【正文】 工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中，為解決多工況、多約束問題提出了有效途徑。夏人偉等人研究了以函數(shù)的二階近似為基礎的對偶算法，并提出了一種桿系結(jié)構(gòu)幾何優(yōu)化的廣義中間變量近似方法。1994年隋允康、邢譽峰等人利用兩點積累信息和兩點有理逼近對對偶優(yōu)化方法進行了改進，提出了原、倒變量展開的對偶優(yōu)化方法，克服了Fleury將對偶規(guī)劃引入可分離變量問題中的缺陷；隋允康，林龍富提出了序列有理規(guī)劃SRP方法，將非線性規(guī)劃問題分別化為等效的LP問題和等效的QP問題進行求解。1995至1996年，隋允康、于新等人對曲線尋優(yōu)的理論進行了大量的研究，找到了有效的近似解析方法及其逼近方法。1996年隋允康依據(jù)Duffin縮并公式將空間框架的尺寸優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為廣義幾何規(guī)劃問題（GGP），基于有限元法概念提出了以梁截面特性（截面積和抗彎模量）為設計變量的解析解。 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的概念以及優(yōu)點結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計是相對于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設計而言的傳統(tǒng)。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設計是指設計者根據(jù)設計要求,如結(jié)構(gòu)尺寸、荷載等級,確定結(jié)構(gòu)方案,然后進行強度、剛度、穩(wěn)定等各方面的計算。結(jié)構(gòu)設計的主要目的也是簡單滿足安全使用，由于沒有正確的方法指導，常常造成不必要的材料浪費。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計是指設計者根據(jù)設計的要求，在滿足各種規(guī)范或某些特定要求的條件下，利用數(shù)學手段使某些廣義性能指標（如重量，造價，剛度或頻率）為最佳。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計與傳統(tǒng)的設計方法相比較,有一下有點：（1）優(yōu)化設計可以加速設計速度、節(jié)省工程造價。（2），可以是單構(gòu)件,也可以是整個建筑構(gòu),設計變量可以是一個，也可以是多個。（3）設計者能夠利用優(yōu)化方法進一步貫徹設計意圖。（4）結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法為結(jié)構(gòu)研究工作者提供了一條新的科研途徑。 國內(nèi)外結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的發(fā)展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計從馬克斯威爾理論（Macwell,1980）和米歇爾（Michell,1905)桁架出現(xiàn)已有百年，從史密特（Schmit）用數(shù)學規(guī)劃來解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計算起亦有 40年歷史，在過去30年，在理論，算法和應用方面都取得了長足的發(fā)展，優(yōu)化領(lǐng)域涉及航空航天、土木、橋梁、鐵路、能源工業(yè)以及軍事工作等諸多方面，主要處理那些具有復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的涉及，如飛機、衛(wèi)星、機器人、射電望遠鏡等，或者大規(guī)模的工程建設，如大壩，橋梁，核電站，或者產(chǎn)量大的汽車，機械和輕工業(yè)以及創(chuàng)新型的產(chǎn)品涉設計。