【正文】 ? ??它可以用來估計(jì)振動(dòng)的平均頻率 , 進(jìn)而估計(jì)在給定時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)的平均循環(huán)數(shù) . 第三章 單自由度系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)輸入的響應(yīng) 引言 這一章的目的 :(1)介紹一些基本動(dòng)力性質(zhì) , 包括 SDOF系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù) 。響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù) 。在時(shí)間域和在頻率域響應(yīng)都等于結(jié)構(gòu)性質(zhì)乘以荷載 . (2)詳細(xì)介紹荷載為正態(tài)分布的白噪聲的解 . (3)SDOF系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)的極值的統(tǒng)計(jì)分析 . 問題的描述 ??yt??xtt圖示 SDOF系統(tǒng) ??xt 是地震動(dòng) ,假定是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn) . ??yt 是對(duì) 的一個(gè)響應(yīng) . ??xt我們希望這個(gè)響應(yīng)不要超過某一極限值 ,否則結(jié)構(gòu)要倒塌 .這里必須在統(tǒng)計(jì)意義上來研究 .即要研究 : ky? ?? ? ? ? ? ?Pr kkykyy t y f y d y f y d y ?? ???? ? ? ???其中 是 y的概率密度函數(shù) , 是倒塌的概率 . ? ?fy? 是概率密度函數(shù) ,是所有可能的實(shí)現(xiàn) 的概率描述 . 那么我們?cè)鯓觼淼玫剿?, 本質(zhì)上說是這一章的任務(wù) . ? ?fy ??yt SDOF系統(tǒng) ??Pt??ytMKC圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?M y t C y t K y t P t K f t? ? ? ?為了方便兩邊除以 M,得到 ? ? ? ? ? ? ? ?222y t y t y t f t? ? ? ?? ? ? 時(shí)間域求解 ? ? ? ? ? ?y t h t f d? ? ??????? ? ? ? ? ? ?22 / sintddh t e t??? ? ???其中注意 : (1)上面積分在 為零 ,因?yàn)榇藭r(shí)荷載 為零 . ? ?,0?? ??ft(2)對(duì)初始條件即初位移和初速度的響應(yīng)沒有包括 ,因?yàn)檫@部分隨時(shí)間推移會(huì)衰減掉的 . (3) 是 脈沖響應(yīng)函數(shù) (脈響函數(shù) ).因?yàn)槲覀冚斎胍粋€(gè)脈沖得到的響應(yīng)就是它 . ??ht??ht 頻率域求解 我們對(duì)運(yùn)動(dòng)方程 作 Fourier變換得到 ? ? ? ? ? ? ? ?222y t y t y t f t? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 22Y i Y Y F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解為 ? ? ? ? ? ?Y H F? ? ? ?其中 為 復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù) 等于 ? ?H ?? ?21 / 1 2Hi ???????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???注意 : (1) 是 的 FT. ? ?H ? ??ht(2) 時(shí)間域的單位脈沖函數(shù)的卷積積分被頻率域的簡(jiǎn)單乘法所替代 . (3) 復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)說復(fù)數(shù)可以寫成 ? ? ? ? iH H e ?? ? ?? ?22221 1 / 1 2 ta n 2 / 1H ?????????? ??? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ??????? ????? ? ? ?? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?????其中 SDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng) ? 假定響應(yīng) 是正態(tài)分布的 , 那么就需要計(jì)算兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ??yt ? ?? ?221212Ty TTy Ty t dtTy t dtT????????當(dāng) 的極限 . 通常對(duì)于處于彈性 ,并且在初始平衡位置的 SDOF系統(tǒng) . T ??0y? ?? 如何計(jì)算 ?如果利用上面的式子 , 它需要很長(zhǎng)的持時(shí) ,理論上是無窮長(zhǎng) .所以我們可以用別的方法 .下面先介紹 Parseval定理 . 2y? Parseval定理 ? Parseval定理為 : 如果 是兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的過程 ,它們相應(yīng)的 Fourier變換為 ,那么 ? ? ? ?12y t y t和? ? ? ?12YY??和? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 11 ?2y t y t d t Y Y d???? ? ? ?? ? ? ???令 , 上面關(guān)系變?yōu)? ? ? ? ? ? ?12y t y t y t??? ? ? ?22 01 ||y t d t Y d????? ? ? ???最后我們得到 : ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 2 201122l im l imTy TTTYy t y t y t d t dTT? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? 在上面式子中定義 ? ? ? ? 2l i myTYST????? 為功率譜密度函數(shù) . 可以證明這個(gè)定義和我們前面定義的相關(guān)函數(shù)的 Fourier變換為功率譜密度函數(shù)是一致的 .最后我們得到 ? ? ? ?2 012 yy t S d? ?? ? ??? ?2yS???k???? ? /2ykS ?? ? ? ? ?2 12 yky t S?? ? ? ? ?o物理意義 : 頻率域解 功率譜密度函數(shù) ? 我們知道 ? ? ? ? ? ?y t h t f d? ? ??????? 兩邊作 Fourier變換有 ? ? ? ? ? ?i t i ty t e d t h t f d e d t? