【正文】 　　例如，表面積為8平方厘米的正四面體S—ABC（），它每一個(gè)面均為正三角形，每個(gè)三角形面積為2平方厘米。而表面積為8平方厘米　　。顯然，正方體體積大于正四面體體積?！　　　　　⊥普?由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：　　在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。　　例如，表面積為8平方厘米的正四面體，；表面積為8平方厘米的正六面體（正方體），；而表面積是8平方厘米的球?？梢?jiàn)上面的結(jié)論是正確的?！　　九判虿坏仁健?對(duì)于兩個(gè)有序數(shù)組：　　a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn，　　則a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）　　T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（亂序）≥a1b　　n+a2bn1+……+anb1（倒序）（其中b抇b抇……、b抇n　　為bb……、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時(shí)，式中等號(hào)成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、……九、十個(gè)人的桶，分別需要……、10分鐘。問(wèn)：如何安排這10個(gè)人的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？　　解 設(shè)每人水桶注滿時(shí)間的一個(gè)有序數(shù)組為：1，2，3，……，9，10。　　打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個(gè)有序數(shù)組，等候時(shí)間最長(zhǎng)的人數(shù)排前，這樣組成　　1，2，3，……，9，10?！　「鶕?jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即　　110+29+38+47+56+65+74+83+92+101　　=（110+29+38+47+56）2　　=（10+18+24+28+30）2　　=220（分鐘）　　其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。最優(yōu)方案與最佳策略 【最優(yōu)方案】　　例1 某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工0、4小時(shí)。已知A、B、C、D四臺(tái)設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間分別是1112小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤(rùn)200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤(rùn)300元。問(wèn)：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤(rùn)？　?。ㄖ袊?guó)臺(tái)北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）　　講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間每天最多為12小時(shí)，則有：（2a＋2b）不超過(guò)12?！　∮郑╝＋2b）不超過(guò)8，　　4a不超過(guò)16，　　4b不超過(guò)12。　　由以上四個(gè)條件知，　　當(dāng)b取1時(shí)，a可取4；　　當(dāng)b取2時(shí)，a可取4；　　當(dāng)b取3時(shí)，a可取2?！　∵@樣，就是在以上情況下，求利潤(rùn)200a＋300b的最大值?？闪斜砣缦拢骸　?　　所以，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤(rùn)1400元?！　±? 甲廠和乙廠是相鄰的兩個(gè)服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個(gè)廠的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月　　聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過(guò)去每月能多生產(chǎn)成衣______套?！　。?989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）　　的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長(zhǎng)于生產(chǎn)褲子，乙廠長(zhǎng)于生產(chǎn)上衣?！　∪绻讖S全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)　　　　如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)　　　　把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150條褲子的時(shí)間可用來(lái)生產(chǎn)成套的成衣　　　　故現(xiàn)在比過(guò)去每月可以多生產(chǎn)60套?！咀罴巡呗浴俊　±? A、B二人從A開(kāi)始，輪流在……、1990這1990個(gè)數(shù)中劃去一個(gè)數(shù)，直到最后剩下兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否則A勝。問(wèn)：誰(shuí)能必勝？制勝的策略是什么？　　（《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）　　講析：將這1990個(gè)數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組；（2），（4），（6），…，（1981990）。　　當(dāng)A任意在括號(hào)中劃去一個(gè)時(shí)，B就在同一個(gè)括號(hào)中劃去另一個(gè)數(shù)。這樣B就一定能獲勝。　　例2 桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問(wèn)：誰(shuí)可獲勝？　?。?992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）　　講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏?，可以做到只?根。誰(shuí)要搶到第1992根，誰(shuí)就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1981981980、…、3根。　　誰(shuí)搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。　　后者獲勝的策略是，當(dāng)先取的人每取一次火柴梗時(shí)，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來(lái)的和等于3?！　±? 有分別裝球73個(gè)和118個(gè)的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問(wèn)：若要先取者為獲勝，應(yīng)如何取？　?。ㄉ虾Ｊ袛?shù)學(xué)競(jìng)賽試題）　　講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。直接思路　　“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過(guò)分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！　　卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，提出可以解決的問(wèn)題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問(wèn)題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法”?！　±? 兄弟倆騎車(chē)出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見(jiàn)到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米？　　分析（按順向綜合思路探索）：　?。?）