優(yōu)化的應用研究還擴大都國土開發(fā)資源利用，環(huán)境監(jiān)控與生態(tài)保護，以及海洋工程等領(lǐng)域，并且作為一種技術(shù)手段用于解決諸如系統(tǒng)辨識，工程反分析等問題。目前優(yōu)化應用與實際成效遠落后于優(yōu)化理論的發(fā)展,應用與理論差距較大的原因是諸多方面的,諸如優(yōu)化本身的性質(zhì),理論研究不足,實際應用中的問題等。由于理論上的局限,很多算法僅當模型正確良好時,才能獲得穩(wěn)定的收斂解,因此大量的文章都限于討論連續(xù)型設計變量,單一目標和確定性問題的優(yōu)化，而客觀世界中的現(xiàn)實問題常包含離散變量，評價設計優(yōu)劣的標準不是一個而是多個，模型和有關(guān)參數(shù)亦不是完全確定的而是隨機的、模糊的。可見模型與現(xiàn)實之間存在較大差距, 有些甚至是根本性的,而忽略這些,過分簡化,即使得到了最優(yōu)解亦很難回歸到真實世界中去。另外作為工程設計往往積累有很多經(jīng)驗與知識,形成規(guī)范與常識來指導設計過程,其中有些是難于進行數(shù)學描述的。實際結(jié)構(gòu)問題,往往十分復雜,涉及各種因素(環(huán)境,荷載,幾何特征,材料,施工,費用等)受多方面的制約,因此必須抓住問題的主要方面和主要矛盾,形成數(shù)學模型,才能實施優(yōu)化。因此優(yōu)化設計的價值與有效性取決于所用的數(shù)學模型和相應的優(yōu)化算法，特別與所選用的設計變量,所考慮的約束條件和規(guī)定的目標函數(shù)有密切關(guān)系。工程設計者關(guān)心的是安全、可靠與經(jīng)濟，往往尋求滿意解而不一定是最優(yōu)的；數(shù)學工作者與研究人員興趣在于尋求問題的精確最優(yōu)解。這在廣義上反映了科學界與工程界觀念上的差異和價值的不同。如何從實際問題中提取出合適的模型，這是工程設計者的任務。由于實際問題的多樣性，且各具特色，還缺乏具體的系統(tǒng)的方法與規(guī)則，以及簡化的尺度。因此只有加深對優(yōu)化原理與方法的理解，通過實踐逐步積累經(jīng)驗，才能掌握有關(guān)辨識問題、模型抽象、選擇合適算法與求解的技能，當然這需要發(fā)展的時間。還應指出，優(yōu)化設計是一種“綜合”,它要綜合各方面的因素、要求和約束, 以產(chǎn)生一個盡可能理想和滿意的設計方案,顯然其復雜和困難程度要比單純的分析大得多,計算工作量有量級上的差別,需要有高速、大容量的計算機和完善的軟件支持，才能取得成效。以上這些問題目前正在得到改進與克服，人們更加注意離散變量、多目標問題與非確定性優(yōu)化的研究與應用，模型塑造亦更加切合實際要求，形成若干程式。隨著計算機硬軟件的飛速進展，出現(xiàn)了更為靈活、適應性更廣的算法。優(yōu)化技術(shù)提高與完善了計算機輔助設計制造(CAD/CAM)的水平與性能，而CAD/CAM的發(fā)展與普及反過來又促使優(yōu)化設計的深化與實用。在工程設計中人們對優(yōu)化方法的應用正逐漸深入普及。 結(jié)構(gòu)優(yōu)化幾個主要問題的現(xiàn)狀與發(fā)展（1）離散變量問題在結(jié)構(gòu)設計中，經(jīng)常遇到的設計變量不是連續(xù)的，而是離散的，例如結(jié)構(gòu)單元參數(shù)取值是一些非連續(xù)點，鋼筋與型鋼都有一定的規(guī)格和型號。因此考慮設計變量從預定的離散序列中取值，更符合實際。離散變量優(yōu)化的基本特點是變量取值的離散性，可行解集在設計空間中呈散點狀分布，即可行域變?yōu)榭尚须x散解。從而數(shù)學模型中目標函數(shù)和約束函數(shù)不再具有連續(xù)性與可微性，原有連續(xù)變量優(yōu)化中許多有效的解析算法就無法應用，如各種梯度型算法；原有庫恩一塔克條件亦失去其意義與作用；而且離散變量優(yōu)化的數(shù)學模型必然屬于非凸規(guī)劃，使各種對偶算法在很大程度上失去其有效性（對偶間隙無法估計）。