【正文】 在輸出的最大幅度界限內振蕩，稱為 溢出極限環(huán)振蕩 溢出極限環(huán)振蕩產生的原因：定點加法運算存在著溢出 110 1 2 3)( vfv補碼加法運算的非線性 以定點補碼運算的二階 IIR濾波器為例進行討論 此二階濾波器的差分方程為 )()2()1()( 21 nxnyanyany ?????2121222211 )(11)(ppzppzzzazazH ??????? ??24 221121aaap ??＝，系統(tǒng)函數(shù)為 首先考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1|| 21 ?，p)(zH 1p 2p穩(wěn)定的條件是 的兩個極點 、 在單位圓內 1a 2a可得 、 的值域為 圖 示的大三角形 1a 2a 1|| 21 ?，p即 、 落于大三角形之內才能滿足 (0,1)(2, 1 )( 2 , 1)III1a2a其次 ， 為了保證不溢出 ， 即要滿足 1|)2()1(||)(| 21 ????? nyanyany1|||| 21 ?? aa1|)(| ?ny1|||| 21 ?? aa如上圖 中 的陰影部分 ． 1a 2a由此式求出 、 的關系 若 必定期足 系統(tǒng)不產生溢出極限環(huán)振蕩的充要條件 由于溢出極限環(huán)的振蕩幅度為 1， 數(shù)字濾波器無法對數(shù)據(jù)進行濾波 ， 可以通過飽和型加法運算的辦法加以消除 。 飽和加法器的特點是 ， 當相加器的輸入之和大于 1或小于－ 1時 ， 就分別以 1和－ 1代表相加結果 ， 其特性如 圖 所示 ，這樣就能克服溢出振蕩 110 1輸出)( Vf輸入V1補碼飽和加法器特性 浮點運算中的有限字長效應 乘法和加法之后都需要進行尾數(shù)量化。 ? 流圖中乘法支路之后或加法節(jié)點處都將疊加 — 個量化噪聲 舍入或截尾處理只影響尾數(shù)的字長，不影響階碼，但所產生的誤差值卻與階碼值有關。 ? 分析中用相對誤差比用絕對誤差更適合 系統(tǒng)的輸出誤差大小與系統(tǒng)的結構有關 ? 本節(jié)上一部分系統(tǒng)結構對輸出誤差影響的結論同樣成立 取相同的尾數(shù)字長時，浮點運算的誤差要比定點運算的誤差小。 ? 浮點制中可以充分利用尾數(shù)的字長，使每一個數(shù)不論其數(shù)值大小，都能保持同樣的相對精度 浮點制系統(tǒng)的字長一定時，其輸出的信噪比為一常數(shù)； ? 定點制系統(tǒng)中，輸出噪聲的方差與信號無關，因此信號越大，輸出的信噪比越大 FFT算法的有限字長效應 從運算的角度分析， FFT與數(shù)字濾波器一樣都是系統(tǒng)，因此，二者的有限字長效應分析方法基本上是相同的 不同的是 FFT中的運算是一個復數(shù)運算，因此誤差源是一個復數(shù)，同時 FFT運算有多個輸入端及多個輸出端，各誤差源對不同的輸出端的影響是不同的。 以時間抽取 DIT為例進行有限字長效應分析，并且針對的是舍入情況，其他 FFT算法及截尾運算結果是相似的 蝶形運算的統(tǒng)計模型 )()()(1 jXWiXiX mrNmm ?? ＝)()()(1 jXWiXiX mrNmm ?? ＝定點制運算中只有乘法引入量化誤差 ， 加法運算不引入誤差 蝶形運算中只在乘系數(shù) 時引入一個誤差源 rNW me)( jXm)( iXm)(1iXm ?)(1iXm ?rNWme1 是復數(shù)相乘 ， 所產生誤差 就是一個復數(shù) me)( jXW mrN4321 , eeee一個復數(shù)相乘要由四個實數(shù)相乘來構成 、 每個實數(shù)相乘都將引入一個相應的誤差 。 因而共有四個誤差 假設是舍入量化 ， 則 }]R e[)](I m []I m [)]({ R e[}]I m [)](I m []R e[)]({ R e[)(])([4321eWjXeWjXjeWjXeWjXeWjXWjXQrNmrNmrNmrNmmrNmrNmr?????????)( 4221 eejeee m ???＝34]|[|]|[|]|[|]|[|]|[|222423222122qeEeEeEeEeEemB＝＝＝＝?? ???me 2B?復數(shù) 的方差 為 分析乘以 后的方差影響 rNW2222 ]|[|||]|[| BmrNrNm eEWWeE ?＝＝ ?