【正文】 ４ .位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（保續(xù)性要求） 上述四個條件中，若全部滿足，這樣的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱 為協(xié)調(diào)單元，若只滿足前三條，則稱為非協(xié)調(diào)單元 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù)與解的收斂性 下面我們用以下四個條件來考察三角形常應(yīng)變單元的位移函數(shù) （１）由 ?=[?x , ?y , ?xy]T =[?2 , ?6 , ?5 + ?3] T 因 ?2 , ?6 , ?5 + ?3都是常數(shù)，與某坐標(biāo)無關(guān)，因此含有常應(yīng)變項 （２）將位移函數(shù)可改寫成 yxyu 22 532351 ?????? ??????xyxv 22 536354 ?????? ??????南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù)與解的收斂性 當(dāng)發(fā)生剛體位移時： ?x = ?x = ?xy =0 也就是 ?2 = ?6 = ?5 + ?3 = 0 這時： 其中 u0 , v0為平動位移分量。 ?0為單元繞垂直于 x， y平面的軸線作剛體轉(zhuǎn)動時的角位移，它 表示了剛體位移。 yuyu 00351 2 ???? ?????yvxv 00354 2 ???? ?????南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù)與解的收斂性 （３）位移函數(shù)（２ ２）或是 x， y的單值連續(xù)函數(shù)，故滿足連續(xù)性 要求。 （４）位移函數(shù)（２ ２）式是線性函數(shù)，由于相鄰單元在公共節(jié)點 處的位移值相等，而通過兩個節(jié)點可以連成一直線，其連線上的位 移相同，因此邊界上各點的位移是連續(xù)的，不會出現(xiàn)： 綜上所述，三角形常應(yīng)變單元屬于協(xié)調(diào)元 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 單元剛度方程 對單元進行力學(xué)特性分析目的在于確定單元節(jié)點力與節(jié)點位移的 關(guān)系，并稱之為單元剛度方程：Ｋ e ?e =Ｆ e 式中： Ｒ e ， ?e ——單元節(jié)點力及節(jié)點位移列陣 Ｋ e ——單元剛度矩陣 基本方法 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 基本方法 建立上述方程時可采用的方法 （１）直接剛度法 （２）虛位移原理或最小勢能原理 ——位移型有限元 （３）余虛功原理或最小余能原理 ——力法有限元 （４）變分法（非結(jié)構(gòu)問題） 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 基本方法 單元特性分析的步驟 （１）假設(shè)位移函數(shù) （２）建立應(yīng)力，應(yīng)變與節(jié)點位移間的關(guān)系 （３）由能量原理，建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移間的關(guān)系 （４）得到單元剛陣 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 （１）上節(jié)的知識可以知道 位移函數(shù)為： u=Ｎ iui +Ｎ juj+Ｎ mum v=Ｎ ivi +Ｎ jvj+Ｎ mvm 式中 Ｎ i=（ ai + bix + ciy）／（２ ?） （ i=i,j,m） （２）應(yīng)力應(yīng)變與節(jié)點位移的關(guān)系 對三節(jié)點三角形單元，節(jié)點位移 ?e =[ui , vi , uj , vj , um , vm]T Fe =[Fix , Fiy , Fjx , Fjy , Fmx , Fmy]T 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 由彈力知識可知，幾何方程為： ????????????????????????????????????????????????????????????mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcubububxvyuyvxu21????南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 ????????????????????????????????mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbb..21 令：Ｂ =[Bi , Bj , Bm]且 （ i=i,j,m） 方程可簡寫為： ?= Ｂ ?e ????????????iiiiibccbB 0021南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 我們稱Ｂ ——單元的幾何矩陣，其物理意義反映了單元任一點 的應(yīng)變與單元位移之間的關(guān)系。 對于一個給定的單元，節(jié)點坐標(biāo)一定，系數(shù) bi， ci也隨之確定， ?