雖然人們對離散結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的研究較早，但是由于無法克服離散變量優(yōu)化本身的困難特征，關(guān)于這個領(lǐng)域的研究發(fā)展比較緩慢。工程界處理離散變量優(yōu)化問題的規(guī)模都較大，但他們并不追求較嚴格的最優(yōu)解，只希望能有較好的近似解，并能估計出近似解與全局最優(yōu)解的誤差。近年來，隨著優(yōu)化方法越來越多應用到實際工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中，許多研究人員開始把關(guān)注點放到該領(lǐng)域，提出和發(fā)展許多相關(guān)的求解方法（分枝定界法、離散拉格朗日法、罰函數(shù)法、圓整法、相對差商法以及遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法、協(xié)調(diào)搜索算法等啟發(fā)式方法）。在各種求解方法中，數(shù)學規(guī)劃方法及其延拓、仿生優(yōu)化方法通用性較強，能夠較好考慮離散變量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，但這些方法求解效率一般不高，優(yōu)化過程需要較多結(jié)構(gòu)重分析，因此若想在實際結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中得到廣泛應用，還需進一步提高其優(yōu)化效率。圓整法和相對差商法計算效率較高，但這兩種方法均需要基于某些假設（圓整法假定離散優(yōu)化解位于連續(xù)優(yōu)化解附近；相對差商法則基于目標函數(shù)以及約束函數(shù)與設計變量之間的單調(diào)性關(guān)系假設），而這些假設卻往往不一定成立，為了應用到實際結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中，還需對這些方法作進一步修正和拓展。（2）多目標優(yōu)化無論是在自然學科領(lǐng)域還是在社會學科領(lǐng)域，以最小的成本獲取最大的效益，始終是人類追求的目標。最小化成本的同時最大化效益，將一對矛盾的兩個方面同時考慮，構(gòu)成了一個典型的多目標優(yōu)化問題。工程實踐中的方案設計，社會發(fā)展與國民經(jīng)濟中的規(guī)劃與決策，大都可以視為多目標優(yōu)化問題。多目標優(yōu)化問題，由于有二個以上的目標函數(shù)，且各個目標往往具有矛盾性，目標在未經(jīng)處理之前常具有不可公度性，因此通常不存在或者不能求得問題的“絕對最優(yōu)解”，只能求得“滿意解”。多目標優(yōu)化問題的求解方式可以由分析人，員提供滿意解集，然后由決策者從中選擇一個或幾個解方案；亦可由決策者與分析者事先商定好“偏愛”或挑選準則，在分析計算過程中依據(jù)這些準則，直接給出選擇好的解求解多目標優(yōu)化問題的方法很多，較為常用的有約束法，評價函數(shù)法，功效系數(shù)法，目的規(guī)劃法，多屬性效用函數(shù)法等。（3）優(yōu)化建模建立優(yōu)化數(shù)學模型是開展優(yōu)化工作的關(guān)鍵一步,對實際應用的工程技術(shù)人員而言，如何從復雜的現(xiàn)實問題中抓住主要矛盾和本質(zhì)內(nèi)容，抽象出合理和性態(tài)良好的模型，是優(yōu)化成功應用的關(guān)鍵。建模通常包括：建立評價方案優(yōu)劣的準則函數(shù)或目標函數(shù)；抓住影響問題的主要因素,提取相應的設計變量；以及根據(jù)對問題的各種規(guī)定限制與要求，確定有關(guān)的約束條件。在“建模、變換、優(yōu)化一結(jié)構(gòu)綜合方法新進展”，中隋允康詳細介紹他在模型化上的工作與成果，他根據(jù)關(guān)系映射反演原則（RMI）分析線性規(guī)劃與幾何規(guī)劃中的對偶算法和二次規(guī)劃中的Lemke算法，提出用序列映射方法求解廣義二次規(guī)劃的算法，將離散變量問題映射為連續(xù)變量問題，以及拓撲優(yōu)化中若干新的概念與方法。要簡化復雜的實際問題,往往要采用近似化手段。