【正文】 )(2xpuEutExputuxut?????? ??? ???? 0, 0,),(:0222111 xpu xpuput ???Riemann問題 問題描述： 初始時刻，物理量分布存在單個間斷 ；間斷兩側(cè)物理量為 常數(shù) 。 求解思路： 采用積分方程 單個間斷，且間斷兩側(cè)物理量為常數(shù)情況下： 積分方程轉(zhuǎn)化為 代數(shù)方程 代數(shù)方程： 質(zhì)量、動量、能量守恒 計算出 ， 將 與這三個值進行比較，判斷會產(chǎn)生的情況。具體見下圖 ： Copyright by Li Xinliang 32 Riemann問題的具體計算步驟 （全流場） ?????????????????????????????0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut?????? ??? ???? 0, 0,),(:0222111 xpu xpuput ???1. 判斷可能會出現(xiàn)的情況（五種情形之一） ???????????????????iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21**21***,]1)[(12,]21)(21[),(?????????),(),()( 22*11** ?? ppfppfpF ?? a. 定義函數(shù) b. 進行判斷 12 pp ?21 uu ?)0(F )( 2pF)( 1pF情況 5 情況 4 情況 3 情況 1 21 uu ?)0(F )( 1pF)( 2pF情況 5 情況 4 情況 2 情況 1 12 pp ?單調(diào)增函數(shù)，性質(zhì)很好 )(),(),0( 21 pFpFF 21 uu?Copyright by Li Xinliang 33 2. 求解 中心區(qū) 的壓力和速度 21* )( uupF ??單未知數(shù)的代數(shù)方程，迭代求解（例如Newton法， F(p)性質(zhì)好，求解不困難） pF(p)0 0 .5 1 1 .5 2 1 2 8 404F u n c t io n F ( p ) ( E q . 2 . 4 . 1 1 )w it h p 1 = r h o 1 = 1 , p 2 = 0 . 1 , r h o 2 = 0 . 1 2 5*p *p*p*p*u *u)],(),([21 11*22*21* ?? ppfppfuuu ????3. 確定 中心區(qū) 接觸間斷兩側(cè)的密度 以及左、右波傳播的速度 a. 左波為激波的情況（情況 1,3） *2*1,??*2*1,??*2*1, ??)( *111 11*1 uuA A ??? ??? )2,1(2 12 1 * ????? ippcAiiii ?????1111 /?AuZ ?? b. 左波為稀疏波的情況 （情況 2， 4， 5） 2*1**1 /cp?? ? 2/))(1( *11*1 uucc ???? ?*1*11111 。 cuZcuZ t a i lh e a d ????中心區(qū)接觸間斷左側(cè)的物理量 膨脹波的波頭及波尾速度 激波的傳播速度 對于情況（ 5），波尾速度為： 11)5(1 12 cuZ ta il ??? ?中心區(qū)為真空，音速 無定義，改由該式計算 *1cCopyright by Li Xinliang 34 c. 右波為激波的情況（情況 1， 2） 中心區(qū) 接觸間斷右側(cè)的物理量 2222 / ?AuZ ?? )2,1(212 1 * ????? ippcAiiii ?????)( *222 22*2 uuA A ??? ??? b. 右波為稀疏波的情況 （情況 2， 4， 5） 2*2**2 /cp?? ? 2/))(1( *22*2 uucc ???? ?*2*22222 。 cuZcuZ t a i lh e a d ????4. 計算稀疏波區(qū)域的值（如果有稀疏波的話） a. 左稀疏波 b. 右稀疏波 情況 2， 4 22)5(2 12 cuZ ta il ??? ?情況 5： ???????????????????1211),(),()(),(/),(112121122???????ctxutxccptxccptxpctxtxutZxtZt a i lh e a d???????????????????1211),(),()(),(/),(222122222???????cutxtxccptxccptxpctxtxutZxtZh e a dt a i l注意： 教科書 32頁 c的公式有誤！ Copyright by Li Xinliang 35 有限體積法 “擴展的” Riemann問題的計算方法 （中心線 x=0處） 迎風(fēng)型有限體積法，需要求解“擴展的”一維 Riemann問題 0?????? xt f(U)U ????????00)0,(xUxUxURL?????????????????Ewvu????U???????????????????????upEuwuvpuux)(2????f(U)RuRvx y 物理問題分析： 所有物理量均沿 x方向一維分布，沿 y方向均勻分布。 僅需計算 t時刻 x=0處 各物理量的值 v和 w跟隨流體運動 ，相當(dāng)于“ 被動標(biāo)量 ” LuLvLLLLL pwvu ,?RRRRR pwvu ,?*** , pwvu LLL?*** , pwvu RRR?穿過激波及稀疏波，切向速度不變 Copyright by Li Xinliang 36 求解 t時刻 x=0處物理量的具體步驟 Step 1: 求解 得到中心區(qū)壓力 Step 2: 計算中心區(qū)的速度 Step 3: 根據(jù) 及 判斷會出現(xiàn)哪種情況（五種情況之一） Step 4: 根據(jù)具體情況（左、右波是激波還是膨脹波）計算出中心區(qū)接觸間斷兩側(cè)的密度 及 Step 5: 如果中心區(qū) x方向速度 0, 則中心線（ x=0）處的密度及切向速度為接觸間斷右側(cè)的值，否則為接觸間斷左側(cè)的值。 RL uupF ??)( * *p)],(),([21 *** LLRRRL ppfppfuuu ?? ????)(),(),0( RL pFpFF RL uu ?*L? *R?具體公式見本 PPT3334頁， 本頁中上標(biāo)“ L”和“ R”分別對應(yīng)原先的下標(biāo)“ 1”和“ 2” ? ? ? ?? ?????????0,0,*******uifwvuifwvwvTLLLTRRRT???0*?u 0*?ux t v和 w沒有給計算過程帶來任何麻煩 先無視 v和 w的存在 ， 求解標(biāo)準(zhǔn) 1維 Riemann問題 。再根據(jù) u的符號確定中心線的 v和 w Copyright by Li Xinliang 37 作業(yè) 求解 “坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的 Sod激波管問題” x y ?120??物理問題描述：如右圖示 ， 有一條與 x軸夾角120176。 的直線 ， 左右兩側(cè)充滿同種介質(zhì)的無粘完全氣體 。 初始時刻 ， 左右兩側(cè)的氣體狀態(tài)為： 左側(cè)： ， 右側(cè) 試計算 t= 。 ? ? )1,0,1(, ?pu? ? ? ),0,(, ?pu?計算要求： 1） 計算域 網(wǎng)格 2）初值設(shè)置如圖所示； 3）空間離散采用有限體積法計算。采用線性重構(gòu)（見上頁）。時間推進采用 3階 RungeKutta方法 4) 分別采用 FVS方法及 RoeFDS （又稱 Roe Riemann近似解，見本 PPT 22頁） 兩種不同的方法 計算通量。 5） 繪制出 t=、速度 u,v及壓力的二維分布。 6） 繪制出 t= x’軸（垂直于初始間斷面，見右圖）上的密度、沿 x’方向的速度及壓力的一維分布，并同精確解進行比較。 x y ? ? ? ?,1,0,2,0 ?? yx 100/1???? yx)1,0,1(),0,(