1－m＝0時(shí)，有唯一解，m＝1。 ②當(dāng)1≤1－m4時(shí)，有唯一解，即－3m≤0,∴ m＝1或－3m≤0此題也可設(shè)曲線y＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直線y＝m后畫出圖像求解?！咀ⅰ?一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求（也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值）。 y A D O B x C例2. 設(shè)|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。【分析】 利用復(fù)數(shù)