書中介紹了一階泰勒展式之外的若干更好的近似函數(shù)，包括從線性展開到保守展開，單點展開到多點累積展開，由局部到中等范圍甚至大范圍的逼近等。由于結(jié)構(gòu)物本身的材性和所處的環(huán)境是受許多不確定性因素影響的，因此它的性態(tài)響應亦不是完全確定的。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方案不僅是某特定條件下的最優(yōu)解，還必須能適應結(jié)構(gòu)自身缺陷和外部條件的變異的可靠方案，而滿足常規(guī)確定性約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方案可能對這種變異比較敏感，是不穩(wěn)定甚至脆弱的，為此開展了基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計，但可靠度分析需要大量的基本變量與參數(shù)的概率特征資料，目前往往缺乏。劉國華等建議采用健壯性約束的概念，即對關(guān)系到結(jié)構(gòu)安全的若干性態(tài)約束，要計及內(nèi)部和外部不確定性引起的變異，這種約束所需的指標參數(shù)較易確定，所增加的工作量亦主要依賴于敏度分析的計算量。優(yōu)化模型建立，并不是一勞永逸，而應是一個不斷完善的過程。首先應進行模型正確性檢驗,諸如輸入格式檢查，變量和參數(shù)個數(shù)的說明與實際輸入的一致性，變量上下限和約束函數(shù)情況是否合理（可行域是否為空）。其次是模型全局特征的識別，主要是優(yōu)化問題的規(guī)模、類型屬性等，特征的獲取可以通過交互詢問方式,亦可直接由模型軟件提供。再次是在迭代搜索過程中獲取局部特征，主要是可行域的形態(tài)，目標函數(shù)的相對變化趨勢，作用約束與冗余約束，以及通過靈敏度分析揭示設計變量，目標與約束函數(shù)之間及同類內(nèi)部的相互影響及其影響程度，以指導優(yōu)化搜索和分析方案的穩(wěn)定性與健壯性。除了在迭代過程中積累這些局部特征信息，亦可分階段地通過正交采樣法和隨機抽樣法來獲得局部特征。在對模型進行正確性檢驗和特征識別后，就可及時開展模型調(diào)整，諸如壓縮模型維數(shù)、刪除冗余約束、凍結(jié)非作用約束、設計變量和設計函數(shù)的尺度變換等，以簡化模型和改善性態(tài),提高優(yōu)化效率和成功率。根據(jù)實際問題，利用結(jié)構(gòu)分析理論，選擇設計變量，確定目標函數(shù)，列出約束條件，即建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型。如何選擇數(shù)學模型與所選的優(yōu)化算法有關(guān)，采用不同的優(yōu)化算法，要建立的數(shù)學模型不同。數(shù)學模型還與問題的提出，要求的精度以及所采用的結(jié)構(gòu)分析方法有關(guān)。① 最優(yōu)化問題的數(shù)學模型一般形式為： （2）其中是優(yōu)化變量，是目標函數(shù)；約束函數(shù)，是等式約束，是不等式約束，等式約束和不等式約束統(tǒng)稱為約束條件。是subject to的縮寫，表示優(yōu)化變量受約束條件的限制。式（）又可寫為： （3）為約束集合，或約束區(qū)域，或可行域。若，稱為可行點或可行解,最優(yōu)化問題可分為有約束問題和無約束問題。其中，若（3）中不含約束條件，即，稱（3）為無約束最優(yōu)化問題，記為：若模型（3）含有約束條件稱之為有約束最優(yōu)化問題。有約束問題依據(jù)約束的性質(zhì)不同又分為等式約束問題、不等式約束問題和混合約束問題；只含等式約束稱之為等式約束問題，只含不等式約束稱之為不等式約束問題，等式、不等式約束均含者稱之為混合約束問題。若模型（2）中的目標函數(shù) 和約束函數(shù)都是線性函數(shù)稱之為線性規(guī)劃。若，至少有一個是非線性的稱之為非線性規(guī)劃。為二次函數(shù)，都是線性函數(shù)稱之為二次規(guī)劃（特殊的非線性規(guī)劃）。一般只討論 的極小問題。