量子統(tǒng)計密度算符ppt課件-資料下載頁
2025-05-07 03:39本頁面
【正文】 ???????）（表示為這里，巨配分函數(shù)一般巨正則熱力學勢）（ 顯然，密度其符的引進并沒有解決粒子不可分辨的問題．在第五章中我們用量子力學微正則計算理想氣體的性質(zhì)己得到與經(jīng)典基本一樣的結果 這結果必須用吉布斯因子校正，與經(jīng)典中所做的那樣 我們將得到關于這類問題的一個解決辦法．并且得到一個一致的量子統(tǒng)計理淪，只要我們考慮到在量子力學狀態(tài)戶相同的粒子 都是不可分辨的 例 l. 2 動量表象中的自由粒子 找出自由粒子在 — 體積為 以及周期性邊界條件的容器里的動量表象 的正則密度矩陣，自由粒于的哈密頓為 ，能量木征函數(shù)為平面波 3LV?mPH 2/2?? ?能量本征值是分裂的，正在一宏觀大的體積中它們相互差別是如此小，從而仍可以簡化為連續(xù)的動量和能量。利用一個盒子與周期性的邊界來形成公式的方便性，在于自動地把粒子包括在有限的體積內(nèi)，而對自由的平面波卻不是這種情況。 本征 函數(shù)是正交歸一的， 而且對波長滿足式 ()的所有用期性函數(shù)是完全的： 我們首先來計算矩陣元 因此，密度矩陣是對角的，其矩陣元與經(jīng)典的動量具有相同的形式 在坐標表象中的自由粒子 找出自由粒子在 — 體積為 以及周期性邊界條件的容器里的坐標表象的正則密度矩陣 在上個例子里，我們計算了在動量表象中的密度短陣 我們只要將其轉換到坐標表象中就成 ： 3LV?這里為了簡單，我們只將量子數(shù)表示在刁矢與刃矢中 練習 威格納變換 我們可以對每一個量子力學單粒子算符，通過 Wigner變換，給予一個相應 的經(jīng)典可觀察量 Wigner變換的逆變換是 Weyl的量子化方法，它允許我們對每一個經(jīng)典可觀察量提供一個量子力學算符在坐標表象中的矩陣元 證明 1)量子力學密度算符 ()的矩陣元 的 Wigner變換得到經(jīng)典的正則相空間密度 2)韋爾的量子化方法應用在經(jīng)典的正則相空間密度上獲得量子力學密度算符的矩陣元 rr ???),( pr?rr ??? 2)若將式 ()代入 ()，我們可以計算 再一次我們對指數(shù)配平方 高斯積分的結果現(xiàn)在為 練習 計算一自由電子的哈密頓平均值 計算上一個例子所討論的自由電子的哈密頓的平均值 解：平均值被定義為： 用動量表象來計算 練習 N個自由粒子的正則密度矩陣 計算 N個自由粒子在體積為 以及周期性邊界條件的容器里的動量坐標表象下的正則密度矩陣。假定許多粒子的波函數(shù)為單粒子狀態(tài) ()波函數(shù)的乘積． 解：多粒子波函數(shù) 3LV?求跡遍布所有不同的能量本征態(tài)，其配分函數(shù)也為各個因子相乘， 因此我們獲得與 ()類似的結果 若我們將 ()與經(jīng)典的結果 ()比較，我們可以注意到吉布斯矯正因子沒有了。因此這里引進的密度矩陣，如已經(jīng)推測的那樣，實際上不能解決有關全同的量子力學粒子是不可分辨的問題 用式 ()與 ()。密度矩陣可寫為： 如上面所討論的那樣，我們也可以將式 ()轉換成坐標表象 : 這里．閉合的關系式 被應用了兩次，將波函數(shù)與式 ()代入， ()成為： 在表達式 ()的括號中，出現(xiàn)了粒子 i的下標 因此， ()的矩陣元仍 是單粒子矩陣元的簡單乘積， 練習 一個諧振子的密度矩陣 用能量及坐標表象來計算一個諧振子的密度矩陣研究，它在 兩個極限的情況 提示：在坐標表象中的能量本征函數(shù)為： 0??? TT 及解：能量表象下的密度矩陣普通為： 這里 已經(jīng)在例 8中計算了 在另一方面，坐標表象比較難得到： 這里我們兩次代入 ()的能量本征函數(shù)完備組 對 n的求和可以得出，因為 因此．式 ()成為 其指數(shù)的宗量是 — 般的二次式，若我們令 上面指數(shù)的宗量可以寫成如下形式 現(xiàn)在若 是個可逆的對稱矩陣，這個普遍的公式 得到滿足． 可以證明如下：首先我們代入新的變量 z=wiy,這里 y被定義為 ,這個變換的雅可比行列式具有絕對值 1，因而沒有附加的因子出現(xiàn) 在積分中。然后有 bAy 1?? ?若這里利用恒等式 最后可得 由在坐標表象中的密度矩陣的對角元直接得到 一量子力學振子在溫度 T時的平均密度分布． 這是 — 高斯分布．其寬度為 這是振子在基態(tài) 時，純粹的量子力學密度分布 因此，密度矩陳 ()包含了：在高溫時，經(jīng)典極限；在很低溫度時，量子力學基態(tài)密度 (練習 ) 0?
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