【正文】 。 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 87 解：由曲柄 I – I的尺寸求得 b?查表 ，并利用插入發(fā)，求出 于是由公式（ ）和（ ）得 3 5 4 4 ?bM P abT 3m ax ?? b? 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 88 思考： 如圖中所示，矩形截面桿在扭轉(zhuǎn)時其橫截面上邊緣處的切應(yīng)力總是與周邊相切，而橫截面頂點處的切應(yīng)力總是等于零。為什么？ 第三章 扭轉(zhuǎn) 一般矩形截面等直桿 狹長矩形截面等直桿 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 89 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 90 *167。 38 開口和閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形 Ⅰ . 開口薄壁截面桿 (例如角鋼、工字鋼和槽鋼 ) 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 91 2. 不考慮橫截面相鄰組成部分 (矩形 )在連接處的復(fù)雜應(yīng)力變化情況，認(rèn)為橫截面每一矩形部分的切應(yīng)力分布仍與狹長矩形截面等直桿橫截面上相同，即 iiiiii ITWT ??,t,tm a x , ??第三章 扭轉(zhuǎn) jjjjj ??????????? ni ??21近似假設(shè)： 1. 認(rèn)為橫截面由若干矩形組成，桿的各組成部分的單位長度扭轉(zhuǎn)角 相同，且就是桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角 j39。，即 ij? 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 92 (1) 應(yīng)力及變形的計算公式 由假設(shè) (1)有 ttt2t21t1GITGITGITGITGITnnii ?????? ????????niiinii hII131tt 31 ?將上式中的前 n 項的分子分母各自相加后有 ? ? ttt2t1t 21 GITIIIIGTTTTnini ??????????????代入后可知因 1???niiTT式中， T 為桿的整個橫截面上的扭矩， It 為整個橫截面的相當(dāng)極慣性矩。 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 93 根據(jù)假設(shè) 2并注意到 可知桿的每一組成部分橫截面上位于長邊中點處的最大切應(yīng)力為 ,ttIITT ii ?iiiiiii ITITWT ???tttm a x ??????? ntiihTIT13m a xm a xtm a x31 ????(2) 各組成部分橫截面上的最大切應(yīng)力 ?max 而整個桿的橫截面上的最大切應(yīng)力 ?max在厚度最大 (?max)的那個矩形的長邊中點處： 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 94 ??????niiihII13tt 31 ???tGIT??j(3) 桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角 根據(jù)實驗結(jié)果有： 角鋼截面 ? =,槽鋼截面 ? =,T形鋼截面 ? =，工字鋼截面 ? =。 ???niiihI13t 31 ?式中， 。對于型鋼，由于其橫截面的翼緣部分是變厚度的，且橫截面邊緣處以及內(nèi)部連接處有圓角，增加了桿的剛度，故在計算扭轉(zhuǎn)角時應(yīng)采用乘以修正因數(shù) ?后的相當(dāng)極慣性矩 It?： 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 95 例題 39 鋼制有縱向切縫的開口環(huán)形薄壁截面桿，如圖所示。已知：作用于桿兩端的扭轉(zhuǎn)力偶矩為 Me= 30 Nm，平均直徑 d0= 40 mm，壁厚 ? = 2 mm；鋼的切變模量 G=80 GPa。試計算： (1)該開口環(huán)形截面桿橫截面上的最大切應(yīng)力和桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角； (2)若該桿無縱向切縫，求橫截面上的最大切應(yīng)力和桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角。 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 96 解： 1. 有縱向切縫的桿 (開口薄壁截面桿 ) 計算中可將開口環(huán)形薄壁截面展開為狹長矩形截面來處理。 mN30e ??? MT412333303tm103 3 5)m102)(m1040π(31)π(3131??????????? ?? dhI393412ttm102m10335??????????IW第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 97 橫截面上切應(yīng)力沿厚度的變化規(guī)律及指向如圖。 ? ? r ad/ )Pa1080( mN30 4129t ??? ???? ?GI Tj第三章 扭轉(zhuǎn) M P 7 mN30 639tm a x ????????WT? 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 98 橫截面上切應(yīng)力沿厚度的變化規(guī)律及指向如圖。 與有縱向切縫的桿相比，此桿橫截面上的最大切應(yīng)力和單位長扭轉(zhuǎn)角的值以及橫截面上的應(yīng)力情況有了巨大變化。 第三章 扭轉(zhuǎn) 2. 無縱向切縫的桿 (薄壁圓筒 ) ? ? ? ?M P a6Pa106m102m10404π2mN30263230??????????????AT? ?? ? ? ?r a d / m10402Pa1080Pa10621339600???????????????????dGrl?gjj 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 99 近似假設(shè)：橫截面上各點處的切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化，切應(yīng)力的方向與壁厚中線相切。 Ⅱ. 閉口薄壁截面桿 (任意閉口截面的變厚度薄壁等直桿件 ) 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 100 (1) 應(yīng)力的計算公式 由相距 dx的兩橫截面及任意兩個與壁厚中線正交的縱截面取出如圖所示的分離體。如果橫截面上 C 和 D兩點處的切應(yīng)力分別為 ?1和 ?2，則根據(jù)切應(yīng)力互等定理，上下兩縱截面上亦有切應(yīng)力 ?1和 ?2。 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 101 若 C 和 D 兩點處的壁厚分別為 ?1和 ?2，則由該分離體的平衡條件 ∑Fx=0有 ?1?1d x=?2?2d x 從而知 亦即橫截面上沿周邊任一點處 ?? 為常量。 2211 ???? ?第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 102 從而有 (參見圖 )： 02dd AsrsrT ss ???? ?? ??????于是得閉口薄壁截面等直桿橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式： ?? 02 AT? 薄壁圓筒作為這類薄壁桿件的特例，當(dāng)然也適用此公式。事實上此式即是 167。 32中導(dǎo)出的公式。 第三章 扭轉(zhuǎn) 式中， A0為壁厚中線所圍的面積。 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 103 m i n0m a x 2 ?? AT? 閉口薄壁截面等直桿橫截面上的最大切應(yīng)力 ?max在最小壁厚 ?min處： 值得注意的是，開口薄壁截面等直桿橫截面上的最大切應(yīng)力?max是在壁厚最大的組成部分的長邊中點處。 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 104 (2) 桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算公式 桿內(nèi)任一點處的應(yīng)變能密度： 2202202ε 82212 ???GATATGGv ???????????單位長度桿內(nèi)的應(yīng)變能： ??? ???? ssV sGATsGATVvV ??? d8d18d 2022202εε??? s sGAT ?j d4 20當(dāng)壁 厚 ?為常數(shù)時有 ?j 204 GATs??單位長度桿兩端截面上的扭矩作的功： 2j?? TW于是，根據(jù) Vε =W 得單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算公式： 第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 105 例題 310 一等厚度環(huán)形薄壁截面桿 (圖 a)和一等厚度正方的箱形薄壁截面桿 (圖 b) 橫截面面積相等 (A1=A2)，壁厚 ? 亦相等，兩桿的材料和桿的橫截面上的扭矩 T 都相同。試求兩桿橫截面上切應(yīng)力之比 和兩桿單位長度扭轉(zhuǎn)角之比(j139。/j239。)。 21??第三章 扭轉(zhuǎn) 材 料 力 學(xué) Ⅰ 電 子 教 案 106 4ππ2ππ2220202020102020121 ????????????rrrbAAATAT????2. 求 21??3. 求 21jj ?? 0221201022022201121 ?????????????????????brssAAGATsGATs??jj 由以上結(jié)果可知，在橫截面面積相等等規(guī)定條件下，環(huán)形截面桿的抗扭性能比正方的箱形截面桿要好。 解： 1. 根據(jù) A1 = A2 求 r0 與 b 的關(guān)系 2π 0rb ?由 2?r0? = 4b? 得 第三章 扭轉(zhuǎn) 第三章 完