概率統(tǒng)計(jì)第二章習(xí)題a-資料下載頁(yè)
2025-04-29 12:14本頁(yè)面
【正文】 證明 )(~ ?PX . 設(shè)想將 ?t 秒等分成 n 段，每段是ntn ?? 秒 . 對(duì)充分大的n ，假定： （ 1 ）在n? 內(nèi)最多只有一個(gè) ? 粒子放出，并且放出一個(gè)粒子的概率是ntpnn??? ?? ，這里 ? 是正常數(shù)； （ 2 ）各個(gè)小時(shí)間段內(nèi)是否放射出 ? 粒子相互獨(dú)立 . 在以上的假定下，這塊放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù) X 服從 ),( npnB . 于是 knnknknn ppCkXP??? ??? )1(l i m)( knkn ntntknkn ????????? ????????? ?? 1)!(! !lim knkkn ntnknnnkt ??? ?????? ????? ?? 1)1()1(!)(lim ? tkek t ?? ?? ! )( 取 t?? ? ，得 )(~ ?PX . 由于 ? 和 t 成正比，所以 ? 越大，單位時(shí)間內(nèi)放射出的 ? 粒子就越多 . 另外，對(duì)一般的時(shí)間段（ 0 ， t ] ，如果用 )( tN 表示（ 0 ， t ]內(nèi)觀測(cè)到的 ? 粒子數(shù)，則 )( tN 服從 )( tP ? 分布 . 例 中的推導(dǎo)實(shí)際上驗(yàn)證了二項(xiàng)分布向泊松分布逼近的事實(shí)： 如果 n 很大， p 很小，就可以用泊松分布來(lái)描述二項(xiàng)分布),( pnB . 特別是當(dāng) n 無(wú)法確定時(shí)，就應(yīng)當(dāng)使用泊松分布了 . 例 據(jù)統(tǒng)計(jì)，自 1500 至 1931 年的 432?N 年間，比較重要的戰(zhàn)爭(zhēng)在全世界共發(fā)生了 2 99 次 . 以每年為一個(gè)時(shí)間段記錄在表 （見(jiàn)參考書(shū)目 [7] ）： 表 2 . 2 1 5 0 0 ~ 1 9 3 1 年 間 發(fā)生 重要 戰(zhàn)爭(zhēng) 的 次數(shù) 記錄 爆發(fā)的戰(zhàn)爭(zhēng)次數(shù) k 爆發(fā) k 次戰(zhàn)爭(zhēng)的年數(shù)km 頻率Nm k / )( kYP ? 0 223 1 142 2 48 1 1 19 3 15 4+ 4 總計(jì) 432 上面表 中， )(~ PY ，4 3 22 9 ? 是平均每年爆發(fā)的戰(zhàn)爭(zhēng)數(shù) . 圖 .4 是頻率Nm k 和概率)( kYP ? 的折線圖 . 可以看出，在一年中戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)的頻率Nm k 和 )( kYP ? 十分相近 . 其原因和例 2. 1 類似 . 泊松分布可以描述許多有類似背景的隨機(jī)現(xiàn)象，例如某段高速公路上一年內(nèi)的交通事故數(shù)； 某市場(chǎng)一天中到達(dá)的顧客次數(shù)（相約的到達(dá)認(rèn)為是一次到達(dá)）； 某辦公室一天中收到的電話數(shù)，某大學(xué)一天中上課遲到的總?cè)藬?shù)，等等 . D . 超幾何分布 ),( NMnH 如果 X 的概率分布是 nNmnMNmMCCCmXP ???? )( ， Mm ,1,0 ?? （ ） 就稱 X 服從 超幾何分布 ，記作 ),(~ NMnHX . 名稱超幾何分布來(lái)自超幾何函數(shù)，類似于二項(xiàng)分布來(lái)自二項(xiàng)展開(kāi)式 . 例 N 件產(chǎn)品中恰有 M 件次品，從中任取 n 件，用 X表示這 n 件中的次品數(shù)，則 X 服從超幾何分布（ ） . 如果這批產(chǎn)品充分多，無(wú)放回的抽取和有放回的抽取就沒(méi)有本質(zhì)的差異 . 有 放回抽取時(shí)， X 服從二項(xiàng)分布 ),(NpnB ，其中 NMpN ? 是次品率 . 實(shí)際上，當(dāng) pNMN???l i m 時(shí)，我們有 nNmnMNmMCCCmXP???? )( )!()!()!()!(!!mnMNmnMNmMmM????????!)!(!NnNn ?? mmn N mMMMC )1()1( ???? ? mnN mnMNMN ? ?????? )1()( ? )1()1( ???? nNNN Nn?mnmmn ppC ??? )1( （ 2. 9 ） 實(shí)際問(wèn)題中 ， 對(duì)于 較大 的 N ， 計(jì)算組合 數(shù) mn MNmMnN CCC ??, 要比 計(jì)算 mnC 費(fèi)時(shí) 多了 . 因?yàn)?抽樣 的 個(gè)數(shù) n 一般 不會(huì)很大 ， 所以 對(duì) 較大 的 N 和 M ，采用 近似 公式 mnNmNmnnNmnMNmM ppCCCC ????? )1( 往往會(huì)更方便 . E. 幾何分布 如果隨機(jī)變量 X 有如下的分布 pqkXP k 1)( ??? ， 0,2,1 ?? pqk ?， 1?? qp （ 0 ） 就稱 X 服從參數(shù)是 p 的 幾何分布 . 例 甲向一個(gè)目標(biāo)射擊，直到擊中為止 . 用 X 表示首次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù) . 如果甲每次擊中目標(biāo)的概率是 p ，則 X 服從幾何分布（ ） 證明 用 jA 表示甲第 j 次沒(méi)擊中目標(biāo)，由 }{ jA 的獨(dú)立性得到 )()( 121 kk AAAAPkXP ??? ? ?,2,1,1 ?? ? kpq k （ 2. 1 1 ） 定理 取正的整數(shù)值的隨機(jī)變量 X 服從幾何分布（ 0 ）的充分必要條件是 X 有 無(wú)記憶性 . )()|( jXPkXjkXP ????? ， ?,2,1?j （ 2. 1 2 ） 證明 若（ 0 ）式成立，用條件概率公式得到 )(),()|(kXPkXjkXPkXjkXP???????? pqpqjXPjkXPjkjjkkj1111}{)(????????????????????????)(1 jXPpq j ??? ? 若（ 2 ）式成立，設(shè) )( kXPr k ?? ，利用 ???? XkX {}1{ }1{} ??? kXk 得到 )|1( kXkXPp ???? )( )1()( kXP kXPkXP ? ????? kkrr 11 ??? 于是，用 1)0(0 ??? XPr ，得到 1121 )1()1( ??? ?????? kkkk qrprpr ? 最后得到 ??????? )()1()( kXPkXPkXP pqrr kkk 11 ?? ??
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