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ????? ? ?? ? ? ? ? ? itY f h t e d t d? ? ??? ??? ? ? ???? ? ???????? ? ? ? ? ?: iit Y f e d h e d??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??令有所以 ? ? ? ? ? ?Y H F? ? ? ?這和前面得到的式子一樣 . ? 上面式子兩邊乘以它們的共軛再除以 T,并令 得到 T ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?* * *11Y Y H F H FTT? ? ? ? ? ? ?有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2222yfYF H S H STT??? ? ? ? ?? ?? 這樣得到 ? ? ? ? ? ? ? ?22 001122 yfy t S d H S d????? ? ? ? ? ? ???用上面公式可以計(jì)算 ,另外 , 這樣就可以利用Chebychev不等式或者正態(tài)分布函數(shù)來計(jì)算超過預(yù)定位移限值的概率 . 2y? 0y? ? 自相關(guān)函數(shù) ? 各態(tài)歷經(jīng)型的隨機(jī)過程 ,例如荷載函數(shù) ,它的自相關(guān)函數(shù)定義為 ??ft? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1l i m 2 Tf TTR f t f t f t f t f t f t d tT? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ??兩邊作 Fourier變換得到 ? ? ? ? ? ?21122iffFR e d ST???? ?????? ? ??再作 Fourier逆變換得到 ? ? ? ? ? ?01 1 12 2 2iif f fR S e d S e d??? ???? ????? ? ? ? ? ???? 上式如果 , 我們得到 0??? ? ? ? ? ?2022 2ffR S d f t? ?? ? ? ?? 舉例 1 2 在隨機(jī)荷載下的單層框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì) 通過兩個(gè)例題來說明 . 1 2 隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的極值 顯著頻率 如果響應(yīng) 是正態(tài)分布 ,具有 的psdf, 那么在單位時(shí)間 內(nèi)穿過 的平均交差數(shù) 為 ??yt ? ?fS ?0t 0y? 0n? ? ? ? 1 / 220 001 /yyn S d S d? ????? ? ? ? ? ???????上面式子中的兩個(gè)積分可以利用殘數(shù)方法去做 , 在特殊情況下可以簡(jiǎn)化 .(1)是小阻尼 ,(2)隨機(jī)荷載譜接近常數(shù) 有 ? ? 0fSS??? ? ? ? 20220 || 4yS d S H d S ?? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? 32 2 200|| 4yS d S H d S ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?這樣得到 0 /n ???形狀頻率為 022nf ????? 在單位時(shí)間 內(nèi)穿過非零界限 的平均交差數(shù)為 0t ky22/20 kyykn n e???其中 的方差 為 ??yt 2y?? ? ? ?22 012yyy t S d? ? ?? ? ? ? ? ?? 響應(yīng)的包絡(luò)函數(shù) 的瑞利分布函數(shù) ??at如果 sdof系統(tǒng)有小阻尼 , 并且隨機(jī)荷載有較寬的頻帶 即 ,那么響應(yīng)可以寫為 ? ?? ?0fSS??? ? ? ? ? ?s iny t a t t t?????? ??其中位移幅值的包絡(luò) , 相角在 平均分布 . ? ? 0at ? ? ?0,2?我們假定隨機(jī)變量 和 的聯(lián)合分布概率密度函數(shù)為 a ?? ? 22/22, 2 yayaf a e ??????這兩個(gè)變量是獨(dú)立的所以有 ? ? ? ? 222 /220 , yayag a f a d e? ????????這是瑞利分布 . 相角的概率密度函數(shù)為 ? ? 12h ? ?? 舉例 基于上面分析 ,包絡(luò)函數(shù) 超過指定值 的概率為 ??at ka? ? ? ?Prkk aa a g a d a??? ?這兩個(gè)隨機(jī)量的平均值為 : ? ?? ?020a a a g a d ahd???? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng) 04 第四章 多自由度系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)輸入的響應(yīng) Mdof系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力分析原則 ? 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?m y t c y t k y t f t? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 這里阻尼是相對(duì)簡(jiǎn)單的類型被稱為 Rayleigh阻尼 ,阻尼矩陣可以是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合 : ? ? ? ? ? ?c m k????? 線性 mdof系統(tǒng)的分析可以有四種方法 : 物理坐標(biāo) 廣義坐標(biāo) 時(shí)間域 頻率域 1 2 3 4 時(shí)間域分析 (物理坐標(biāo)下 ). ? 運(yùn)動(dòng)方程的解為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y t h t u f u d u h u f t u d u??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???其中 是 的脈沖響應(yīng)矩陣 . 其中元素 表示 : 在第 個(gè)物理坐標(biāo)上作用一個(gè)單位脈沖 , 在第 個(gè)物理坐標(biāo)上的響應(yīng) . ? ?ht????nn? ? ?jkhtk j? 如果荷載向量 是正態(tài)分布的 , 那么正態(tài)響應(yīng) 的統(tǒng)計(jì)描述由均值向量 和相關(guān)矩陣 (或協(xié)方差矩陣 )完成確定 . ? ?ft???? ? ?yt????y????? ? ?yR ?????? ?yK ?????a) 均值向量為 ? ? ? ? ? ? ? ?yfy t h u f t u d u h u d u?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???后面的等式成立是對(duì)于平穩(wěn)過程而言 , 它具有與時(shí)間無關(guān)的均值向量