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2025-04-30 22:13本頁面
【正文】 2Y6Y2Z2Z1Y3d3d24321X3Z365X4Z4Z5X5Z6X6 Y5Y4H(1) 求坐標系 X1Y1Z1相對于 X0Y0Z0的轉角 θ1 用 T1－ 1左乘式 (13－ 40)， 得 T1－ 1 [ 0T6]＝ T1－ 1T1T2T3T4T5T6＝T2T3T4T5T6，X1X0 Y10圖 13－ 18 斯坦福機器人Z0Y0O0X2Y6Y2Z2Z1Y3d3d24321X3Z365X4Z4Z5X5Z6X6 Y5Y4H其中 T1－ 1由式 (13－ 29)以及式 (13－ 15) 與 (13－ 16)的變換關系得到，于是 T1－ 1和 T1－ 1 [ 0T6]分別為求坐標系 X1Y1Z1相對于 X0Y0Z0的轉角 θ1 式 (13－ 42)右端 T2T3T4T5T6的展開矩陣如式 (13－ 38)所示，只要令式 (13－ 38)中的 H＝ 0即可。下面展開式 (13－ 42)中間兩個矩陣的乘積，得 T1－ 1 [ 0T6]為 令式 (13－ 43)兩個矩陣的第三行第四列的對應元素相等，得含有 θ1的三角方程以及 θ1的解分別為 － PXsinθ1＋ PYcosθ1＝ d2 (13－ 44) (2) 求坐標系 X2Y2Z2相對于 X1Y1Z1的轉角θ2 PXcosθ1＋ PYsinθ1＝ d3sinθ2 (13－ 46)－ PZ＝－ d3cosθ2 (13－ 47) 式 (13－ 46) 除以式 (13－ 47)得 θ2為 令式 (13－ 43) 兩個矩陣的第一行第四列的對應元素相等，第二行第四列的對應元素相等，得含有 θ2的三角方程為(3) 求坐標系 X3Y3Z3相對于 X2Y2Z2的位移d3 將式 (13－ 46)兩端乘以 sinθ2 ， 式 (13－ 47)兩端乘以 cosθ2 ，然后相加得 d3為X1X0 Y10圖 13－ 18 斯坦福機器人Z0Y0O0X2Y6Y2Z2Z1Y3d3d24321X3Z365X4Z4Z5X5Z6X6 Y5Y4H(4) 求坐標系 X4Y4Z4相對于 X3Y3Z3的轉角 θ4 由于 [3T6]＝ T4T5T6， T4 － 1[3T6]＝ T4 － 1T4T5T6＝ T5T6＝ [4T6]＝T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]。X1X0 Y10圖 13－ 18 斯坦福機器人Z0Y0O0X2Y6Y2Z2Z1Y3d3d24321X3Z365X4Z4Z5X5Z6X6 Y5Y4H 所以，由式 (13－ 32)、 (13－ 31)、 (13－ 30)以及式 (13－ 15) 與 (13－16)的變換關系，首先求出 T4 、 T3和T2的逆矩陣 T4－ 1 、 T3－ 1和 T2－ 1分別為 (4) 求坐標系 X4Y4Z4相對于 X3Y3Z3的轉角 θ4X1X0 Y10圖 13－ 18 斯坦福機器人Z0Y0O0X2Y6Y2Z2Z1Y3d3d24321X3Z365X4Z4Z5X5Z6X6 Y5Y4H為此， [4T6]＝ T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]的表達式為 將 [4T6]＝ T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]展開[4T6]＝ T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]＝(1353) 令式 (13－ 53) 與式 (13－ 35)的第三行第三列的矩陣元素對應相等，得關于轉角 θ4的三角方程為由式 (13－ 54)得 θ4為(5) 求坐標系 X5Y5Z5相對于 X4Y4Z4的轉角 θ5 令式 (13－ 53) 與 (13－ 35)的第一行第三列的矩陣元素對應相等，第二行第三列的矩陣元素對應相等，得關于轉角 θ5的三角方程為由式 (13－ 56)、式 (13－ 57)得 θ5為(6) 求坐標系 X6Y6Z6相對于 X5Y5Z5的轉角θ6 由式 (13－ 33) 以及式 (13－ 15) 與 (13－ 16)的變換關系得T5的逆矩陣 T5－ 1為 X1X0 Y10圖 12－ 18 斯坦福機器人Z0Y0O0X2Y6Y2Z2Z1Y3d3d24321X3Z365X4Z4Z5X5Z6X6 Y5Y4H 由于 T5T6＝ [4T6]＝ T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]， T5 －1T5T6＝ T6＝ [5T6]＝ T5 － 1T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]， 所以， T5 － 1T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]的表達式為 (6) 求坐標系 X6Y6Z6相對于 X5Y5Z5的轉角θ6(13－ 60) 式 (13－ 60)中的 Aij與 Bi4組成的矩陣就是 T4 － 1 T3 － 1 T2 － 1 T1 － 1[0T6]的連乘積矩陣。 令式 (13－ 60) 與 (13－ 34)的第一行第二列的矩陣元素對應相等，第二行第二列的矩陣元素對應相等，得關于轉角 θ6的三角方程為 由式 (13－ 61) 與 (13－ 62)得 θ6為 至此，各個關節(jié)的運動參數(shù) θ θ d θ θ θ6已全部求出。 從以上的求解過程可以看出，這種求解方法就是將一個未知數(shù)從方程的右端移到左端，使其與其它未知數(shù)分離開來，從而解出這個未知數(shù)。重復這一過程，解出所有的未知數(shù)。值得注意的是，若目標物體不在機器人的操作范圍之內(nèi)，則解可能不存在。由以上求解公式可以看出，關節(jié)的相對位移不一定唯一，可能出現(xiàn)多解。在多解的情況下，一定有一個解是相對較優(yōu)的，或者是路徑最短，或者可以避開其它障礙物。當然，還有其它的相對位移求解方法，本書不再介紹，請閱讀相關的文獻
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