若求極大問題，可取便可轉(zhuǎn)化為求的極小問題。② 優(yōu)化設計的三大變量a、設計變量 優(yōu)化設計中，參與結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的變量稱為設計變量。設計變量可以是結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面參數(shù)，如截面的高或?qū)?，截面慣性矩，也可以是和結(jié)構(gòu)整體有關(guān)的幾何參數(shù)，如節(jié)點坐標，梁的間距，拱的失高，還可以使有關(guān)結(jié)構(gòu)材料的參數(shù)，如混凝土標號，材料的彈性模量。設計變量有點是連續(xù)的，有點是離散的。處理連續(xù)設計變量，問題比較簡單。當牽涉離散的設計變量，通常先按連續(xù)變量處理，最后決定方案時，選取最為接近的離散值。b、目標函數(shù)目標函數(shù)是設計變量的函數(shù)，是判別結(jié)構(gòu)設計優(yōu)劣的標準。它是設計變量的函數(shù)，它代表所設計結(jié)構(gòu)的某個最重要的特征和指標。優(yōu)化設計就是從許多的可行設計中，以目標函數(shù)為標準，找出這個函數(shù)的極值（極小或極大），從而選出最優(yōu)設計方案。目前通常以結(jié)構(gòu)的重量作為目標函數(shù)，也有以結(jié)構(gòu)造價、體積、剛度、承載力作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的目標。在需要時，目標函數(shù)也可以用所需要特征的加權(quán)和表示。目標函數(shù)的不同取法，會導致不同的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，所以合理地確定目標函數(shù)至為重要。c、約束函數(shù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中必須滿足的條件稱為約束條件，它反映了有關(guān)設計規(guī)范，計算規(guī)程，運輸，安裝，施工，構(gòu)造等各方面的要求，有時還反映了優(yōu)化設計工作者的設計意圖。對某個或某組量的直接限制的約束條件稱為顯約束；對某些與設計變量的關(guān)系無法直接說明的量加以限制的約束條件稱為隱約束。土建結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的約束條件可以分為兩大類，一類時由設計規(guī)范等有關(guān)規(guī)定和要求的數(shù)值，如鋼筋混凝土的最大或最小配筋率，板的最小厚度，這類約束一般都是顯式約束，一類約束條件是對結(jié)構(gòu)的強度，穩(wěn)定，頻率等的限制，這類約束都是隱約束。約束條件還可以分為等式和不等式約束。 優(yōu)化算法優(yōu)化算法按優(yōu)化方法的特征分，大致可以分為三類，準則方法，數(shù)學規(guī)劃法，隨即規(guī)劃。數(shù)學規(guī)劃法這是將優(yōu)化問題抽象成數(shù)學規(guī)劃形式來求解，即把問題歸結(jié)為在設計空間中，由等式約束超曲面和不等式約束半空間所構(gòu)成的可行域內(nèi)，尋求位于最小目標等值面上的可行點，它便是問題的最優(yōu)解點。數(shù)學規(guī)劃法有嚴格的理論基礎，在一定條件下能收斂到最優(yōu)解，但它要求問題能顯式表示，大多數(shù)還要求設計變量是連續(xù)變量、目標與約束函數(shù)連續(xù)且性態(tài)良好（當然動態(tài)規(guī)劃法能適用于離散變量問題）。對于大型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,收斂性并不好且迭代次數(shù)過多，使結(jié)構(gòu)重分析的工作量過大，從而效率不高。對于線性問題（目標與約束均為設計變量的線性函數(shù)），單純形法已非常成熟(黑箱方算法與卡瑪卡（）算法,它們比單純形法有更高的效率，但這是當變量數(shù)目十分巨大時才比較明顯。對于非線性問題，雖然方法很多，