也為常數(shù)，所以幾何矩陣為常量矩陣，這也證明３節(jié)點三角形單 元是一種常應(yīng)變單元。 由彈性理論中關(guān)于平面問題的物理方程可知，當(dāng)不考慮變溫影 響時，單元中任一點的應(yīng)力 ?為 : ? =D? 式中Ｄ為彈性矩陣，反映了單元材料方面的特性。 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 由上面應(yīng)變與節(jié)點位移之間的關(guān)系代入后可得 ? = D? = DB?e 若令 S= DB 則 ? = S?e 式中， S——稱為單元的應(yīng)力矩陣 物理意義：反映了單元中任一點的應(yīng)力與節(jié)點位移之間的關(guān)系， 對于３節(jié)點三角形單元 D， B為常量矩陣， S也為常量矩陣，這種常 應(yīng)變單元，也是一種常應(yīng)力單元，回顧一下，平面應(yīng)力問題： ?????????????????210001011 2????ED南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 而對于平面應(yīng)變問題 如果采用： 代入 ???????????????????????????????????????????210001011)21(22100011011)21)(1()1(111211????????????? EED???? ???? 11 121EE南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 兩種問題具有相同的描述形式，只是對材料的彈性模量與泊松 比進行相應(yīng)的代換，則在計算中可以采用同樣形式的彈性矩陣。 （３）單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系 在位移型有限元法中，對單元的力學(xué)特性分析，最終是需要建 立節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關(guān)系，也就是確定單元的剛度矩陣。應(yīng) 用虛位移原理來建立這種關(guān)系式。 設(shè)某單元發(fā)生一虛位移，則該單元各節(jié)點上的虛位移為 ?＊ e ， 相應(yīng)地單元內(nèi)任一點處的虛應(yīng)變?yōu)椋? ?＊ 。根據(jù) ?與 ?間的關(guān)系有： ?＊ =B ?＊ e 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 這時單元體在節(jié)點力作用下處于平衡狀態(tài)，根據(jù)虛位移原理， 當(dāng)虛位移發(fā)生時節(jié)點力在虛位移上所做的功等于單元的虛應(yīng)變能， 即： 式中：Ｖ e為單元的體積，上式稱為單元的虛功方程。 把 ? = DB?e和 ?＊ =B ?＊ e代入上式得 由于節(jié)點位移 ?e及節(jié)點虛位移 ?＊ e均為常量，提出積分外，有： ? ??? e TT Vee dVF ??? **??? eT V eTeTee dVDBBF )()( ** ???eV Teee eTT D B dVBF ??? ? ??? **南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 進一步可得： 令： 則上式可寫為 求得了我們所要的形式的方程，稱之為單元剛度方程，式中的 Ｋ e稱為單元的剛度矩陣，反映了節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。 同樣，可采用最小勢能原理來建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān) 系式。 我們得到的單元剛度矩陣Ｋ e是普遍公式，適用于各種類型的單 元，對于三角形常應(yīng)變單元的具體表達式，顯式是什么 eV Te e D B dVBF ?? ???? eV Te D B d VBK eee FK ???南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 （４）三角形常應(yīng)變單元剛度矩陣的顯式： 由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均為常量矩陣，可以提出積分符號， 而 dＶ是單元的微元體體積且 dＶ =t ?dx ?dy 式中 t為單元的厚度，同一單元，厚度 t為常數(shù)，故單元體積 （ ?為單元的面積） 普遍公式就可寫為： 為了便于計算利用 B=[Bi Bj Bm]將上式展開 ?? ???? ee VVe tdx dytdVVDBBtdVDBBK TV Te e ???? ?南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 ? ?mjiTmTjTie BBBDBBBtk???????????????????????????????????mmmjmijmjjjiimijiimTmjTmiTmmTjjTjiTjmTijTiiTiKKKKKKKKKDBBDBBDBBDBBDBBDBBDBBDBBDBBt南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院機械振動沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三角形平面單元的單元剛度矩陣 式中子剛陣為： Krs =t?BrTDBs （ r,s=