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？　　可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離?！　。?）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？　　可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米?！　。?）通過(guò)計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個(gè)條件，可以求什么？　　可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間。　?。?）狗在哥哥與弟弟之間來(lái)回不斷奔跑，看起來(lái)很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰(shuí)用的時(shí)間是一樣的？　　狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是相同的?！　。?）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來(lái)回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么？　　可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離？　　這個(gè)分析思路可以用下圖（）表示?！　　±? 下面圖形（）中有多少條線段？　　分析（仍可用綜合思路考慮）：　　我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來(lái)計(jì)數(shù)。　?。?）左端點(diǎn)是A的線段有哪些？　　有 AB AC AD AE AF AG共 6條?！　。?）左端點(diǎn)是B的線段有哪些？　　有 BC、BD、BE、BF、BG共5條。　?。?）左端點(diǎn)是C的線段有哪些？　　有CD、CE、CF、CG共4條。　?。?）左端點(diǎn)是D的線段有哪些？　　有DE、DF、DG共3條?！　。?）左端點(diǎn)是E的線段有哪些？　　有EF、EG共2條?！　。?）左端點(diǎn)是F的線段有哪些？　　有FG共1條?！　∪缓蟀堰@些線段加起來(lái)就是所要求的線段。　　【逆向分析思路】從題目的問(wèn)題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件，然后把其中的一個(gè)（或兩個(gè)）未知的條件作為要解決的問(wèn)題，再找出解這一個(gè)（或兩個(gè)）問(wèn)題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法?！　±? 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時(shí)相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，但這次水流速度為平時(shí)的2倍，所以?xún)纱嘤龅牡攸c(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60米，求A、B兩地間的距離?！　》治觯ㄓ梅治鏊悸房紤]）：　　（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？　　需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間。　?。?）要求兩船的速度和，必要什么條件？　　兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速水速=2個(gè)船速（實(shí)為船在靜水中的速度）　　（3）要求相遇的時(shí)間，根據(jù)題意要什么條件？　　兩次相遇的時(shí)間因?yàn)榫嚯x相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說(shuō)，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會(huì)改變相遇時(shí)間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60米，由此可知兩船相遇的時(shí)間為60247。30=2（小時(shí)）?！　〈朔治鏊悸房梢杂孟聢D（）表示：　　例2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（），求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（）　　　分析（仍用逆向分析思路探索）：　?。?）要求每個(gè)小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？　　曲邊四邊形的面積，沒(méi)有公式可求，但若知道8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個(gè)曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個(gè)小曲邊四邊形的面積了。　?。?）要求8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？　　8個(gè)小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個(gè)圓環(huán)的總面積減去五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積就可以了?！　。?）要求五個(gè)圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？　　求出一個(gè)圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個(gè)圓環(huán)的總面積?！　。?）要求每個(gè)圓環(huán)的面積，需要什么條件？　　已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。　　圓環(huán)面積公式為：　　S圓環(huán)=π（R2r2）　　=π（R＋r）（R－r）　　其思路可用下圖（）表示：　　【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問(wèn)題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡(jiǎn)明實(shí)用?！　±? 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？　　分析（用一步倒推思路考慮）：　?。?）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？　　因?yàn)橛幸恢豢裳b3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個(gè)2千克水。　?。?）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時(shí)10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時(shí)7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時(shí)10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時(shí)7千克桶里無(wú)水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因?yàn)樵?千克水，這時(shí)也正好是5千克水了?！　∑渌悸房捎孟聢D（）表示：　　問(wèn)題：　　　　例2 今有長(zhǎng)度分別為3……9厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？　　分析（仍可用一步倒推思路來(lái)考慮）：　?。?）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？　　根據(jù)題意，必須知道兩個(gè)條件。一是確定正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍，二是每一種邊長(zhǎng)有幾種組成方法?！　。?）從條件順推?！　、僖?yàn)榫艞l線段的長(zhǎng)度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍為（1+2+……　?、诋?dāng)邊長(zhǎng)為7厘米時(shí)，各邊分別由1+2+3+4及7組成，只有一種組成方法?！　、郛?dāng)邊長(zhǎng)為8厘米時(shí)，各