通過所有后級蝶形時，其方差保持不變 me每一個輸出端都與 N－ 1個蝶形相連， 即有 N－ 1個量化噪聲源對每個輸出端有貢獻 在終端，在離散傅里葉變換 )(kX上疊加的輸出噪聲的均方值為 和 FIR濾波器的直接型實現(xiàn)一樣 ， 輸出噪聲的總方差正比于 N 3)1(2222 NqNNBBF =≈ ??? ＝ 防止溢出和 FFT輸出的信噪比 分析蝶形運算 )()()(1 jXWiXiX mrNmm +=+|)(||)(||)(||||)(||)(| 1 jXiXjXWiXiX mmmrNmm ?????|)(||)(||)(| 1 jXiXjX mmm ???|})(||)(m a x { |2|})(||)(m a x { | 11 jXiXjXiX mmmm ， ???同樣 所以 蝶形運算的輸出最大值不超過輸入端最大值的兩倍。 從前一級到后一級，最大模值是逐級非減的，只要最后一級不出現(xiàn)溢出，則前一級計算一定不會溢出。 三種防止溢出的辦法 輸入端 — 次衰減法 由蝶形公式可以證明 |])(m a x [ ||})(||)(m a x { |2|})(||)(m a x { | 11nxNjXiXjXiXmmmm????，為使 不溢出 ， 即 ， )(kX 1|])(m a x [ | ?kXNnx1|)(| ?)(nx所以輸入 應滿足條件 輸出信噪比為 )(nx若 在 內等概率分布，則 的方差為 )1,1( NN?)(nx22231]|)([|NnxEx ???由于 ，輸出信號的方差為 ???? 10)()( NnknNWnxkX? ????? 10222231||]|)([|]|)([| NnxknN NNWnxEkXE ?2222 1]|)([|qNkXES N RF?? ?信噪比與 N2成反比， N增加一倍， SNR下降 4倍 若保持運算精度不變，每增加一級運算，字長也需相應增加一位。這種防止溢出的辦法，使得輸入幅度被限制得過小，造成輸出信號／噪聲比值過小 )( jXm)( iXm)(1iXm ?)(1iXm ?),( jme21rNW21),( ime1逐級衰減法 對每個蝶形結的兩個輸入支路都乘上個比例因子 每 — 輸入信號均乘以 1/2， 因此每個蝶形有二個乘法運算 ， 即有二個誤差源 、 。 若每個誤差源的方差為 1me 2me 2B?222212 2]|[|]|[| BmmB eEeE ?? ????rNW)(222 2 mMBQ ???? ??則蝶形運算總的誤差方差為 由于系數(shù) 1/2存在，各誤差源到輸出端的傳輸系數(shù)不再是 177。 1或 的連乘積， rNW21 rNW21?而是 或 的連乘積，連乘次數(shù)與蝶形位置有關。 2Q?因此第 m級蝶形的誤差源在輸出端的誤差方差 為 222212)(1)(22122344)11(4)11(22222qNNBBBMmBmMMmmMBmMMmQmMF?????????????????????????????22224134)3(1]|)([|NqqNkXES N RF??? ?總的輸出方差為 輸出信噪比為 與 輸入端一次衰減法 相比，信噪比有了很大的提高 為保證運算精度不變， N增加 4倍，字長只需增加一位 成組浮點運算 )](R e[2)](R e[ ixix p ?? )](I m [2)](I m [ ixix p ??保證 ， 1)](R e [ ?? ix 1)](I m [ ?? ix將原始數(shù)據(jù)用成組浮點制表示為 p 為某個整數(shù)，稱為共階數(shù) 對 作定點 FFT，當某個蝶形結出現(xiàn)溢出，則將整個這一級的序列 (運算過的，未運算的 )全部左移一位 (即乘1／ 2因子 )，并在階碼 p 上加 1，然后運算從發(fā)生溢出的蝶形繼續(xù)下去。 當以后某級蝶形運算又出現(xiàn)溢出時，再對該級的輸入乘上 1/2衰減因子，并在階碼 p上加 1繼續(xù)運算，直到 L級計算完為止 )]([ ix?)1|)((|322 時??? nxNN xX ??2222 13S N R qNNBFX ??????22141qS N RNq ??如果在整個變換過程中，一次溢出也沒有發(fā)生，輸出信號方差最大，當輸入為白噪聲型信號時，其值為 輸出信噪比為 最壞的情況是各級都產生了衰減 ， 這相當于第二種方法 。 所以成組浮點法快速傅立葉變換的信噪比的變化范圍為 浮點 FFT算法中的量化效應 采用的分析方法基本相同 ? 對輸入信號和舍入噪聲做同樣的假設 ? 對任一輸出節(jié)點，考慮與其相連的那些蝶形 與定點 FFT算法誤差分析不同之處有 ? 浮點加法和浮點乘法之后都需做尾數(shù)處理，都會引入噪聲源，因此模型設計與定點 FFT系統(tǒng)有所不同 ? 模型中的絕對誤差換需算成相對誤差，再進行分析 ? 浮點制 FFT系統(tǒng)任一輸出節(jié)點處的輸出信噪比為 22221}|)({|}|)({|ef LkeEkXE?