李雅普諾夫穩(wěn)定性ppt課件-資料下載頁
2025-04-30 23:30本頁面
【正文】 對于線性定常系統(tǒng)有： （ 1） 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義下穩(wěn)定 的充分必要條件為 A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為 A的最小多項式的單根。（ 2） 系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) Xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要 條件為： A的所有特征值均具有負實部。例 ：設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然，坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定系統(tǒng)在這一平衡狀態(tài)下的漸近穩(wěn)定性條件，并求出系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。 解： 設系統(tǒng)李亞普諾夫函數(shù)為 P由下式?jīng)Q定 取 得：展開得： 解上式 ：漸近穩(wěn)定條件：即：滿足此不等式，必須有故上述系統(tǒng)在原點處是漸近穩(wěn)定的充分條件為又此系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，若此系統(tǒng)為在原點處漸近穩(wěn)定，必為大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。例： 已知線性定常系統(tǒng) 試用李亞普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： 1）平衡狀態(tài) ： X=0是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。 令 代入 由此導出： 故得 判據(jù) P的正定性故 P 是正定的。 根據(jù)定理可知系統(tǒng)的平衡狀態(tài) X=0是漸近穩(wěn)定的李氏函數(shù)：顯然 系統(tǒng)在 X=0平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。二、線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理 ： 若系統(tǒng) 的矩陣 A是 t 的函數(shù)（即時變函數(shù)），則系統(tǒng)在平衡點 Xe=0處是大范圍內(nèi)漸近 穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定連續(xù)對稱正定矩陣Q(t),存在一個連續(xù)對稱正定矩陣 P(t),使得而系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是證明 ：設李亞普諾夫函數(shù)是則 P(t)必是正定且對稱矩陣，其式中由 定理可知，當 P是正定對稱矩陣時，若 Q也是一個正定對稱矩陣，則 是負定的，系統(tǒng)便是漸近穩(wěn)定的。式（ 1）解為式 中， 是系統(tǒng) 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， 是式（ 1）的初始條件，若取所以根據(jù) P(t)是否具有連續(xù)、對稱和正定性來分析線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 三、線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析定理： 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 當系統(tǒng)在平衡點 Xe=0是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定時，其充分必要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣 Q都存在對稱正定矩陣 P， 使得 而系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是 當取 時，證： 設李亞普諾夫函數(shù)為 式中 P為正定的赫米特（實對稱）矩陣 對于離散系統(tǒng)，用 和 之差代替 ,即 類似于連續(xù)系統(tǒng) 中 V(X)的導數(shù)項 因此： 式中， 顯然要滿足系統(tǒng)在 Xe=0點是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件： Q必須是正定對稱矩陣。 如果 沿任意一解的序列不恒等于零， Q也可取為半正定的。例： 設離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)在平衡點處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件。解： 根據(jù)穩(wěn)定定理知P為正定。即 滿足上述條件必有即只有當傳遞函數(shù)的極點位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)在平衡點處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。
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